一元一次方程解工程问题.docx

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一元一次方程解工程问题一元一次方程解工程问题课题：

列一元一次方程解有关工程问题的应用题教学目标：

1、使学生会列一元一次方程解有关应用题。

2、培养学生分析解决实际问题的能力。

复习引入：

1、在小学里我们学过有关工程问题的应用题，这类应用题中一般有工作总量、工作时间、工作效率这三个量。

这三个量的关系是：

（1）_

（2）_（3）_人们常规定工程问题中的工作总量为_。

2、由以上公式可知：

一件工作，甲用a小时完成，则甲的工作量可看成_，工作时间是_，工作效率是_。

若这件工作甲用6小时完成，则甲的工作效率是_。

讲授新课：

1、例题讲解：

一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。

问：

甲乙合做，需几小时完成这件工作？

（1）首先由一名至两名学生阅读题目。

（2）引导:

这道题目的已知条件是什么？

：

这道题目要求什么问题？

：

这道题目的相等关系是什么？

（3）由一学生口头设出求知数，并列出方程，师生共同解答；同时教师在黑板上写出解题过程，形成板书。

2、练习：

有一个蓄水池，装有甲、乙、丙三个进水管，单独开甲管，6分钟可注满空水池；单独开乙管，12分钟可注满空水池；单独开丙管，18分钟可注满空水池，如果甲、乙、丙三管齐开，需几分钟可注满空水池？

此题的处理方法：

先由一名学生阅读题目；：

然后由两名学生板演；3、变式练习：

丙管改为排水管，且单独开丙管18分钟可把满池的水放完，问三管齐开，几分钟可注满空水池？

要求学生口头列出方程。

4、继续讲解例题一件工作，甲单独做20小时完成，乙单（转载自第一范文网http:

/，请保留此标记。

）独做12小时完成。

若甲先单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，问：

还需几小时完成？

（1）先由学生阅读题目

（2）引导：

:

这道题目的已知条件是什么？

：

这道题目要求什么问题？

：

这道题目的相等关系是什么？

（3）由一学生口头设出求知数，并列出方程，师生共同解答；同时教师在黑板上写出解题过程，形成板书。

5、练习：

（1）一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。

若乙先做2小时，然后由甲、乙合做，问还需几小时完成？

（2）一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成？

以上两题的处理方法：

先由两名学生阅读题目；：

然后由两名学生板演；：

其他学生任选一题完成。

：

评讲后对第一题提出：

这项工程共需几天完成？

：

第一题还可根据什么等量关系列出方程呢？

根据此相等关系列出方程（学生口答）。

6、编应用题：

（1）根据方程：

3/12+x/12+x/6=1，编应用题。

（2）事由：

打一份稿件。

条件：

现在甲、乙两名打字员，若甲单独打这份稿件需6小时打完，若乙单独打这份稿件需12小时打完。

要求：

甲、乙两名打字员都要参与打字，并且要打完这份稿件。

处理方法：

由学生编出应用题，并设出未知数，列出方程。

课堂总结：

工程问题中的三个量的关系。

课堂作业：

见作业本选做题：

一件工作，甲单独做6小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做18小时完成，若先由甲、乙合做3小时，然后由乙丙合做，问共需几小时完成？

一元一次方程的应用

（一）列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。

许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。

因此我们要努力学好这部分知识。

一、列方程解应用题的主要步骤：

1、认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；2、用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；3、利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；4、求出所列方程的解；5、检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。

二、对常见应用题的解法分析1、和、差、倍、分问题；这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。

（1）倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。

（2）多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。

例1、某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？

分析：

相等关系是：

今年捐款=去年捐款2+1000。

解：

设去年为灾区捐款x元，由题意得，2x+1000=250002x=24000x=12000答：

去年该单位为灾区捐款12000元。

例2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

分析：

等量关系为：

油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。

解：

设油箱里原有汽油x公斤，由题意得，x（1-25%）（1-40%）+1=25%x+（1-25%）x40%去分母整理得，9x+20=5x+6x2x=20x=10答：

油箱里原有汽油10公斤。

2、等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：

原料体积=成品体积。

例3、现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？

分析：

等量关系为：

机轴的体积和=钢坯的体积。

解：

设可足够锻造x根机轴，由题意得，（）23x=（）230解这个方程得x=x=10=40答：

可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根。

3、劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有

（1）既有调入又有调出。

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

例4、有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的，应从乙队调多少人到甲队？

分析：

此问题中对乙队来说有调出，对甲队来说有调入。

等量关系为：

乙队调出后人数=甲队调入后人数。

解：

设应从乙队调x人到甲队，由题意得，183-x=（285+x）解这个方程，285+x=549-3x4x=264x=66答：

应从乙队调66人到甲队。

例5、甲、乙两个工程队分别有188人和138人，现需要从两队抽出116人组成第三个队，并使甲、乙两队剩余人数之比为2：

1，问应从甲、乙两队各抽出多少人？

分析：

此问题中只有调出，没有调入。

等量关系为：

甲队调出后人数=2乙队调出后人数。

解：

设应从甲队抽出x人，则应从乙队抽出（116-x）人，由题意得，188-x=2138-（116-x）解这个方程188-x=2（138-116+x）188-x=44+2x3x=144x=48116-x=116-48=68答：

应从甲队抽出48人，从乙队抽出68人。

例6、李明今年8岁，父亲是32岁，问几年以后父亲的年龄为李明的3倍。

分析：

此问题中只有调入，没有调出。

等量关系为：

几年后父亲年龄=3李明几年后的年龄。

解：

设x年后父亲的年龄为李明的3倍，由题意得，32+x=3（8+x）解这个方程：

32+x=24+3x2x=8x=4答：

4年后父亲的年龄为李明的3倍。

4、比例分配问题：

这类问题的一般思路为：

设其中一份为x,利用已知的比，写出相应的代数式。

常用等量关系：

各部分之和=总量。

例7、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：

3；乙、丙之比为6：

5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？

分析：

应设一份为x件，则其他量均可用含x的代数式表示。

等量关系为：

（甲日产量+丙日产量）-12=乙日产量的2倍。

解：

设一份为x件，则甲每天生产4x件，乙每天生产3x件，丙每天生产3x件（即x件），由题意得，4x+x-12=23x解这个方程，=12x=244x=424=96（件），3x=324=72（件），x=24=60（件）答：

甲每天生产96件，乙每天生产72件，丙每天生产60件。

5、数字问题：

要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1a9,0b9,0c9）则这个三位数表示为：

100a+10b+c。

例8、一个2位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的大6，求这个2位数。

分析：

等量关系为：

个位数字+十位数字-6=这个2位数。

解：

设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+5，则这个2位数为：

10x+x+5由题意得，x+5+x-6=（10x+x+5）解这个方程得：

14x-7=11x+53x=12x=4x+5=9这个2位数为49。

答：

这个2位数为49。

6、工程问题：

工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量=工作效率工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

例9、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

分析：

设工程总量为单位1，等量关系为：

甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。

解：

设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，（+）3+=1，解这个方程，+=112+15+5x=605x=33x=6答：

乙还需6天才能完成全部工程。

例10、一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？

分析：

等量关系为：

甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。

解：

设打开丙管后x小时可注满水池，由题意得，（+）（x+2）-=1解这个方程，（x+2）-=121x+42-8x=7213x=30x=2答：

打开丙管后2小时可注满水池。

测试选择题1一项工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做。

剩下的部分需要几小时完成？

若设剩下的部分需x小时完成，则可列方程为（）A、1=+-B、+=C、20x+12x=1-D、1=+2甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是76，甲用掉50元，乙用掉60元，二人余下的钱数之比是32，则余下的钱数分别是（）A、140元，120元B、60元，40元C、90元，60元D、80元，80元3已知某厂今年每月平均生产机器80台，比去年平均每月产量的15倍少13台，则去年每月平均生产机器的台数为（）A、51B、62C、128D、704三个连续自然数的和为15，则它们的积为（）A、125B、210C、64D、1205某车间有26名工人，生产A、B两种零件，每人每天平均可生产A零件12个，或生产B零件18个，现有x人生产A零件，其余人生产B零件。

要使每天生产的A、B两种零件按12组装配套，问生产零件A要安排多少人，直接设元，据题意正确的方程是（）A、12x=18（26-x）B、212x=18（26-x）C、12（26-x）=218xD、18x=12（26-x）答案与解析答案：

1、D2、C3、B4、D5、B解析：

1分析：

这是工程问题，整个工程的工作量设为1，则甲乙二人所完成的工作量之和应等于整个工程的工作量，即+=1。

2分析：

若设甲余下的钱数为3x元，则乙余下的钱数为2x元，甲所带的钱数为（3x+50）元，乙所带的钱数为（2x+60）元，由所带钱数之比是76，即7（2x+60）=6（3x+50），4x=120，x=30，所以3x=90，2x=60，故选C。

3分析：

设去年平均每月生产机器的台数为x，则1.5x-13=80，解出这个一元一次方程就可以了。

4分析：

设三个连续自然数分别为a-1，a，a+1，则a+a-1+a+1=15，a=5，故三个连续自然数为4，5，6，积为120。

5分析：

略。

一元一次方程的应用考点扫描：

能够找出简单应用题中的未知量和已知量，分析各量之间的关系，并能够寻找等量关系，列出一元一次方程解简单的应用题；会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理。

名师精讲：

列方程解应用题，就是把生活实践中的实际问题，抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决。

列一元一次方程解应用题的步骤是：

（1）审题设元：

弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；

（2）找等量关系：

找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系；（3）列方程：

根据所找出的相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；（4）解方程：

解所列出的方程，求出未知数的值；（5）检验作答：

检验所得未知数的值是否所列方程的解，是否符合问题的实际意义，并写出答案。

列方程解应用题是学习中的重点、难点。

主要困难有三：

找不到相等关系；找到相等关系式，不能正确用含未知数x的代数式表示相等关系中有关的量；有些学生形成思维定势，习惯于用算术方法解应用题，对于列方程解应用题的新的思维方法不理解，不适应。

解决上述问题的方法是：

明确题目类别，并明确该类问题中有几类不同性质的量，它们之间的基本关系式是什么。

例如：

行程问题中有三类不同性质的量：

速度、时间、路程，它们之间的数量基本关系是：

速度时间=路程。

要认真审查已知数量与未知数量的性质，同类性质的量有几种，已知量及未知量之间的对应关系。

必要时，可以通过列表格，画线段图等办法对已知数量及未知数量的关系进行整理。

正确地用含有x的代数式表示相等关系中的有关未知量是列方程的基础。

一般地，经过上述分析，有助于找到相等关系，列出方程。

列方程解应用题常见的题型有：

（1）和、差、倍、分问题；

（2）行程问题；（3）调配问题；（4）工程问题；（5）浓度问题；（6）形积问题；（7）利润率问题；（8）数字问题。

中考典例:

1（天津市）某商品原价为100元，现有下列四种调价方案，其中0，则调价后该商品价格最高的方案是（）A、先涨价m%，再降价n%B、先涨价n%，再降价m%C、先涨价%，再降价%D、先涨价%，再降价%考点：

一元一次方程的应用评析：

由条件0nm100，可得：

mn，因此最高涨价是涨价m%，降价最低的是n%，所以调价后最高价格的方案是A，也可以分别给出m、n的值，分别计算调价后的价格，从而得到调价后的最高价格。

说明：

本题中选项D中出现了，见代数二次根式。

2（天津市）甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇。

若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（）A、12.5千米B、15千米C、17.5千米D、20千米考点：

一元一次方程的应用评析：

可设乙的时速为x千米/时，则甲为（x+2.5）千米/时，根据题意得方程2x+2（x+2.5）=65，解得x=15，所以正确选项为B。

真题专练:

1（河北省）某种收音机，原来每台售价48元，降价后每台售价42元，则降价的百分数为_。

2（湖南长沙）国家规定储蓄存款需征收利息税，利息税的税率是20%（即储蓄利息的20%）。

小红在银行存入人民币二万元，定期一年，年息为432元，存款到期时，应交利息税_元。

3（江苏南京）有一旅客携带了30公斤行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最多可免费携带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格应是（）A、1000元B、800元C、600元D、400元4（湖北武汉）我国股市交易中每买、卖一次需交千分之七点五的各种费用。

某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（）A、2000元B、1925元C、1835元D、1910元5（北京西城区）一个角的余角比它的补角的还少20，求这个角。

6（吉林省）某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：

“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时，?

（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答。

7（北京西城区）据2001年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里，其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里。

问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少万平方公里？

8（安徽省）目前，包括长江、黄河等七大流域在内，全国水土流失面积达到367万平方千米，其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的32.4%。

而长江流域的水土流失问题更为严重，它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米。

问长江流域的水土流失面积是多少？

（结果保留整数）答案：

1、12.5%2、86.43、B（提示：

设机票价格是x元，根据题意得方程（30-20）1.5%x=120，解这个方程得：

x=800）4、C5、解：

设这个角是x,那么它的余角是（90-x），它的补角是（180-x），根据题意，有90-x=（180-x）-20，解得x=75。

答：

这个角是75。

6、解补充问题：

若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几小时两车相遇？

解：

设经x小时两车相遇，由题意可得45x+35x=40，x=。

答：

经半小时两车相遇。

说明：

本题是开放性题目，学生可补充不同的问题，从而得到不同题目，只要补充的问题合理，并且对应的解答过程正确，都得满分。

7、解：

（1）设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里，则风蚀造成的水土流失面积为（x+26）万平方公里。

依题意，得x+（x+26）=356，解这个方程，得x=165，x+26=191。

答：

水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里。

8、解：

设长江流域水土流失面积为x万平方千米，根据题意得x+（x-29）=36732.4%，解得：

x74。

答：

长江流域水土流失面积约是74万平方千米。