完整版小学奥数平面几何五大定律.docx

1、完整版小学奥数平面几何五大定律小学奥数平面几何五大定律教学目标：1.熟练掌握五大面积模型2.掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等;两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比;如右图S1 :S2 a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 SACD SBCD ；反之，如果Saacd Sa bcd，则可知直线 AB平行于CD .等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等

2、，面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比. 如图在 ABC中，D,E分别是AB, AC上的点如图 （或D在BA的延长线上,AC）:（AD AE）E在AC上),则 SA ABC : SA ADE (AB图图三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）： S ：S2S4 : S3 或i者 Si S3 S2 S4 AO : OCSi S2 : S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径. 通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角

3、形相联系；D另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:2 21S1 :S3 a : b2S1 : S3: S? : S4 a2 : b2 : ab : ab ；23S的对应份数为 a b .（二）沙漏模型四、相似模型（一）金字塔模型 AD AE DE AB AC BC S ADE: ABCAF ；AG ；AF2： AG2 .所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似 ），与相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等

4、于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、燕尾定理在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一点 0 ,那么S abo : S aco BD : DC . 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段， 因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理. 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中， 为三

5、角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径典型例题【例1】 如图，正方形 ABCD的边长为6, AE 1.5, CF 2.长方形EFGH的 面积为 .G【解析】 连接DE , DF ,则长方形EFGH的面积是三角形 DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，Sa def 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5,所以长方形 EFGH 面积为 33.【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?【解析】【例2】【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形

6、和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接 AG .（我们通过 ABG把这两个长方形和正方形联系在一起 ）.1-AB AB边上的高，2在正方形ABCD中，Sa ABG1 Sa abg -Swabcd （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半2同理，Sa =GB .2正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形ABCD的面积为 36 cm2 , E、F、 是多少？解法一：寻找可利用的条件,可得：Sehb 2 s2AHB、即 S EHB S BHF S DHG而 S EHB S BHF S DHG所以阴影部分的面积是:解法二：特殊点

7、法找长方形的宽 8 8 10 6.4（厘米）.G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积连接 BH、HC,如下图:S FHB2(S2S2CHB 、AHB S CHBS 1SDHG2S ) 1CHD 小2DHC , 而Sab CD36 18 ；S AHB S CHB S CHD36S阴影 S EBF , S EBFS阴影 18 S EBF1-BE BF218 4.5 13.51(2AB)1 1(BC) 36 4.5 .2 8H的特殊点，把H点与D点重合,那么图形就可变成右图:这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：S阴影 SaBCD S AED1 1 1 1 1 1 1S

8、 bef S cfd 36 36 36 36 13.5 .2 2 2 2 2 2 2【巩固】在边长为 6厘米的正方形 ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分 别与P点连接，求阴影部分面积.【解析】P点与A点重合，则阴影部1 1-和-，所以阴影部分的面4 6（法1 ）特殊点法由于 P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的2 1 1积为6 （- -）15平方厘米.46（法2）连接PA、PC .由于PAD与PBC的面积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和11等于正方形

9、 ABCD面积的1，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD面积的1 ,4 621 1 所以阴影部分的面积为 62 （-丄）15平方厘米.4 670, AB 8 , AD 15，四边形EFGO的面积【例3】 如图所示，长方形 ABCD内的阴影部分的面积之和为 为【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形 AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形 EFGO的面积.1由于长方形 ABCD的面积为15 8 120，所以三角形 BOC的面积为120 - 30，所以三角形 AOE和43DOG的面积之和为120 70 20 ;41

10、1又三角形 AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 - - 30 ,所以四边形 EFGO的面积为30 20 10.另解：从整体上来看，四边形 EFGO的面积 三角形AFC面积 三角形BFD面积 白色部分的面积， 而三角形AFC面积 三角形BFD面积为长方形面积的一半， 即60,白色部分的面积等于长方形面积减 去阴影部分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为 60 50 10 .【巩固】如图，长方形 ABCD的面积是36, E是AD的三等分点， AE 2ED，则阴影部分的面积为【解析】如图，连接0E 根据蝴蝶定理，ON : NDS COE : S cde12Scae：Scde

11、 1:1，所以 Soen1Ss OED2【例4】【解析】【例5】【解析】OM : MA又 S OEDS BOE : S BAE1S :Ss BDE : s BAE211:4，所以 S OEM S OEA 51 1s3 4 S矩形 ABCD3 , S oea2S OED 6，所以阴影部分面积为:16 2.7 5已知ABC为等边三角形, 求阴影五边形的面积.面积为400, D、E、F分别为三边的中点， 已知甲、 （丙是三角形HBC）乙、丙面积和为143,因为D、E、F分别为三边的中点，所以 DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平 行，根据面积比例模型，三角形 根据图形的容斥关系，

12、有 S abcABN和三角形AMC的面积都等于三角形S丙 S ABN S AMC SAMHN ,即400又S阴影SW 200 200 SAMHN，所以S丙 SamhN S ADFs& SAMHN，所以缶影 S甲 S乙 囱 s ADF已知CD如图，右边部分面积是5 ,65,ABC的一半，即为200 143 - 400 434DE 7 , EF 15, FG 6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是 38,那么三角形 ADG的面积是 GG连接AF , BD 根据题意可知， CF 5 7 15 27; DG15 $ 12S CBF , S BEC S CBF , S AEG27 27所以，S B

13、EF7 15 628;21 7_S ADG , S AED S ADG ,28 28T曰于是:2128S ADG%27CBF65；箱Sadg28CBF38；可得S ADG 40 .故三角形 ADG的面积是40.【例6如图在 ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且 AD: AB2:5 , AE:AC4:7 ， S ADE16平方厘米，求 ABC的面积.【解析连接 BE , Saade : Saabe AD : AB 2:5(2 4):(54),abe : S abc AE : AC 4 : 7 (4 5) : (7Sa abc 35份， S ADE 16平方厘米，所以5），所以1份是2平方厘

14、米,S Ade : S ABC (2 4):(7 5)，设35份就是70平方厘米，S ADE 8 份，则 ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理, 补角）两夹边的乘积之比 .共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互【巩固【解析连接BE . EC 3AESv ABC 3SvaBE又 T AB 5ADSv ADE SvaBECC5 Svabc 15，Svabc 15Svade 15 .【巩固如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分, 是甲部分面积的几倍？BD DC 4, BE 3 , AE6，乙部分面积如图，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的面积等于1,那么三 角形ABC的面积是多少？【解析连接AD . BE 3 , AE 6- AB 3BE , Svabd 3Svbde又 BD DC 4 ,B/ABC 2S； abd