①命题“p且q”是真命题;②命题“p且綈q”是假命题;③命题“綈p或q”是真命题;④命题“綈p或綈q”是假命题,其中正确的是( )
A.②③B.①②④
C.①③④D.①②③④
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)
11.已知α、β是不同的两个平面,直线a⊂α,直线b⊂β,命题p:
a与b无公共点;命题q:
α∥β,则p是q的__________条件.
12.命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是__________.
13.若p:
“平行四边形一定是菱形”,则“非p”为
______________________________________________________________________.
14.下列四个命题中
①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;
③函数y=
的最小值为2.
其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.
(1)正方形是矩形又是菱形;
(2)同弧所对的圆周角不相等;
(3)方程x2-x+1=0有两个实根.
18.(12分)判断命题“已知a、x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
19.(12分)已知p:
≤2;q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),若綈p是綈q的必要非充分条件,求实数m的取值范围.
20.(12分)已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.
21.(12分)p:
对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;q:
关于x的方程x2-x+a=0有实数根;如果p与q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围.
22.(12分)已知下列三个方程:
x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根,求实数a的取值范围.
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第一章 常用逻辑用语(A)
答案
1.A
2.A [因为原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为,“若a,b都小于1,则a+b<2”显然为真,所以原命题为真;原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题为:
“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,反例为a=1.2,b=0.3.]
3.C
4.A [“x∈M,或x∈P”不能推出“x∈M∩P”,反之可以.]
5.C [①中有“且”;②中没有;③中有“非”;④中有“或”.]
6.B [当A=170°时,sin170°=sin10°<
,所以“过不去”;但是在△ABC中,sinA>
⇒30°30°,即“回得来”.]
7.A [a∈R,|a|<1⇒a-2<0,充分成立,反之不成立.]
8.A [綈p:
|x+1|≤2,-3≤x≤1,綈q:
5x-6≤x2,
即x2-5x+6≥0,解得x≥3,或x≤2.
∴綈p⇒綈q,但綈q
綈p,故綈p是綈q的充分不必要条件.]
9.A [命题p:
当a>1时,Δ=4-4a<0,即x2+2x+a>0恒成立,故函数y=log
(x2+2x+a)的定义域为R,即命题p是真命题;命题q:
当a>1时,由|x|<1,得-110.A [对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”,等价于“a和b中至少有一个是偶数”.]
11.B [注意二次项系数为零也可以.]
12.D [∵p、q都是真命题,∴①②③④均正确.]
13.必要不充分
解析 q⇒p,p
q.
14.[-3,0]
解析 ax2-2ax-3≤0恒成立,
当a=0时,-3≤0成立;
当a≠0时,由
得-3≤a<0;
∴-3≤a≤0.
15.平行四边形不一定是菱形;或至少有一个平行四边形不是菱形
解析 本题考查复合命题“非p”的形式,p:
“平行四边形一定是菱形”是假命题,这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”?
若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题,与真值表相违,故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”,是一个真命题.
第二种说法是命题是全称命题的简写形式,应用规则变化即可.
16.①②③
解析 ①“k=1”可以推出“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”,但是函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π,
即y=cos2kx,T=
=π,k=±1.
②“a=3”不能推出“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”,反之垂直推出a=
;
③函数y=
=
=
+
,令
=t,t≥
,
ymin=
+
=
.
17.解
(1)若一个四边形是正方形,则它既是矩形,又是菱形,为真命题.
(2)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等,为假命题.
(3)如果一个方程为x2-x+1=0,则这个方程有两个实数根,为假命题.
18.解 方法一 (直接法)
逆否命题:
已知a、x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
判断如下:
二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2图象的开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)
=4a-7.
∵a<1,∴4a-7<0.
即二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,
∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真.
方法二 (先判断原命题的真假)
∵a、x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,
即4a-7≥0,解得a≥
,
∵a≥
>1,∴原命题为真.
又∵原命题与其逆否命题等价,∴逆否命题为真.
方法三 (利用集合的包含关系求解)
命题p:
关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有非空解集.
命题q:
a≥1.
∴p:
A={a|关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有实数解}={a|(2a+1)2-4(a2+2)≥0}=
,
q:
B={a|a≥1}.
∵A⊆B,∴“若p,则q”为真,
∴“若p,则q”的逆否命题“若綈q,则綈p”为真.
即原命题的逆否命题为真.
19.解 綈p:
>2,解得x<-2,或x>10,
A={x|x<-2,或x>10}.
綈q:
x2-2x+1-m2>0,
解得x<1-m,或x>1+m,
B={x|x<1-m,或x>1+m}.
∵綈p是綈q的必要非充分条件,∴BA,
即
且等号不能同时成立,⇒m≥9,
∴m≥9.
20.解 令f(x)=x2+(2k-1)x+k2,方程有两个大于1的实数根⇔
Δ=2k-12-4k2≥0
-
f1>0)
即k<-2.
所以其充要条件为k<-2.
21.解 对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立⇔a=0或
⇔0≤a<4;
关于x的方程x2-x+a=0有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤
;如果p真,且q假,有0≤a<4,且a>
,
∴
,∴a<0.
综上,实数a的取值范围为(-∞,0)∪
.
22.解 假设三个方程:
x2+4ax-4a+3=0,
x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0都没有实数根,则
,
即
得-
∴所求实数a的范围是a≤-
或a≥-1.