数学建模.docx
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数学建模
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）:
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
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宁夏大学新华学院
参赛队员（打印并签名）：
1.马开慧
2.闫亮
3.张海峰
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012年数学建模模拟题
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
酒店客房的最优分配模型
摘要:
信息技术的不断发展，已经影响了人们生活的方方面面，在现代酒店管理中，酒店在线预订系统是酒店经营不可缺少的现代工具。
本文要讨论的是7天连锁酒店以一个星期为时间段，根据常客户开设标准间和商务间两类客房的预定服务要求及现有房源情况，如何做出最优的房间分配以取得最大利润的问题。
根据题目给的三种情况，并均以酒店利润最大为目标，来解决这三种策略：
问题一、常规策略：
完全按照客户提出的不同类型客房预定要求制定分配方案。
首先我们是以每类客房客人入住的天数以及其相对应的价格为切入点，建立整数线性规划模型[2]。
利用LINGO软件求解模型，得到其最大收入。
问题二、免费升级策略：
在标准间（低价位客房）不够分配、而商务间（高价位客房）有剩余的情况下，将一部分商务间客房按标准间的需求进行分配并收费。
我们分三种情况，一是需要标准间，而分配商务间免费升级;二是需要标准间，而分配两类房间综合免费升级;三是只剩商务间的升级分配;然后建立整数线性规划模型，也是运用LINGO软件[1]求解出最大收入。
问题三、折扣优惠策略：
在首选价位客房无法满足需求、而其它价位客房有剩余的情况下，采用打折优惠的办法鼓励部分顾客改变原来的需求，选择其它价位客房。
我们选择打8.9折，然后建立整数线性规划模型，利用LINGO软件求解出其最大收入。
最后本文选取客房利用、客户满意度、收入作为三个指标对常规策略、免费升级策略、折扣优惠策略下的最优分配方案进行评价分析。
得出结论：
不优先满足商务间客户需求的折扣优惠策略，分配最少的客房（除常规策略），获得了最大收入，同时客户满意度也较好。
关键字：
整数线性规划模型LINGO软件客房分配方案
一、问题的重述
7天连锁酒店利用网络系统为常客户开设标准间和商务间两类客房的预定服务，酒店以一周（从星期一到星期日）为一个时段处理这项业务。
现在收到一个会务组提出的一个一周的预定需求单，见表1和表2.在表1中标以“星期一”那一行数字表示；星期一入住，只预定当天的2间，预定到星期二的20间，预定到星期三的8间，……，一直预定到星期天的7间。
其它各行及表2都是类似的。
酒店对旅行社的报价见表3和表4.表中数字的含义与表1和表2相对应，如对于表3，星期一入住，只住当天的每间888元，住到星期二的每间1680元，……，一直住到星期天的每间4973元。
从这些数字可以看出，酒店在制定客房的报价时，对居住时间越长的顾客，给予的优惠越大。
考虑到周末客房使用率高的统计规律，这两天的价格定位相对较高。
请根据表1至表5的信息，以酒店收入最大为目标，针对一下3种不同情况，制定客房分配方案。
（1）常规策略：
完全按照客户提出的不同类型客房预定要求制定分配方案。
（2）免费升级策略：
在标准间（低价位客房）不够分配、而商务间（高价位客房）有剩余的情况下，将一部分商务间客房按标准间的需求进行分配并收费。
（3）折扣优惠策略：
在首选价位客房无法满足需求、而其它价位客房有剩余的情况下，采用打折优惠的办法鼓励部分顾客改变原来的需求，选择其它价位客房。
（4）根据酒店所提供的更多类型的客房以及优惠政策，试推广你的模型。
2、符号的说明
:
标准间从第i天入住到第j天的提供房间数；
：
标准间从第i天入住到第j天的价格;
：
商务间从第i天入住到第j天的提供房间数；
：
商务间从第i天入住到第j天的价格;
：
标准间第
天的可提供量；
：
商务间第
天的可提供量；
:
标准间从第i天入住到第j天的实际入住房间数；
：
标准间当天的提供量；
:
商务间从第i天入住到第j天的实际入住房间数;
：
商务间当天的提供量；
：
需要标准间、升级的标准间从第
天入住到第
天的房间数；
：
需要标准间、而升级额商务间从第
天入住到第
天的房间数；
:
需要商务间、升级的商务间从第
天入住到第
天的房间数;
：
需要k类房间而分配m类房间，从第i天入住到第j天的价格（k、m类分别为标准间和商务间）；
:
需要k类房间而分配m类房间,从第i天入住到第j天的房间数（k、m类分别为标准间和商务间）；
:
需要与分配的房间类型不同时的折扣（0<
<=0）；
3、模型的假设
1.7天连锁酒店只设有标准间和商务间两种客房；
2.酒店一周内不调整当前客房价格；
3.顾客中途没有退、换客房的情况。
4、问题的分析与模型的建立求解
4.1问题一的分析
4.1.1常规策略：
根据表1、表2统计两类客房每天的需求量及剩余量，如表4-1。
表4-1两类客房每天的需求及剩余量一览表
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
标准间
提供量
110
140
160
189
149
150
150
需求量
81
135
192
213
255
195
120
剩余量
29
5
-32
-24
-106
-45
30
商务间
提供量
80
120
120
120
118
118
118
需求量
51
86
109
102
105
112
55
剩余量
29
34
11
18
13
6
63
问题
（1），完全按照客户提出的不同价位客房预订的要求制定分配方案，通过表2-1，发现商务间每天的需求量都没有超出酒店每天的可提供量，而标准间有几天供不应求，因此在常规策略中，商务间按照客户的需求进行分配，该部分的收入固定。
寻找标准间的最优分配方案才是酒店收入最大的关键。
因此我们将最大收入为目标函数，每类客房客人入住的天数以及其相对应的价格为约束函数，每天建立整数线性规划模型。
4.1.2问题一模型的建立
以酒店收入最大为目标，可以建立如下的整数线性规划模型：
（1）
：
（2）
（3）
（4）
（5）
对这个模型做几点解释：
第一个目标函数由两部分之和
（1）式（标准间的最大收入+商务间的最大收入）；第二个约束表示两类客房的分配量都不应超出各自的需求量
（2），（3）式；当然，由于分配量越大收入越大，所以当以收入最大为目标时，分配会尽量满足需求；第三个约束要求在连续若干天入住时，每天分配的房间数都不应超过当天房间的提供量。
4.1.3模型的求解
采用LINGO软件求解整数线性规划模型
（1），程序及运行结果见附录1（常规模型）。
输出有133行，前4行为：
:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
1453812.
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
5
这个结果告诉我们，计算最优解一共用了5次迭代，取得全局最优解为1453812，表示按照客户提出的不同类型客房预定要求分配客房将有1453812元的收入。
之后的数据为模型（4.1.2）的每一个式子对应分配的结果。
从第5行开始止第61行，其数值表示按最优方案分配后原需求单上的欠缺房间数，在表2-2和表2-3中列入分配数值后面的括号内（没有括号的表示不欠缺，商务间没有欠缺）。
行对应于第2个约束的14个不等式，表示每天客房的剩余数量，分别填在表2-2和表2-3的最后一行。
表4-2标准间分配方案（单位：
间）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
2
20
8
10
16
18
7
星期二
6
0
8
1（11）
10
20
星期三
12
17
0（0）
3（7）
30
星期四
0
0（6）
3（12）
20
星期五
0（30）
0（26）
21
星期六
18
0（0）
星期日
22
当日空房
29
5
0
0
0
0
30
表4-3商务间分配方案（单位：
间）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
12
7
6
10
5
4
7
星期二
9
10
9
12
5
2
星期三
12
7
6
10
4
星期四
8
7
5
1
星期五
5
8
24
星期六
25
17
星期日
0
当日空房
29
34
11
18
13
6
63
从表2-2和表2-3可以看出，标准间从星期三到星期日标准间房源紧张，不能满足需求，而商务间都有空置的客房，于是，应该采用一些灵活的策略，充分利用闲置的房间，提高酒店的收益。
这也就是我们下一个问题要涉及的。
4.2问题二的分析
4.2.1免费升级策略：
所谓免费升级，是在标准间不够分配、而商务间有剩余的情况下，将一部分商务间按对标准间的需求进行分配并收费，上面的计算结果也可以看出，有施行这种策略的必要性。
问题二：
在标准间不够分配、而商务间有剩余的情况下，将一部分商务间客房按标准间的需求进行分配并收费。
我们分三种情况，一是需要标准间，而分配商务间免费升级，二是需要标准间，而分配两类房间综合免费升级，三是只剩商务间的升级分配。
因此在免费升级策略中，商务间按照客户的需求进行升级分配，寻找最后最优分配方案才是酒店收入最大的关键。
下面我们建立整数线性规划模型，也是运用LINGO软件求解出最大收入。
4.2.2模型的建立
以酒店收入最大为目标，可以建立如下的整数线性规划模型：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
对这个模型做几点解释：
在目标函数
（1）式中需要标准间、但分配商务间的客房价格是标准间价格；第1个约束表示需要标准间、而分配为两类客房的总和不超出对标准间的需求
（2）式；第2个约束是商务间分配和需求的关系（3）（4）式；第3个约束为标准间的房源限制（5）式；第4个约束为商务间的房源限制（6）式。
4.2.3模型的求解
采用LINGO软件求解整数线性规划模型，程序见采用LINGO软件求解整数线性规划模型，程序见附录2（免费升级策略）。
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
1467906.
Totalsolveriterations:
41
这个结果告诉我们，计算最优解一共用了41次迭代，取得全局最优解为1467906，表示按照在标准间（低价位客房）不够分配、而商务间（高价位客房）有剩余的情况下，将一部分商务间客房按标准间的需求进行分配并收费将有1467906元的收入。
即需要标准间、分配也是标准间的分配方案，将结果整理在表4-4中。
表4-4免费升级时标准间分配方案表
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
0
20
8
10
16
18
7
星期二
6
0
8
1
10
20
星期三
10
17
0
5
30
星期四
0
0
15
20
星期五
0
0
7
星期六
18
0
星期日
0
即需要标准间，而分配商务间的分配方案，将结果整理在表4-5中。
表4-5免费升级时需要标准间，而分配商务间的分配方案
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
2
0
0
0
0
0
0
星期二
0
0
0
11
0
0
星期三
0
0
0
0
0
星期四
0
1
0
0
星期五
0
0
14
星期六
0
0
星期日
22
将表4-4和表4-5的对应项求和，即
，得到为满足标准间需要的客房实际分配数量，再与常规策略的表4-2比较，可以计算出免费升级与常规策略相比时实际分配的增减值，结果列入表4-6，其中数字
的
表示免费升级的分配总量，
表示增减量（
时略去）。
一个有趣的现象是分配给只住星期三一晚的客房数减少2间，而分配给从星期三入住到星期五、星期六和星期日的客房数分别增加14、3间，星期四入住到星期五和星期六的客房数分别增加1和12间。
这种改进相比于常规策略明显的有利于提高酒店的收益。
表4-6免费升级时需要标准间，而分配两类房间综合分配方案表
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
2
20
8
10
16
18
7
星期二
6
0
8
12/11
10
20
星期三
10/-2
17
14/14
3/2
30
星期四
0
1/1
15/12
20
星期五
0
0
21
星期六
18
0/-10
星期日
22
即需要商务间、分配商务间的分配方案，将结果整理在表4-7中。
与常规策略的表4-3比较，可以发现，仅有的区别是这里不再分配客房给星期五入住1天和2天的商务间客户，其原因是为了最大的经济收入，将这些客房分配给了星期三和星期四入住标准间的住宿时间比较长的顾客，这样可以赚取更大的利润。
表4-7免费升级商务间分配方案表
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
12
7
6
10
5
4
7
星期二
9
10
9
12
5
2
星期三
12
7
6
10
4
星期四
8
7
5
1
星期五
0
0
24
星期六
25
17
星期日
0
4.3问题三的分析
4.3.1折扣优惠策略：
所谓的优惠政策，是在首选价位客房无法满足需求、而其他价位客房有剩余的情况下，采用打折优惠的办法鼓励部分顾客改变原来的需求，选择其他价位客房。
我们选择打8.9折，然后建立整数线性规划模型，利用LINGO软件求解出其最大收入。
4.3.2模型的建立
首先定义
，以酒店收入最大为目标，可以建立如下的整数线性规划模型：
（1）
：
（2）
（3）
（4）
在前两个模型的基础上很容易解释这个模型，只需注意第1个约束是
，而不是
对
求和不超出对
类房的需求。
4.3.3模型的求解
我们取折扣
，采用LINGO软件求解问题三的整数线性规划模型，程序见附录3（折扣优惠策略）.
输出的前三行如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
1484205.
Totalsolveriterations:
40
这个结果告诉我们，计算最优解一共用了40次迭代得到全局最优解为1484205，表示按照折扣优惠策略分配客房将有1484205.元的收入。
表4-8中的数字形式是
，其中
（输出中
），
（输出中
），
。
表4-8折扣优惠时对标准间需求的分配方案
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
0/2/2
20/0/20
0/8/8
0/10/10
9/7/16
0/18/18
0/7/7
星期二
1/5/6
0/0/0
0/8/8
2/10/12
0/10/10
2/18/20
星期三
0/12/12
0/17/17
0/14/14
0/5/5
0/30/30
星期四
0/0/0
1/0/1
0/15/15
4/16/20
星期五
0/0/0
0/0/0
8/13/21
星期六
0/18/18
0/0/0
星期日
22/0/22
表4-8的3个数字可以与表4-4、表4-5和表4-6对应的3个数字比较，可以发现有一些不同。
特别是表4-8的
（折扣优惠策略下对标准间需求的分配总数）与表4-6（免费升级策略下对标准间需求的分配总数）相比，有2处不同：
星期三只入住一天及星期三入住到星期六的分配数量，在免费升级策略下分别是10间和2间，而在折扣优惠策略下分别是10间和4间。
表13类似于表12，其中
（输出中
），
（输出中
），
。
表4-9折扣优惠时对商务间需求的分配方案
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
0/12/12
0/7/7
0/6/6
0/10/10
0/5/5
0/4/4
0/7/7
星期二
0/9/9
0/10/10
0/9/9
0/12/12
0/5/5
0/2/2
星期三
10/0/10
0/7/7
0/6/6
0/0/0
0/4/4
星期四
8/0/8
0/7/7
0/5/5
0/1/1
星期五
0/0/0
0/0/0
0/24/24
星期六
17/8/25
0/17/17
星期日
0/0/0
在表4-9中我们发现，需要商务间但只住星期三、星期四、星期六一天的一部分顾客被分配给标准间，这在免费升级策略下是不允许的。
总结：
应该指出，由上面这些模型得到的分配方案只考虑了客户需求和房间的可供应量这两个约束，实际问题可能还有其他的条件，另外，当制订的分配方案不能完全满足客户需求时，客户会改变原来的需求，这就需要反复调整，并且采用各种策略与客户磋商，争取达到双方满意的结果。
我们发现按照这三种不同策略分配客房，折扣优惠策略的目标值为1480658元比常规策略的目标值1453812元提高10.21%，比免费升级策略的目标值1467906元提高10.11%。
都是依次上升，所以我觉得这次的整体建模还是比较成功的。
五、模型评价
应该指出，由上面这些模型得到的分配方案只考虑了客户需求和房间的可供应量这两个约束，而在实际问题中可能还会有其他的条件，比如其他客房有空房而可以填补不足的客房等等
另外，当制订的分配方案不能完全满足客户需求时，客户会改变原来的需求，这就需要反复调整，并且采用各种策略与客户磋商，争取达到双方满意的结果。
应该指出，由上面这些模型得到的分配方案只考虑了客户需求和房间的可供应量这两个约束，实际问题可能还有其他的条件，例如，客户中途退房的情况，房间内部设施损坏不适宜入住的情况等。
另外，当制订的分配方案不能完全满足客户需求时，客户可能会不接受酒店的安排，因此会临时改变原来住宿的需求，这就需要根据现实情况反复调整，并且采用各种策略与客户磋商，争取达到双方满意的结果，保住客源的同时，尽力实现利润最大化。
参考文献：
[1]谢金星、薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件：
清华大学出版社，北京2006.6.
[2]司守奎、孙玺菁,数学建模算法与应用：
国防工业出版社,北京:
2011.
[3]宋来忠、王志明，数学建模与实验，北京：
科学出版社,2005.
[4]韩中庚、数学建模方法及其应用，北京：
高等教育出版社，2006.
[5]姜启源谢金星叶俊，数学模型（第四版）干等教育出版社.北京:
2010.9
[6]周义仓赫孝良编，数学建模实验，西安：
西安交通大学出版社，1999。
[7]赫孝良，数学建模竞赛赛题简析与论文点评，西安：
西安交通大学出版社，2002.
[8]白其峥，数学建模案例分析主编，北京：
海洋出版社，2000。
[9]寿纪麟，数学建模-方法与范例，西安：
西安交通大学出版社1993。
附录1（常规模型）：
model:
max=x11*888+x12*1690+x13*2530+x14*3198+x15*3998+x16*4798+x17*5023+x22*888+x23*1690+x24*2530+x25*3198+x26*3998+x27*4562+x33*888+x34*1690+x35*2530+x36*3374+x37*4012+x44*888+x45*1776+x46*2664+x47*3219+x55*999+x56*1998+x57*2697+x66*999+x67*1998+x77*999+y11*1100+x12*2200+x13*3000+y14*4000+y15*5000+y16*5900+y17*6200+y22*1100+y23*2200+y24*3000+y25*4000+y26*5000+y27*5900+y33*1100+y34*2200+y35*3000+y36*4000+y37*5000+y44*1100+y45*2200+y46*3300+y47*4000+y55*1200+y56*2400+y57*3300+y66*1200+y67*2300+y77*1200;
x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17<=110;
x12+x13+x14+x15+x16+x17+x22+x23+x24+x25+x26+x27<=140;
x13+x14+x15+
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