九年级上期数学教案.docx
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九年级上期数学教案
九年级上期数学教案
直角三角形（第一课时）
教学目标：
1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。
3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学过程：
引入：
我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。
实际上，利用公理及其推导出的定理，我们能够证明勾股定理。
定理：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
延长CB至点D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，连接ED、AE，则△ABC≌△BED。
∴∠BDE=90°，ED=a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）。
∴四边形ACDE是直角梯形。
∴S梯形ACDE=
（a+b）（a-b）=
（a+b）2
∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°-90°=90°
AB=BE
∴S△ABC=
c2
∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,
∴
（a+b）2=
c2+
ab+
ab即
a2+ab+
b2=
c2+
ab+
ab
∴a2+b2=c2
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？
已知：
如图，在△ABC，AB2+AC2=BC2，求证：
△ABC是直角三角形。
证明：
作出Rt△A’B’C’，使∠A=90°，A’B’=AB，A’C’=AC，则
A’B’2+A’C’2=B’C’2（勾股定理）
∵AB2+AC2=BC2，A’B’=AB，A’C’=AC，
∴BC2=B’C’2
∴BC=B’C’
∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）
∴∠A=∠A’=90°（全等三角形的对应角相等）
因此，△ABC是直角三角形。
定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为另一个命题的互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。
这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
练习题：
随堂作业
作业：
P20：
1、2、3
九年级上期数学教案
直角三角形（第二课时）
教学目标：
1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。
3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学过程：
复习：
1、勾股定理即其逆定理。
2、全等三角形的证明。
新授：
引入：
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？
如果其中一边所对的角是直角呢？
定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。
已知：
如图，△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°，且AB=A’B’，BC=B’C’，
求证：
△ABC≌△A’B’C’
证明：
Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，
∵AB=A’B’，BC=B’C’，AC2=BC2-AB2,A’C’2=B’C’2-A’B’2
∵AC2=A’C’2∴AC=A’C’
∴△ABC≌A’B’C’（SSS）
做一做：
用三角尺可以作角平线，如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线
请证明：
证明：
∵MC=NCPC=PC
∴Rt△MCP≌Rt△NCP（HL）
∴∠MCP=∠NCP（全等三角形对应角相等）
议一议：
如图，已知∠ACB=BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？
把它们分别写出来。
随堂练习
判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。
作业：
P231、2
配方法（第一课时）
教学目标：
1、会用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；
2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。
教学程序：
一、复习：
1、解下列方程：
（1）x2=9
（2）（x+2）2=16
2、什么是完全平方式？
利用公式计算：
（1）（x+6）2
（2）（x－
）2
注意：
它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
3、解方程：
（梯子滑动问题）
x2+12x－15=0
二、新授：
1、引入：
像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？
2、解方程的基本思路（配方法）
如：
x2+12x－15=0转化为
（x+6）2=51
两边开平方，得
x+6=±
∴x1=
―6x2=―
―6（不合实际）
因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为（x+m）2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根。
3、配方：
填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+=（x+6）2
（2）x2―12x+=（x―）2
（3）x2+8x+=（x+）2
从上可知：
常数项配上一次项系数的一半的平方。
4、讲解例题：
例1：
解方程：
x2+8x―9=0
分析：
先把它变成（x+m）2=n（n≥0）的形式再用直接开平方法求解。
解：
移项，得：
x2+8x=9
配方，得：
x2+8x+42=9+42（两边同时加上一次项系数一半的平方）
即：
（x+4）2=25
开平方，得：
x+4=±5
即：
x+4=5，或x+4=―5
所以：
x1=1，x2=―9
5、配方法：
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。
三、巩固练习：
P50，随堂练习：
1
四、小结：
（1）什么叫配方法？
（2）配方法的基本思路是什么？
（3）怎样配方？
五、作业：
P50习题2.31、2
六、教学后记
配方法
（二）
教学目标：
1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
教学重点、难点：
用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。
教学程序：
一、复习：
1、什么叫配方法？
2、怎样配方？
方程两边同加上一次项系数一半的平方。
3、解方程：
（1）x2+4x+3=0
（2）x2―4x+2=0
二、新授：
1、例题讲析：
例3：
解方程：
3x2+8x―3=0
分析：
将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：
两边都除以3，得：
x2+
x―1=0
移项，得：
x2+
x=1
配方，得：
x2+
x+（
）2=1+（
）2（方程两边都加上一次项系数一半的平方）
（x+
）2=（
）2
即：
x+
=±
所以x1=
，x2=―3
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
3、做一做：
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
h=15t―5t2
小球何时能达到10m高？
三、巩固：
练习：
P51，随堂练习：
1
四、小结：
1、用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）化二次项系数为1；
（2）移项；
（3）配方：
（4）求根。
五、作业：
P33，习题2.41、2
六、教学后记
配方法（三）
教学目标：
1、经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；
2、进一步掌握用配方法解题的技能
教学重点、难点：
列一元二次方程解方程。
教学程序：
一、复习：
1、配方：
（1）x2―3x+=（x―）2
（2）x2―5x+=（x―）2
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3、用配方法解下列一元二次方程？
（1）3x2―1=2x
（2）x2―5x+4=0
二、引入课题：
我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：
三、出示思考题：
1、
如图所示：
（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？
（16-2x）（12-2x）=
×16×12
（2）一元二次方程的解是什么？
x1=2x2=12
（3）这两个解都合要求吗？
为什么？
x1=2合要求，x2=12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。
2、设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？
x2π=
×12×16
（2）一元二次方程的解是什么？
X1=
≈5.5
X2≈－5.5
（3）合符条件的解是多少？
X1=5.5
3、你还有其他设计方案吗？
请设计出来与同伴交流。
（1）花园为菱形？
（2）花园为圆形
（3）花园为三角形？
（4）花园为梯形
四、练习：
P56随堂练习
五、小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。
2、设计方案时，关键是列一元二次方程。
3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。
六、作业：
P56，习题2.5，1、2
七、教学后记：
为什么是0.618（第一课时）
知识目标：
1、掌握黄金分割中黄金比的来历；
2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。
教学重点难点：
列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程
教学程序：
一、复习
1、解方程：
（1）x2+2x+1=0
（2）x2+x－1=0
2、什么叫黄金分割？
黄金比是多少？
（0.618）
3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？
（方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式）
二、新授
1、黄金比的来历
如图，如果
=
，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。
由
=
，得AC2=AB·CB
设AB=1，AC=x，则CB=1－x
∴x2=1×（1－x）即：
x2+x－1=0
解这个方程，得
x1=
x2=
（不合题意，舍去）
所以：
黄金比
=
≈0.618
注意：
黄金比的准确数为
，近似数为0.618.
上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。
2、例题讲析：
例1：
P64题略（幻灯片）
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？
（结果精确到0.1海里）
解：
（1）连接DF，则DF⊥BC，
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里
∴AC=
AB=200
海里，∠C=45°
∴CD=
AC=100
海里DF=CF，
DF=CD
∴DF=CF=
CD=
×100
=100海里
所以，小岛D和小岛F相距100海里。
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里
EF=AB+BC―（AB+BE）―CF=（300―2x）海里
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程：
x2=1002+（300－2x）2
整理得，3x2－1200x+100000=0
解这个方程，得：
x1=200－
≈118.4
x2=200+
（不合题意，舍去）
所以，相遇时，补给船大约航行了118.4海里。
三、巩固：
练习，P65随堂练习：
1
四、小结：
列方程解应用题的三个重要环节：
1、整体地，系统地审清问题；
2、把握问题中的等量关系；
3、正确求解方程并检验解的合理性。
五、作业：
P66习题2.8：
1、2
六、教学后记：
为什么是0.618（第二课时）
教学目标：
1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；
2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点、难点：
列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。
教学程序：
一、复习：
1、黄金分割中的黄金比是多少？
[准确数为
，近似数为0.618]
2、列方程解应用题的三个重要环节是什么？
3、列方程的关键是什么？
（找等量关系）
4、销售利润=－
[销售价][销售成本]
二、新授
在日常生活生产中，我们常遇到一些实际问题，这些问题可用列一元二次方程的方法来解答。
1、讲解例题：
例2、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明，为销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？
分析：
每天的销售量（台）
每台的利润（元）
总利润（元）
降价前
8
400
3200
降价后
8+4×
400－x
（8+
）×（400－x）
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价为x 元，那么每台冰箱的定价就是（2900－x）元，每台冰箱的销售利润为（2900－x－2500）元。
这样就可以列出一个方程，进而解决问题了。
解：
设每台冰箱降价x元，根据题意，得：
（2900－x－2500）（8+4×
）=5000
2900－150=2750元
所以，每台冰箱应定价为2750元。
关键：
找等量关系列方程。
2、做一做：
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明这种台灯的售价每上涨一元，某销售量就减少10个，为了实现平均每月20000的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
这时应进台灯多少个？
分析：
每个台灯的销售利润×平均每天台灯的销售量=10000元
可设每个台灯涨价x元。
（40+x－30）×（600－10x）=10000
答案为：
x1=10,x2=40
10+40=50,40+40=80
600－10×10=500600－10×40=200
三、练习：
P68随堂练习1
四、小结：
五、作业：
P68习题2.91六、教学后记：
一元二次方程的复习
教学目标：
1、熟练掌握一元二次方程的解法，能灵活选择方法解一元二次方程。
2、能利用方程解决有关实际问题，提高学生的应用能力。
教学重点、难点：
一元二次方程的几种解法；列一元二次方程解应用题。
教学程序：
一、复习：
1、什么叫一元二次方程？
它的一般形式是什么？
它的二次项系烽，一次项系数，常数项各是什么？
2、一元二次方程有哪些解法？
3、一元二次方程的求根公式是什么？
4、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？
关键是什么？
二、新课讲析：
1、解下列方程：
（1）2（x+3）2=x（x+3）
（2）x2－2
x+2=0
解：
（1）2（x+3）2=x（x+3）
∴x1=－3x2=－6
（2）x2－2
x+2=0
这里a=1,b=－2
c=2
∴b2－4ac=（－2
）2－4×1×2=12
即：
x1=
x2=
三、练习：
1、解下列方程：
（1）x（x-8）=0
（2）x2+12x+32=0
2、当x为何值时，代数式x2-13x+12=0的值等于42?
3、已知2+
是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值。
4、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长。
四、课堂小结：
1、一元一次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0）
2、一元二次方程的解法：
（1）配方法：
方程两边同加上一次项系数一半的平方。
（2）公式法：
：
x=
（b2－4ac≥0）
（3）分解因式法：
方程一边为0，另一边分解为两个一次式的积。
3、列一元一次方程解应用题：
（1）步骤：
a、设未知数；b、列方程；c、解方程；d、检验；e、作答。
（2）关键：
寻找等量关系。
五、作业：
P69复习题：
4、6、7、8六、教学后记：
角平分线
教学目标：
1、进一步发展学生的推理证明意识和能力；
2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论
3、能够利用尺规作已知角的平分线。
教学过程：
定理：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
证明：
如图OC是∠AOB的平分线，点P在OC上
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，
∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
其逆命题也是真命题。
引导学生自己证明。
定理：
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
做一做：
用尺规作角的平分线。
已知：
∠AOB
求作：
射线OC，使∠AOC=∠BOC
作法：
1、在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE
2、分别以D、E为圆心，以大于
DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C。
3、作射线OC
OC就是∠AOB的平分线。
读一读：
尺规作图不能问题：
三等分一个任意角，倍立方——求作一个立方体，使该立方体的体积等于给定立方体的两倍。
化圆为方——求作一个正方形，使其与给定圆的面积相等。
课堂练习：
P32，1、2题
作业：
P34，1、2、3题。
线段的垂直平分线（第一课时）
教学目标：
1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。
3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。
教学过程：
我们曾利用折纸的办法得到：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离睛等，你能证明这一结论吗？
定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：
如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。
求证：
PA=PB。
证明：
∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC
∴△PCA≌△PCB（SAS）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
想一想，你能写出上面这个定理的逆合题吗？
它是真命题吗？
如果是请证明：
定理到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上。
（利用等腰三角形三线合一）
做一做
用尺规作线段的垂直平分线
已知：
线段AB求作：
线段AB的垂直平分线。
作法：
1、分别以点A和B为圆心，
以大于
AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D，
2、作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，
并与同伴进行交流。
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，
所以我们也用这种方法作线段的中点。
随堂练习：
P26
作业：
P27，1、2、3、教学后记：
线段的垂直平分线（第二课时）
教学目标：
1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。
3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。
教学过程：
引入：
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么？
当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的结论？
定理：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
证明：
在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，连接AP、BP、CP，
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）
同理：
PB=PC
∴PA=PC
∴点P在AC的垂直平分线上
（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P。
议一议：
1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？
如果能，能作几个？
所作的三角形都全等吗？
（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）
2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？
能作几个？
（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。
做一做：
已知底边上的高，求作等腰三角形。
已知：
线段a、b
求作：
△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
作法：
（1）作线段BC=a（如图）；
（2）作线段BC的垂直平分线L，交BC于点D，
（3）在L上作线段DA，使DA=h（4）连接AB，AC作业：
6.教学后记：
《频率与概率》教案
教学目标：
1。
经历试验，统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
2．通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计一事件发生的概率。
3．能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。
教学重点：
运用树状图和列表法计算事件发生的概率。
教学难点：
树状图和列表法的运用方法。
教学过程：
问题引入：
对于前面的摸牌游戏，在一次试验中，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌的数字为几的可能性大？
如果摸得第一张牌的牌面数字为2呢？
（由此引入课题，然后要求学生做实验来验证他们的猜想）
做一做：
实验1：
对于上面的试验进行30次，分别统计第一张牌的牌面字为1时，第二张牌的牌面数字为1和2的次数。
实验的具体做法：
每两个人一个小组，一个负责抽纸张，另一个人负责记录，
如：
1221---------（上面一行为第一次抽的）
2121---------（下面一行为第二次抽的）
议一议：
小明的对自己的试验记录进行了统计，结果如下：
因此小明认为，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌时，摸得牌面数字为2的可能性比较大。
你同意小明的看法吗？
让学生去讨论小明的看法是否正确，然后让学生去说说自已的看法。
想一想：
对于前面的游戏，一次试验中会出现哪些可能的结果？
每种结果出现的可能性相同吗？
小颖的看法：
小亮的看法：
实际上，摸第一张牌时，可能出现的的结果是：
牌面数字为1或2，而且这两种结果出现的可能性相同；摸第二张牌时，情况也是如此，因此，我们可以用下面的“树状图”或表格来表示所有可能出现的结果：
开始
第一张牌的面的数字
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