传热学解析解.docx
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传热学解析解
二维稳态导热在一定边界条件下解析法求解
一、问题描述
二维有限铁板，长1.5m,宽40cm,短边两端绝热，长边两端表面与空气接触，上下表面处空气温度分别为100℃和20℃，求稳态导热后，板内温度分布。
二、解析法求解
解：
如图建立平面直角坐标系:
所给问题及边界条件的数学描述为：
假设该函数可用分离变量法求解，则
则有
下面对
取值正负分类讨论：
（1）
<0时
代入X方向边界条件易得：
即
<0时，
只有零解；
（2）
>0时
由x方向边界条件解得：
则方程固有值和固有解为
将
代入
得
叠加后得方程通解为
其中
；
对于任一确定
由y方向边界条件代入得：
整理得：
系数行列式
，且有
，
故方程有唯一非零解
由Cramer'sRule：
同理，
即
>0时，
只有零解，这与前面判断结果方程有唯一非零相矛盾，所以
>0的情况不存在
（3）
=0时，有
通解为
代入X方向边界条件得
，即
所以最终结果可以认为与x方向无关；
同时
通解为
代入y方向边界条件得
解得：
其中，毕沃数
即
=0时，方程的通解为
代入实际情况，取
得
即为所求问题的解
三、分析讨论
1.结果分析
下图左为数值法求解所得结果，右为解析法求解所得图像
从图像上可以看出，数值解与解析解所得温度分布趋势一直，Z坐标（温度分布）区间一致，说明解法正确。
从结果图像上看，温度主要分布在50-70°之间，说明对流热阻占到了很大比重。
2.解法分析
该问题的物理模型为二维稳态导热的定解问题，数学模型为二维拉普拉斯方程的定解问题，边界条件X方向为两个第二类齐次边界条件，Y方向为两个第三类非齐次边界条件。
解法为分离参数法，并且对特征值
进行了分类讨论。
由实际情况可以预测，该问题有唯一确定解，稳态状态为静态稳态，所以在
的三种情况的讨论中，必然有两种情况会被否定。
本题中，
时，方程均为零解。
本题的特殊之处在于最后由于
只能取零，情况特殊，所以最终数学模型转化为两个独立的二阶齐次线性微分方程的求解，物理模型也演变为一维稳态导热，使问题求解大大简化！
一般地，如果X方向边界并非绝热，如四边均为第三类非齐次边界条件，则可利用叠加原理对其进行简化和叠加。
可以将问题分解为四个简单情况的叠加，每一个只有一条边为原边界条件，另外三边绝热，最后再将结果叠加。
该方法的理论基础为线性微分方程解的叠加原理。
需要注意的是，在进行问题分解和简化的时候，只能将边界条件转化为特殊情况的同一类边界条件，即只能转化为绝热（第三类边界条件极限情况），而不能简化为边界温度为零（第一类边界条件）。
3.进一步讨论
本题的解析法求解过程中，依然存在一些问题和值得思考的空间：
（1）在
>0讨论中得到的矩阵方程，其结果的判断，需要对系数行列式，系数矩阵的秩以及其增广矩阵的秩进行进行判断。
在应用克莱姆法则求解时，也要对最后的结果处理。
作者只是简单利用L'Hopital'sRule对分子分母的无穷小的阶数进行初步分析，并略去一些为零项。
更严密的做法应该是利用级数的收敛来判断，来给出
时的极限情况。
在这里还有进一步完善的空间。
（2）本题的关键在于最终确定特征值只能为零，从而将问题从本质上简化，将拉普拉斯方程两个方向上的方程化为两个独立的方程，将二维稳态导热变为一维稳态导热。
那么是否二者之间是等价关系，还需要进一步考虑，即特征值为零对应的物理意义是什么，或者说物理模型能否转化，某些假设（如x方向无传热）是否成立，是否可以通过某些特定数学条件初步判断，还有进一步思考的空间。
参考文献:
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