完整版小学奥数平面几何五大定律.docx
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完整版小学奥数平面几何五大定律
小学奥数平面几何五大定律
教学目标：
1.熟练掌握五大面积模型
2.掌握五大面积模型的各种变形知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比;
如右图S1:
S2a:
b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S\ACDS\BCD；
反之，如果SaacdSabcd，则可知直线AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形
）；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴（或D在BA的延长线上,
AC）:
（ADAE）
E在AC上）,
则SAABC:
SAADE（AB
图⑴
图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系
（“蝴蝶定理”）：
①S：
S2
S4:
S3或i者SiS3S2S4②AO:
OC
SiS2:
S4S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；
D
另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:
22
1S1:
S3a:
b
2S1:
S3:
S?
:
S4a2:
b2:
ab:
ab；
2
3S的对应份数为ab.
（二）沙漏模型
四、相似模型
（一）金字塔模型
①ADAEDEABACBC
②S\ADE:
ABC
AF；
AG；
AF2：
AG2.
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.
五、燕尾定理
在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点0,那么Sabo:
SacoBD:
DC.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状
很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着
广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的
三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径
典型例题
【例1】如图，正方形ABCD的边长为6,AE1.5,CF2.长方形EFGH的面积为.
G
【解析】连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
Sadef661.5622624.54216.5,所以长方形EFGH面积为33.
【巩固】如图所示，正方形
ABCD的边长为8厘米，长方形
EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?
【解析】
【例2】
【解析】
本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等
（长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明：
连接AG.（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.
1
-ABAB边上的高，
2
•••在正方形ABCD中，SaABG
1
•••Saabg-Swabcd（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半
2
同理，Sa=GB.
2
•正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.
长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、是多少？
解法一：
寻找可利用的条件,
可得：
Sehb2s
2
AHB、
即SEHBSBHFSDHG
而SEHBSBHFSDHG
所以阴影部分的面积是:
解法二：
特殊点法•找
长方形的宽88106.4（厘米）.
G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积
连接BH、HC,如下图:
SFHB
2（S
2S
2
CHB、
AHBSCHB
S1S
DHG
2
S）1
CHD小
2
DHC,而SabCD
3618；
SAHBSCHBSCHD
36
S阴影SEBF,SEBF
S阴影18SEBF
1
-BEBF
2
184.513.5
1
（2
AB）
11
（—BC）—364.5.
28
H的特殊点，把H点与D点重合,
那么图形就可变成右图:
这样阴影部分的面积就是
DEF的面积，根据鸟头定理，则有：
S阴影SaBCDSAED
1111111
SbefScfd3636363613.5.
2222222
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分面积.
【解析】
P点与A点重合，则阴影部
11
-和-，所以阴影部分的面
46
（法1）特殊点法•由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的
211
积为6（--）15平方厘米.
46
（法2）连接PA、PC.
由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和
11
等于正方形ABCD面积的1，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,
46
211所以阴影部分的面积为62（-丄）15平方厘米.
46
70,AB8,AD15，四边形EFGO的面积
【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为为
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE
和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.
1
由于长方形ABCD的面积为158120，所以三角形BOC的面积为120-30，所以三角形AOE和
4
3
DOG的面积之和为1207020;
4
11
又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120--30,所以四边形EFGO的面积为
302010.
另解：
从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050，所以四边形的面积为605010.
【巩固】
如图，长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE2ED，则阴影部分的面积为
【解析】
如图，连接0E•
根据蝴蝶定理，ON:
ND
SCOE:
Scde
1
2Scae：
Scde1:
1，所以Soen
1S
sOED
2
【例4】
【解析】
【例5】
【解析】
OM:
MA
又SOED
SBOE:
SBAE
1S:
S
sBDE:
sBAE
2
1
1:
4，所以SOEMSOEA•
5
11s
34S矩形ABCD
3,Soea
2SOED6，所以阴影部分面积为:
1
62.7•
5
已知ABC为等边三角形,求阴影五边形的面积.
面积为400,D、E、F分别为三边的中点，已知甲、（丙是三角形HBC）
乙、
丙面积和为143,
因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形根据图形的容斥关系，有Sabc
ABN和三角形AMC的面积都等于三角形
S丙SABNSAMCSAMHN,
即400
又S阴影
SW200200SAMHN
，所以S丙SamhN•
SADF
s&SAMHN，所以缶影S甲S乙囱sADF
已知CD
如图，
右边部分面积是
5,
65,
ABC的一半，即为200•
143-40043
4
DE7,EF15,FG6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,
那么三角形ADG的面积是•
G
G
连接AF,BD•
根据题意可知，CF571527;DG
15$12
SCBF,SBECSCBF,SAEG
27'27
所以，SBEF
7156
28;
217_
SADG,SAEDSADG,
2828
T曰
于是:
21
28
SADG
%
27
CBF
65；箱Sadg
28
CBF
38；
可得SADG40.故三角形ADG的面积是40.
【例6］
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:
AB
2:
5,AE:
AC
4:
7，S^ADE
16平方厘
米，求△ABC的面积.
【解析］
连接BE,Saade:
SaabeAD:
AB2:
5
（24）:
（5
4）,
abe:
S^abcAE:
AC4:
7（45）:
（7
Saabc35份，S\ADE16平方厘米，所以
5），所以
1份是2平方厘米,
S^Ade:
S^ABC（24）:
（75），设
35份就是70平方厘米，
S^ADE8份，则
△ABC的面积是
70平方厘米•由此我们得到一个重要的定理,补角）两夹边的乘积之比.
共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角
（相等角或互
【巩固］
【解析］
连接BE.
•••EC3AE
•••SvABC3SvaBE
又TAB5AD
•SvADESvaBE
C
C
5Svabc15，…Svabc15Svade15.
【巩固］如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分,是甲部分面积的几倍？
BDDC4,BE3,AE
6，乙部分面积
如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少？
【解析］连接AD.
•••BE3,AE6
•-AB3BE,Svabd3Svbde
又•••BDDC4,
•B/ABC2S；abd
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