第11章三角形综合测试.docx

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第11章三角形综合测试

第11章三角形综合测试

一．选择题（共8小题）

1．（2015•崇左）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（　　）

A．2B．3C．5D．8

2．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（　　）

A．118°B．119°C．120°D．121°

3．（2015•丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（　　）

A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形

4．（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）

A．27B．35C．44D．54

5．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（　　）

A．60°B．65°C．55°D．50°

6．（2015•怀化校级自主招生）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（　　）

A．7B．8C．9D．10

7．（2015•肥城市一模）将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（　　）

A．75°B．60°C．45°D．30°

8．（2015•杭州模拟）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为（　　）

A．115°B．105°C．95°D．85°

二．填空题（共6小题）

9．（2015•巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足

+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是　　　　　　．

10．（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=　　　　　　．

11．（2015•怀柔区二模）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有　　　　　　性．

12．（2015•绵阳模拟）三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是　　　　　　．

13．（2015•杭州模拟）三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为　　　　　　．

14．（2015•盘锦二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=　　　　　　．

三．解答题（共6小题）

15．（2015春•滦平县期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

（1）猜想：

△ABD与△ADC的面积有何关系？

并简要说明理由；

（2）在△BED中作BD边上的高；

（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？

16．（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC

（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；

（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=

是否成立，并说明理由．

17．（2015春•长春期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，∠BCD=35°，∠BDC=80°．求∠A的度数．

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．

解：

∵∠BCD+∠BDC+∠B=180°（　　　　　　）

∴∠B=180°﹣∠BCD﹣∠BDC（等式性质）

=180°﹣35°﹣　　　　　　

=　　　　　　．

∵在△ABC中，∠ACB=90°（已知）．

∴∠A+　　　　　　=90°（　　　　　　）

∴∠A=90°﹣　　　　　　=　　　　　　．

18．（2015春•滦平县期末）如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线．求∠EAD的度数．

19．（2016春•日照期中）如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：

EP⊥FP．

20．（2015春•苏州校级期中）△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PE=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图l，且∠α=50°，则∠1+∠2=　　　　　　°

（2）若点P在边AB上运动，如图2，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：

　　　　　　；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠l、∠2之间有何关系？

猜想并说明理由．

（4）若点P运动到△ABC形外，如图4，则∠α、∠l、∠2之间的关系为：

　　　　　　．

第11章三角形综合测试

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．（2015•崇左）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（　　）

A．2B．3C．5D．8

【解答】解：

设第三边长为x，则

由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．

故选：

C．

2．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（　　）

A．118°B．119°C．120°D．121°

【解答】解：

∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，

∴∠CBE=

∠ABC，∠BCD=

，

∴∠CBE+∠BCD=

（∠ABC+∠BCA）=60°，

∴∠BFC=180°﹣60°=120°，

故选：

C．

3．（2015•丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（　　）

A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形

【解答】解：

外角是180°﹣120°=60°，

360÷60=6，则这个多边形是六边形．

故选：

C．

4．（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）

A．27B．35C．44D．54

【解答】解：

设这个内角度数为x，边数为n，

∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，

180n=1870+x，

∵n为正整数，

∴n=11，

∴

=44，

故选：

C．

5．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（　　）

A．60°B．65°C．55°D．50°

【解答】解：

∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，

∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，

∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，

∴∠PDC+∠PCD=

（∠BCD+∠CDE）=120°，

∴∠P=180°﹣120°=60°．

故选：

A．

6．（2015•怀化校级自主招生）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（　　）

A．7B．8C．9D．10

【解答】解：

∵S△CDE=3，S△ADE=6，

∴CE：

AE=3：

6=

（高相等，面积比等于底的比）

∴S△BCE：

S△ABE=CE：

AE=

∵S△BCE=4，

∴S△ABE=8．

故应选：

B．

7．（2015•肥城市一模）将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（　　）

A．75°B．60°C．45°D．30°

【解答】解：

∵∠CBA=60°，∠BCD=45°，

∴∠α=180°﹣60°﹣45°=75°，

故选：

A．

8．（2015•杭州模拟）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为（　　）

A．115°B．105°C．95°D．85°

【解答】解：

∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，

∴∠BMF=80°，∠FNB=70°，

∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，

∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，

∴∠F=∠B=180°﹣50°﹣35°=95°，

∴∠D=360°﹣100°﹣70°﹣95°=95°．

故选C．

二．填空题（共6小题）

9．（2015•巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足

+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是　1＜c＜5　．

【解答】解：

由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，

解得a=3，b=2，

∵3﹣2=1，3+2=5，

∴1＜c＜5．

故答案为：

1＜c＜5．

10．（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=　24°　．

【解答】解：

正三角形的每个内角是：

180°÷3=60°，

正方形的每个内角是：

360°÷4=90°，

正五边形的每个内角是：

（5﹣2）×180°÷5

=3×180°÷5

=540°÷5

=108°，

正六边形的每个内角是：

（6﹣2）×180°÷6

=4×180°÷6

=720°÷6

=120°，

则∠3+∠1﹣∠2

=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）

=30°+12°﹣18°

=24°．

故答案为：

24°．

11．（2015•怀柔区二模）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有　稳定　性．

【解答】解：

生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．

故答案为：

稳定．

12．（2015•绵阳模拟）三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是　3或4　．

【解答】解：

2x﹣1＜9，

解得：

x＜5，

∵x是它的正整数解，

∴x可取1，2，3，4，

根据三角形第三边的取值范围，得2＜x＜14，

∴x=3，4．

故答案为：

3或4．

13．（2015•杭州模拟）三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为　15°　．

【解答】解：

由题意得：

α=2β，α=110°，则β=55°，

180°﹣110°﹣55°=15°，

故答案为：

15°．

14．（2015•盘锦二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=　240°　．

【解答】解：

根据三角形的内角和定理得：

四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，

则根据四边形的内角和定理得：

∠1+∠2=360°﹣120°=240°．

故答案为：

240°．

三．解答题（共6小题）

15．（2015春•滦平县期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

（1）猜想：

△ABD与△ADC的面积有何关系？

并简要说明理由；

（2）在△BED中作BD边上的高；

（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？

【解答】解：

（1）△ABD与△ADC的面积相等，理由如下：

作AF⊥BC，如图1：

因为BD=DC，AF=AF，

所以△ABD与△ADC的面积相等；

（2）作图，如图2：

（3）因为△ABC的面积为40，BD=5，

所以△ABD的面积为20，

因为BE为△ABD的中线，

所以△BDE的面积为10，

所以△BDE中BD边上的高为4．

16．（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC

（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；

（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=

是否成立，并说明理由．

【解答】证明：

（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；

又∵AE平分∠BAC，

∴∠1=

=72°，

∴∠3=∠1+∠C=72°，

又∵AD⊥BC于D，

∴∠2=90°，

∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．

（2）成立．

如图2，∵AE平分∠BAC，

∴∠1=

=

=90°﹣

，

∴∠3=∠1+∠C=90°﹣

+

，

又∵PF⊥BC于F，

∴∠2=90°，

∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=

．

17．（2015春•长春期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，∠BCD=35°，∠BDC=80°．求∠A的度数．

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．

解：

∵∠BCD+∠BDC+∠B=180°（　三角形的内角和等于180°　）

∴∠B=180°﹣∠BCD﹣∠BDC（等式性质）

=180°﹣35°﹣　80°　

=　65°　．

∵在△ABC中，∠ACB=90°（已知）．

∴∠A+　∠B　=90°（　直角三角形的两个锐角互余　）

∴∠A=90°﹣　65°　=　25°　．

【解答】解：

∵∠BCD+∠BDC+∠B=180°（三角形的内角和等于180°），

∴∠B=180°﹣∠BCD﹣∠BDC（等式的性质）

=180°﹣35°﹣80°

=65°．

∵在△ABC中，∠ACB=90°（已知），

∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）．

∴∠A=90°﹣65°（或填∠B）=25°．

18．（2015春•滦平县期末）如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线．求∠EAD的度数．

【解答】解：

∵∠B=60°，∠C=20°，

∴∠BAC=180°﹣60°﹣20°=100°，

∵AE为角平分线，

∴∠BAE=100°÷2=50°，

∵AD为△ABC的高，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°﹣60°=30°，

∴∠EAD=∠BAE﹣∠BAD=50°﹣30°=20°，

即∠EAD的度数是20°．

19．（2016春•日照期中）如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：

EP⊥FP．

【解答】证明：

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD=180°，

又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，

∴∠PEF=

∠BEF，∠EFP=

∠EFD，

∴∠PEF+∠EFP=

（∠BEF+∠EFD）=90°，

∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，

即EP⊥FP．

20．（2015春•苏州校级期中）△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PE=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图l，且∠α=50°，则∠1+∠2=　130　°

（2）若点P在边AB上运动，如图2，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：

　∠1+∠2=80°+α　；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠l、∠2之间有何关系？

猜想并说明理由．

（4）若点P运动到△ABC形外，如图4，则∠α、∠l、∠2之间的关系为：

　∠2﹣∠1=80°﹣α　．

【解答】解：

（1）∵∠CDP=180°﹣∠1，∠CEP=180°﹣∠2，

而∠C+∠DPE+∠CDP+∠CEP=360°，

∴∠C+180°﹣∠1+180°﹣∠2+α=360°，

∴∠1+∠2=∠C+α=80°+50°=130°；

（2）∠α、∠1、∠2之间的关系为∠1+∠2=80°+α；

（3）∠1﹣∠2=80°+α．理由如下：

如图3，

∵∠1=∠C+∠3，

而∠3=∠2+α，

∴∠1=∠C+∠2+α，

∴∠1﹣∠2=80°+α；

（4）如图4，

∵∠1=α+∠3，∠2=∠C+∠4，

而∠3=∠4，

∴∠1﹣α=∠2﹣∠C，

∴∠2﹣∠1=∠C﹣α=80°﹣α．

故答案为130°；∠1+∠2=80°+α；∠1﹣∠2=80°+α；∠2﹣∠1=80°﹣α．