圆锥曲线的范围问题.docx

1、圆锥曲线的范围问题圆锥曲线的范围问题核心考点精准研析考点一几何法求范围1.已知直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是()A.2,+)B.2,+)C.2,4D.2,42.已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,B.0,C.,1D.,13.过双曲线-=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为

2、_.【解析】1.选D.椭圆+y2=1的焦点为:F1(-,0),F2(,0),由l1与l2方程可知l1l2,直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,且两条直线分别经过定点(-1,0),(1,0),所以它们的交点Q满足:x2+y2=1(x-1),当Q与(1,0)重合时,|QF1|+|QF2|取最小值为|F1F2|=2,当Q与短轴端点重合时,|QF1|+|QF2|取最大值为2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范围是2,4.2.选A.不妨设M(0,b),点M到直线l的距离d=,即b1,所以e2=1-1-=,所以0e,即e的取值范围是0,.【一题多解】选A.记椭圆的左焦点

3、为F1,M为上顶点,连接AF1,BF1,过M作l的垂线,垂足为N,由已知4a=|AF1|+|BF1|+|AF|+|BF|=4+4=8,所以a=2,直线l的斜率k=tanAOF=,所以cosAOF=,又OMN=AOF,所以cosOMN=,|MN|=b,所以b1,e2=1-1-=,所以00,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得2.所以e=1,所以1eb0),左右焦点分别为F1,F2,R为短轴的一个端点,且RF1F2的面积为.设过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,P为椭圆C上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率都存在,kPAkPB=-.(1)求a,b的值.(2)设Q为

4、椭圆C上位于x轴上方的一点,且QF1x轴,M,N为椭圆C上不同于Q的两点,且MQF1=NQF1,设直线MN与y轴交于点D(0,d),求d的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b点差法转化kPAkPB=-,结合RF1F2的面积列出方程组求解(2)设直线QM的方程将两角相等转化为两直线QM,QN斜率之间的关系求直线MN的斜率将直线方程与椭圆方程联立,分别求出M、N点的横坐标,利用两点坐标表示出直线MN的斜率.求d所满足的不等式将直线MN的方程与椭圆方程联立,由位置关系列出不等关系解不等式求范围解所得不等式即可求得d的取值范围【解析】(1)设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-

5、x1,-y1),进一步得,+=1,+=1,两个等式相减得,+=0,所以=-,所以kPAkPB=-,因为kPAkPB=-,所以-=-,即=,设b=t,a=2t(t0),因为a2=b2+c2,所以c=t,由RF1F2的面积为得,=,即bc=,即t2=,t=1,所以a=2,b=.(2)设直线QM的斜率为k,因为MQF1=NQF1,所以QM,QN关于直线QF1对称,所以直线QN的斜率为-k,算得F1(-1,0),Q,所以直线QM的方程是y-=k(x+1),设M(x3,y3),N(x4,y4)由消去y得,(3+4k2)x2+(12+8k)kx+(4k2+12k-3)=0,所以-1x3=,所以x3=,将上

6、式中的k换成-k得,x4=,所以kMN=-,所以直线MN的方程是y=-x+d,代入椭圆方程+=1得,x2-dx+d2-3=0,所以=(-d)2-4(d2-3)0,所以-2d-(-1)+d,所以-2db0)的上顶点和左焦点,若EF与圆x2+y2=相切于点T,且点T是线段EF靠近点E的三等分点.(1)求椭圆C的标准方程.(2)直线l:y=kx+m与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第二象限,过坐标原点O且与l垂直的直线l与圆x2+y2=8相交于A,B两点,求PAB面积的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b根据已知分别求出a,b的值.(2)建立k,m的关系式直线方程与椭圆方程联立,利用

7、方程只有一解即可建立两者的关系式求P到直线l的距离求P点坐标,代入距离公式求解表示PAB面积利用三角形面积公式建立目标函数求取值范围根据目标函数的结构特征,利用基本不等式求解最值,从而确定其取值范围【解析】(1)OT2=ETTF=aa=,a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,椭圆C的标准方程为+=1.(2)由得,(3k2+1)x2+6kmx+3m2-6=0,因为直线l:y=kx+m与椭圆C相切于点P,所以=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-6)=12(6k2+2-m2)=0,即m2=6k2+2,解得x=,y=,即点P的坐标为,因为点P在第二象限,所以k0,m0,所以m=,所以点P的

8、坐标为,设直线l与l垂直交于点Q,则|PQ|是点P到直线l的距离,设直线l的方程为y=-x,则|PQ|=,所以SPAB=4|PQ|=4-4,当且仅当3k2=,即k2=时,取得最大值4-4,所以PAB面积的取值范围为(0,4-4.1.已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为2,且C与y轴交于A(0,-1),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线x=3交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可得,b=1,c=,所以a=2,椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)方法一:设P

9、(x0,y0)(00,又00),与椭圆x2+4y2=4联立得:(1+4)x2-8k1x=0,xP=,同理设直线BP的方程为y=k2x+1,可得xP=,由=,可得4k1k2=-1,所以M(3,3k1-1),N(3,3k2+1),MN的中点为,所以以MN为直径的圆为(x-3)2+=.当y=0时,(x-3)2+=,所以(x-3)2=,因为MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,所以0,代入4k1k2=-1得:0,所以k10,整理得m24k2+3.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.设点E的坐标为(x0,y0),则x0=-,所以y0=kx0+m=-+m=,所以点E的坐标为.

10、所以直线l2的斜率为k=.又直线l1和直线l2垂直,则k=-1,所以m=-.将m=-代入式,可得或kb0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOMkON=,求原点O到直线l的距离的取值范围.【解析】(1)由题知e=,2b=2,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,依题意,=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,化简得m24k2+1,x1+x2=-,x1x2=,y1y2

11、=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOMkON=,则=,即4y1y2=5x1x2,所以(4k2-5)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0,所以(4k2-5)+4km+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=,由得0m2,k2.因为原点O到直线l的距离d=,所以d2=-1+,又k2,所以0d20,设Q,因为P在椭圆上,所以+=1,解得y0=,即P.因为F1,由PQ=F1Q得,c-x1=,-y1=-y1,解得x1=-c,y1=-,所以Q.因为点Q在椭圆上,所以e2+=1,即e2+=,所以(+2)e

12、2=-2,从而e2=.因为45,所以e2.解得e,所以椭圆C的离心率的取值范围为.圆锥曲线的范围问题核心考点精准研析考点一几何法求范围1.已知直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是()A.2,+)B.2,+)C.2,4D.2,42.已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,B.0,C.,1D.,13.过双曲线-=1(a0,b0)的右顶点且斜率为

13、2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为_.【解析】1.选D.椭圆+y2=1的焦点为:F1(-,0),F2(,0),由l1与l2方程可知l1l2,直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,且两条直线分别经过定点(-1,0),(1,0),所以它们的交点Q满足:x2+y2=1(x-1),当Q与(1,0)重合时,|QF1|+|QF2|取最小值为|F1F2|=2,当Q与短轴端点重合时,|QF1|+|QF2|取最大值为2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范围是2,4.2.选A.不妨设M(0,b),点M到直线l的距离d=,即b1,所以e2=1-1-=,

14、所以0e,即e的取值范围是0,.【一题多解】选A.记椭圆的左焦点为F1,M为上顶点,连接AF1,BF1,过M作l的垂线,垂足为N,由已知4a=|AF1|+|BF1|+|AF|+|BF|=4+4=8,所以a=2,直线l的斜率k=tanAOF=,所以cosAOF=,又OMN=AOF,所以cosOMN=,|MN|=b,所以b1,e2=1-1-=,所以00,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得2.所以e=1,所以1eb0),左右焦点分别为F1,F2,R为短轴的一个端点,且RF1F2的面积为.设过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,P为椭圆C上异于A,B的一点,且直线PA,PB

15、的斜率都存在,kPAkPB=-.(1)求a,b的值.(2)设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点,且QF1x轴,M,N为椭圆C上不同于Q的两点,且MQF1=NQF1,设直线MN与y轴交于点D(0,d),求d的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b点差法转化kPAkPB=-,结合RF1F2的面积列出方程组求解(2)设直线QM的方程将两角相等转化为两直线QM,QN斜率之间的关系求直线MN的斜率将直线方程与椭圆方程联立,分别求出M、N点的横坐标,利用两点坐标表示出直线MN的斜率.求d所满足的不等式将直线MN的方程与椭圆方程联立,由位置关系列出不等关系解不等式求范围解所得不等式即可求得d的取值

16、范围【解析】(1)设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-x1,-y1),进一步得,+=1,+=1,两个等式相减得,+=0,所以=-,所以kPAkPB=-,因为kPAkPB=-,所以-=-,即=,设b=t,a=2t(t0),因为a2=b2+c2,所以c=t,由RF1F2的面积为得,=,即bc=,即t2=,t=1,所以a=2,b=.(2)设直线QM的斜率为k,因为MQF1=NQF1,所以QM,QN关于直线QF1对称,所以直线QN的斜率为-k,算得F1(-1,0),Q,所以直线QM的方程是y-=k(x+1),设M(x3,y3),N(x4,y4)由消去y得,(3+4k2)x2+(12+8k)k

17、x+(4k2+12k-3)=0,所以-1x3=,所以x3=,将上式中的k换成-k得,x4=,所以kMN=-,所以直线MN的方程是y=-x+d,代入椭圆方程+=1得,x2-dx+d2-3=0,所以=(-d)2-4(d2-3)0,所以-2d-(-1)+d,所以-2db0)的上顶点和左焦点,若EF与圆x2+y2=相切于点T,且点T是线段EF靠近点E的三等分点.(1)求椭圆C的标准方程.(2)直线l:y=kx+m与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第二象限,过坐标原点O且与l垂直的直线l与圆x2+y2=8相交于A,B两点,求PAB面积的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b根据已知分别求出

18、a,b的值.(2)建立k,m的关系式直线方程与椭圆方程联立,利用方程只有一解即可建立两者的关系式求P到直线l的距离求P点坐标,代入距离公式求解表示PAB面积利用三角形面积公式建立目标函数求取值范围根据目标函数的结构特征,利用基本不等式求解最值,从而确定其取值范围【解析】(1)OT2=ETTF=aa=,a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,椭圆C的标准方程为+=1.(2)由得,(3k2+1)x2+6kmx+3m2-6=0,因为直线l:y=kx+m与椭圆C相切于点P,所以=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-6)=12(6k2+2-m2)=0,即m2=6k2+2,解得x=,y=,即点P的

19、坐标为,因为点P在第二象限,所以k0,m0,所以m=,所以点P的坐标为,设直线l与l垂直交于点Q,则|PQ|是点P到直线l的距离,设直线l的方程为y=-x,则|PQ|=,所以SPAB=4|PQ|=4-4,当且仅当3k2=,即k2=时,取得最大值4-4,所以PAB面积的取值范围为(0,4-4.1.已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为2,且C与y轴交于A(0,-1),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线x=3交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可得,b=1,c=,所以a=2,椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)方法一:设P(x0,y0)(00,又00),与椭圆x2+4y2=4联立得:(1+4)x2-8k1x=0,xP=,同理设直线BP的方程为y=k2x+1,可得xP=,由=,可得4k1k2=-1,所以M(3,3k1-1),N(3,3k2+1),MN的中点为,所以以MN为直径的圆为(x-3)2+=.当y=0时,(x-3)2+=,所以(x-3)2=,因为MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,所以0,代入4k1k2=-1得:0,所以k1,所以