4．微积分基本定理
如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f（x），那么f（x）dx＝F（b）－F（a）．其中F（x）叫做f（x）的一个原函数．为了方便，我们常常把F（b）－F（a）记为F（x），即f（x）dx＝F（x）＝F（b）－F（a）.
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
利用微积分基本定理求定积分
[例1] 计算下列定积分：
（1）（－x2＋2x）dx；
（2）（sinx－cosx）dx；
（3）dx； （4）
dx.
[解]
（1）（－x2＋2x）dx＝（－x2）dx＋2xdx＝－x3＋x2|＝－＋1＝.
（2）（sinx－cosx）dx＝sinxdx－cosxdx
＝（－cosx）|－sinx|＝2.
（3）dx＝e2xdx＋dx
＝e2x＋lnx|＝e4－e2＋ln2－ln1
＝e4－e2＋ln2.
（4）
dx＝
|sinx－cosx|dx＝
（cosx－sinx）dx＋
（sinx－cosx）dx
＝（sinx＋cosx）0＋（－cosx－sinx）
＝－1＋（－1＋）＝2－2.
[方法技巧]
利用微积分基本定理求定积分的步骤
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．
（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．
（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数．
（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值．
（5）计算原始定积分的值．
利用定积分的几何意义求定积分
[例2] 利用定积分的几何意义计算下列定积分：
（1）dx；
（2）（3x3＋4sinx）dx.
[解]
（1）
根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆（x－1）2＋y2＝1的面积的（如图所示的阴影部分）．
故dx＝.
（2）（3x3＋4sinx）dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．
设y＝f（x）＝3x3＋4sinx，
则f（－x）＝3（－x）3＋4sin（－x）＝－（3x3＋4sinx）＝－f（x），又f（0）＝0，
所以f（x）＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数，
所以（3x3＋4sinx）dx＝－（3x3＋4sinx）dx，
所以（3x3＋4sinx）dx＝（3x3＋4sinx）dx＋（3x3＋4sinx）dx＝0.
[方法技巧]
1．利用定积分几何意义求定积分的策略
当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．
2．两个常用结论
设函数f（x）在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论：
（1）若f（x）是偶函数，则f（x）dx＝2f（x）dx；
（2）若f（x）是奇函数，则f（x）dx＝0.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.（x－1）dx＝（ ）
A．2B．－2
C.D.
解析：
选B （x－1）dx＝＝－＝－2.
2.
sin2dx＝（ ）
A．0B.－
C.－D.－1
解析：
选B ∫
sin2dx＝
dx＝x－sinx＝－.
3.设f（x）＝（其中e为自然对数的底数），则f（x）dx的值为（ ）
A.B．2C．1D.
解析：
选A 根据定积分的性质，可知f（x）dx可以分为两段，则f（x）dx＝x2dx＋dx＝x3＋lnx＝＋1＝.
4.dx＝________.
解析：
根据定积分的几何意义，可知dx表示圆（x－2）2＋y2＝1与x＝1，x＝2及y＝0所围成的圆的面积的，即dx＝.
答案：
5.[－sinx]dx＝________.
解析：
令＝y，则x2＋y2＝1（y≥0），该方程表示以（0,0）为圆心，1为半径的圆的一半．所以dx表示圆x2＋y2＝1与x轴所围成的上半圆的面积，因此＝.又因为sinxdx＝（－cosx）＝－cos1－[－cos（－1）]＝0，所以－1[－sinx]dx＝.
答案：
突破点
（二） 定积分的应用
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．定积分与曲边梯形面积的关系
如图：
设阴影部分面积为S.
图形
阴影部分面积
S＝f（x）dx
S＝－f（x）dx
S＝f（x）dx－f（x）dx
S＝f（x）dx－g（x）dx
＝[f（x）－g（x）]dx
2．求变速运动的路程
做变速运动的物体在时间[a，b]上所经过的路程s，等于其速度函数v＝v（t）（v（t）≥0）在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v（t）dt.
具体步骤为：
①找出速度函数v＝v（t），作出图形．②观察v＝v（t）的图形是否满足v（t）≥0.③若v（t）≥0，则相应的时间段[a，b]上的路程为s＝v（t）dt；若v（t）<0，则相应的时间段[a，b]上的路程为s＝＝－v（t）dt.
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
利用定积分求平面图形的面积
[例1] 由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A.B．4 C. D．6
[解析] 作出曲线y＝和直线y＝x－2的草图（如图所示），所求面积为阴影部分的面积．
由得交点A（4,2）．
因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为
dx＝＝x－x2＋2x＝×8－×16＋2×4＝.
[答案] C
[方法技巧]
利用定积分求平面图形面积的步骤
（1）根据题意画出图形；
（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
（4）计算定积分，写出答案．
定积分在物理中的应用
[例2]
（1）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7－3t＋（t的单位：
s，v的单位：
m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：
m）是（ ）
A．1＋25ln5 B．8＋25ln
C．4＋25ln5D．4＋50ln2
（2）一物体在力F（x）＝（单位：
N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4（单位：
m）处，则力F（x）做的功为________J.
[解析]
（1）由v（t）＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为v（t）dt＝dt＝＝4＋25ln5.
（2）由题意知，力F（x）所做的功为
W＝F（x）dx＝5dx＋（3x＋4）dx
＝5x|＋
＝5×2＋＝36（J）．
[答案]
（1）C
（2）36
[方法技巧]
定积分在物理中的两个应用
（1）求物体做变速直线运动的路程：
如果物体做变速直线运动，且其速度为v＝v（t）（v（t）≥0），那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v（t）dt.
（2）求变力做功：
一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝F（x）dx.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.若x（单位：
m）表示位移的大小，一物体在力F（x）＝（单位：
N）的作用下沿与力F（x）相同的方向运动了4m，力F（x）做功为（ ）
A．8JB．12JC．15JD.J
解析：
选D 由题意得W＝dx＝x
＝J.
2.曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2ln2B．2－ln2
C．4－ln2D．4－2ln2
解析：
选D
由曲线y＝与直线y＝x－1联立，解得x＝－1，x＝2，如图所示，故所求图形的面积为
S＝dx＝x2－x－2lnx＝4－2ln2.
3.（2016·衡阳一模）如图，阴影部分的面积是（ ）
A．32B．16C.D.
解析：
选C 由题意得，阴影部分的面积S＝（3－x2－2x）dx＝＝.
4．由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．
解析：
如图所示，由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点分别为（－1，0）和（1,0）．
所以S＝|x2－1|dx＝（1－x2）dx＋（x2－1）dx
＝＋
＝＋
＝2.
答案：
2
5.物体A以速度v＝3t2＋1（t的单位：
s，v的单位：
m/s）在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v＝10t（t的单位：
s，v的单位：
m/s）的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.
解析：
设bs后两物体相遇，则（3t2＋1）dt－10tdt＝5，即b3＋b－5b2＝5，（b2＋1）（b－5）＝0，解得b＝5，此时物体A离出发地的距离为（3t2＋1）dt＝（t3＋t）＝53＋5＝130（m）．
答案：
130
近五年全国卷对本节内容未直接考查
[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1.exdx的值等于（ ）
A．eB．1－e
C．e－1D.（e－1）
解析：
选C exdx＝ex|＝e1－e0＝e－1.
2．已知t是常数，若（2x－2）dx＝8，则t＝（ ）
A．1B．－2
C．－2或4D．4
解析：
选D 由（2x－2）dx＝8得，（x2－2x）＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2（舍去）．
3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt（g为常数），则电视塔高为（ ）
A.gB．g
C.gD．2g
解析：
选C 由题意知电视塔高为gtdt＝gt2＝2g－g＝g.
4．由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（ ）
A.B.C.D．1
解析：
选B
由得交点为（0,0）和（1,1），故所求面积（如图阴影部分的面积）为（－x2）dx＝
|＝.
5．
sindx＝________.
解析：
依题意得
sindx＝
（sinx＋cosx）dx＝（sinx－cosx）＝－（sin0－cos0）＝2.
答案：
2
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．定积分|x2－2x|dx＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
解析：
选D ∵|x2－2x|＝
∴x2－2xdx＝（x2－2x）dx＋（－x2＋2x）dx＝＋＝8.
2．（2017·河北五校联考）若f（x）＝f（f
（1））＝1，则a的值为（ ）
A．1B．2C．－1D．－2
解析：
选A 因为f
（1）＝lg1＝0，f（0）＝3t2dt＝t3|＝a3，所以由f（f
（1））＝1得a3＝1，所以a＝1.
3．若S1＝dx，S2＝（lnx＋1）dx，S3＝xdx，则S1，S2，S3的大小关系为（ ）
A．S1C．S1解析：
选A 如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.
4．（2017·贵阳监测）若由曲线f（x）＝与y轴及直线y＝m（m>0）围成的图形的面积为，则m的值为（ ）
A．2B．3C．1D．8
解析：
选A 由题意得，围成的图形的面积S＝（m－）dx＝m20＝m3－m3＝，解得m＝2.
5．设变力F（x）（单位：
N）作用在质点M上，使M沿x轴正方向从x＝1m处运动到x＝10m处，已知F（x）＝x2＋1且方向和x轴正方向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为（ ）
A．1JB．10JC．342JD．432J
解析：
选C 变力F（x）＝x2＋1使质点M沿x轴正方向从x＝1运动到x＝10所做的功W＝∫F（x）dx＝∫（x2＋1）dx＝|＝342（J）．
6．若函数f（x），g（x）满足－1f（x）g（x）dx＝0，则称f（x），g（x）为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f（x）＝sinx，g（x）＝cosx；②f（x）＝x＋1，g（x）＝x－1；③f（x）＝x，g（x）＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
解析：
选C 对于①，sinxcosxdx＝sinxdx＝0，所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，（x＋1）（x－1）dx＝（x2－1）dx≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，x·x2dx＝x3dx＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．选C.
二、填空题
7．若函数f（x）＝x＋，则f（x）dx＝________.
解析：
dx＝＝.
答案：
8．（2017·洛阳统考）函数f（x）＝的图象与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．
解析：
由题意知所求面积为（x＋1）dx＋exdx＝＋ex＝－＋（e－1）＝e－.
答案：
e－
9.dx＋dx＝________；
解析：
dx＝lnx＝1－0＝1，因为dx表示的是圆x2＋y2＝4在x轴上方的面积，故dx＝π×22＝2π.所以原式＝2π＋1.
答案：
2π＋1
10．如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2（0解析：
设图中阴影部分的面积为S（t），则S（t）＝（t2－x2）dx＋（x2－t2）dx＝t3－t2＋.由S′（t）＝2t（2t－1）＝0，得t＝为S（t）在区间（0,1）上的最小值点，此时S（t）min＝S＝.
答案：
三、解答题
11．已知f（x）为二次函数，且f（－1）＝2，f′（0）＝0，f（x）dx＝－2.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[－1,1]上的最大值与最小值．
解：
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则f′（x）＝2ax＋b.
由f（－1）＝2，f′（0）＝0，
得即
∴f（x）＝ax2＋2－a.
又f（x）dx＝（ax2＋2－a）dx
＝＝2－a＝－2.
∴a＝6，从而f（x）＝6x2－4.
（2）∵f（x）＝6x2－4，x∈[－1,1]．
∴当x＝0时，f（x）min＝－4；
当x＝±1时，f（x）max＝2.
12．已知函数f（x）＝x3－x2＋x＋1，求其在点（1,2）处的切线与函数g（x）＝x2围成的图形的面积．
解：
∵（1,2）为曲线f（x）＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点（1,2）处的切线的斜率为k，
则k＝f′
（1）＝（3x2－2x＋1）＝2，
∴过点（1,2）处的切线方程为y－2＝2（x－1），
即y＝2x.
y＝2x与函数g（x）＝x2围成的图形如图：
由可得交点A（2,4），O（0,0），
故y＝2x与函数g（x）＝x2围成的图形的面积
S＝（2x－x2）dx＝＝4－＝.
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