一元一次方程解工程问题.docx

1、一元一次方程解工程问题一元一次方程解工程问题 课题：列一元一次方程解有关工程问题的应用题 教学目标：1、使学生会列一元一次方程解有关应用题。2、培养学生分析解决实际问题的能力。复习引入：1、在小学里我们学过有关工程问题的应用题，这类应用题中一般有工作总量、工作时间、工作效率这三个量。这三个量的关系是：（1）_（2）_（3）_ 人们常规定工程问题中的工作总量为_。2、由以上公式可知：一件工作，甲用 a小时完成，则甲的工作量可看成_，工作时间是_，工作效率是_。若这件工作甲用 6 小时完成，则甲的工作效率是_。讲授新课：1、例题讲解：一件工作，甲单独做 20小时完成，乙单独做 12小时完成。问：甲

2、乙合做，需几小时完成这件工作？（1）首先由一名至两名学生阅读题目。（2）引导:这道题目的已知条件是什么？：这道题目要求什么问题？：这道题目的相等关系是什么？（3）由一学生口头设出求知数，并列出方程，师生共同解答；同时教师在黑板上写出解题过程，形成板书。2、练习：有一个蓄水池，装有甲、乙、丙三个进水管，单独开甲管，6 分钟可注满空水池；单独开乙管，12分钟可注满空水池；单独开丙管，18分钟可注满空水池，如果甲、乙、丙三管齐开，需几分钟可注满空水池？此题的处理方法：先由一名学生阅读题目；：然后由两名学生板演；3、变式练习：丙管改为排水管，且单独开丙管 18分钟可把满池的水放完，问三管齐开，几分钟可

3、注满空水池？要求学生口头列出方程。4、继续讲解例题 一件工作，甲单独做 20小时完成，乙单（转载自第一范文网http:/，请保留此标记。）独做 12小时完成。若甲先单独做 4小时，剩下的部分由甲、乙合做，问：还需几小时完成？（1）先由学生阅读题目（2）引导：:这道题目的已知条件是什么？：这道题目要求什么问题？：这道题目的相等关系是什么？（3）由一学生口头设出求知数，并列出方程，师生共同解答；同时教师在黑板上写出解题过程，形成板书。5、练习：（1）一件工作，甲单独做 20小时完成，乙单独做 12小时完成。若乙先做 2小时，然后由甲、乙合做，问还需几小时完成？（2）一件工作，甲单独做 20小时完成

4、，乙单独做 12小时完成，丙单独做 15小时完成，若先由甲、丙合做 5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成？以上两题的处理方法：先由两名学生阅读题目；：然后由两名学生板演；：其他学生任选一题完成。：评讲后对第一题提出：这项工程共需几天完成？：第一题还可根据什么等量关系列出方程呢？根据此相等关系列出方程（学生口答）。6、编应用题：（1）根据方程：3/12+x/12+x/6=1，编应用题。（2）事由：打一份稿件。条件：现在甲、乙两名打字员，若甲单独打这份稿件需 6 小时打完，若乙单独打这份稿件需 12小时打完。要求：甲、乙两名打字员都要参与打字，并且要打完这份稿件。处理方法：由学生编出应用题，并

5、设出未知数，列出方程。课堂总结：工程问题中的三个量的关系。课堂作业：见作业 本 选做题：一件工作，甲单独做 6小时完成，乙单独做 12小时完成，丙单独做 18小时完成，若先由甲、乙合做 3小时，然后由乙丙合做，问共需几小时完成？一元一次方程的应用（一）列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。一、列方程解应用题的主要步骤：1、认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；2、用

6、字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；3、利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；4、求出所列方程的解；5、检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。二、对常见应用题的解法分析 1、和、差、倍、分问题；这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。例 1、某单位今年为灾区捐款 2万 5千元，比去年的 2倍还多 1000 元，去年该单位为灾区捐款多少元？

7、分析：相等关系是：今年捐款=去年捐款 2+1000。解：设去年为灾区捐款 x 元，由题意得，2x+1000=25000 2x=24000 x=12000 答：去年该单位为灾区捐款 12000元。例 2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%，第二次旅程中用去剩余汽油的 40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？分析：等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。解：设油箱里原有汽油 x 公斤，由题意得，x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x 40%去分母整理得，9x+20=5x+6x 2x=20 x=10 答：油箱里原

8、有汽油 10公斤。2、等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积=成品体积。例 3、现有直径为 0.8米的圆柱形钢坯 30米，可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3米的圆柱形机轴多少根？分析：等量关系为：机轴的体积和=钢坯的体积。解：设可足够锻造 x 根机轴，由题意得，()23x=()230 解这个方程得 x=x=10 =40 答：可足够锻造直径为 0.4米，长为 3米的圆柱形机轴 40根。3、劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有（1）既有调入又有调出。（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余

9、不变。例 4、有两个工程队，甲队有 285人，乙队有 183人，若要求乙队人数是甲队人数的，应从乙队调多少人到甲队？分析：此问题中对乙队来说有调出，对甲队来说有调入。等量关系为：乙队调出后人数=甲队调入后人数。解：设应从乙队调 x 人到甲队，由题意得，183-x=(285+x)解这个方程，285+x=549-3x 4x=264 x=66 答：应从乙队调 66 人到甲队。例 5、甲、乙两个工程队分别有 188人和 138 人，现需要从两队抽出 116人组成第三个队，并使甲、乙两队剩余人数之比为 2：1，问应从甲、乙两队各抽出多少人？分析：此问题中只有调出，没有调入。等量关系为：甲队调出后人数=2

10、 乙队调出后人数。解：设应从甲队抽出 x 人，则应从乙队抽出(116-x)人，由题意得，188-x=2138-(116-x)解这个方程 188-x=2(138-116+x)188-x=44+2x 3x=144 x=48 116-x=116-48=68 答：应从甲队抽出 48人，从乙队抽出 68人。例 6、李明今年 8岁，父亲是 32岁，问几年以后父亲的年龄为李明的 3倍。分析：此问题中只有调入，没有调出。等量关系为：几年后父亲年龄=3 李明几年后的年龄。解：设 x 年后父亲的年龄为李明的 3倍，由题意得，32+x=3(8+x)解这个方程：32+x=24+3x 2x=8 x=4 答：4年后父亲的

11、年龄为李明的 3倍。4、比例分配问题：这类问题的一般思路为：设其中一份为 x,利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和=总量。例 7、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为 4：3；乙、丙之比为 6：5，又知甲与丙的和比乙的 2倍多 12件，求每个人每天生产多少件？分析：应设一份为 x 件，则其他量均可用含 x 的代数式表示。等量关系为：（甲日产量+丙日产量）-12=乙日产量的 2 倍。解：设一份为 x 件，则甲每天生产 4x 件，乙每天生产 3x 件，丙每天生产 3x 件（即 x 件），由题意得，4x+x-12=2 3x 解这个方程，=12 x=24 4x=4 24

12、=96（件），3x=3 24=72（件），x=24=60（件）答：甲每天生产 96 件，乙每天生产 72件，丙每天生产 60件。5、数字问题：要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为c（其中 a、b、c均为整数，且 1a9,0b9,0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。例 8、一个 2位数，个位上的数字比十位上的数字大 5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个 2位数的 大 6，求这个 2位数。分析：等量关系为：个位数字+十位数字-6=这个 2位数。解：设十位上的数字为 x，则个位上的数字为 x+5，则这个 2位数为：10 x+x+5 由题意得

13、，x+5+x-6=(10 x+x+5)解这个方程得：14x-7=11x+5 3x=12 x=4 x+5=9 这个 2位数为 49。答：这个 2位数为 49。6、工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率 工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。例 9、一件工程，甲独做需 15天完成，乙独做需 12天完成，现先由甲、乙合作 3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？分析：设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得，(+)3+=1，解这

14、个方程，+=1 12+15+5x=60 5x=33 x=6 答：乙还需 6 天才能完成全部工程。例 10、一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？分析：等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。解：设打开丙管后 x 小时可注满水池，由题意得，(+)(x+2)-=1 解这个方程，(x+2)-=1 21x+42-8x=72 13x=30 x=2 答：打开丙管后 2 小时可注满水池。测试 选择题 1一项工作，甲单独做 2

15、0小时完成，乙单独做 12小时完成，现在先由甲单独做 4小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？若设剩下的部分需 x 小时完成，则可列方程为（）A、1=+-B、+=C、20 x+12x=1-D、1=+2甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是 76，甲用掉 50 元，乙用掉 60元，二人余下的钱数之比是 32，则余下的钱数分别是（）A、140元，120 元 B、60元，40 元 C、90元，60元 D、80 元，80元 3已知某厂今年每月平均生产机器 80台，比去年平均每月产量的 15 倍少 13台，则去年每月平均生产机器的台数为（）A、51 B、62 C、128 D、70

16、4三个连续自然数的和为 15，则它们的积为（）A、125 B、210 C、64 D、120 5某车间有 26名工人，生产 A、B两种零件，每人每天平均可生产 A 零件 12个，或生产 B零件 18 个，现有 x 人生产 A零件，其余人生产 B零件。要使每天生产的 A、B两种零件按 12组装配套，问生产零件 A要安排多少人，直接设元，据题意正确的方程是（）A、12x=18(26-x)B、2 12x=18(26-x)C、12(26-x)=2 18x D、18x=12(26-x)答案与解析 答案：1、D 2、C 3、B 4、D 5、B 解析：1分析：这是工程问题，整个工程的工作量设为 1，则甲乙二人

17、所完成的工作量之和应等于整个工程的工作量，即+=1。2分析：若设甲余下的钱数为 3x 元，则乙余下的钱数为 2x元，甲所带的钱数为(3x+50)元，乙所带的钱数为(2x+60)元，由所带钱数之比是 76，即7(2x+60)=6(3x+50)，4x=120，x=30，所以 3x=90，2x=60，故选 C。3分析：设去年平均每月生产机器的台数为 x，则 1.5x-13=80，解出这个一元一次方程就可以了。4分析：设三个连续自然数分别为 a-1，a，a+1，则 a+a-1+a+1=15，a=5，故三个连续自然数为 4，5，6，积为 120。5分析：略。一元一次方程的应用 考点扫描：能够找出简单应用

18、题中的未知量和已知量，分析各量之间的关系，并能够寻找等量关系，列出一元一次方程解简单的应用题；会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理。名师精讲：列方程解应用题，就是把生活实践中的实际问题，抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决。列一元一次方程解应用题的步骤是：（1）审题设元：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；（2）找等量关系：找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系；（3）列方程：根据所找出的相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；（4）解方程：解所列出的方程，求出未知数的值；（5）检验作答：检验所得未知数的值是否所列方程的解，是否符合问题的实际

19、意义，并写出答案。列方程解应用题是学习中的重点、难点。主要困难有三：找不到相等关系；找到相等关系式，不能正确用含未知数 x 的代数式表示相等关系中有关的量；有些学生形成思维定势，习惯于用算术方法解应用题，对于列方程解应用题的新的思维方法不理解，不适应。解决上述问题的方法是：明确题目类别，并明确该类问题中有几类不同性质的量，它们之间的基本关系式是什么。例如：行程问题中有三类不同性质的量：速度、时间、路程，它们之间的数量基本关系是：速度 时间=路程。要认真审查已知数量与未知数量的性质，同类性质的量有几种，已知量及未知量之间的对应关系。必要时，可以通过列表格，画线段图等办法对已知数量及未知数量的关系

20、进行整理。正确地用含有 x 的代数式表示相等关系中的有关未知量是列方程的基础。一般地，经过上述分析，有助于找到相等关系，列出方程。列方程解应用题常见的题型有：（1）和、差、倍、分问题；（2）行程问题；（3）调配问题；（4）工程问题；（5）浓度问题；（6）形积问题；（7）利润率问题；（8）数字问题。中考典例:1（天津市）某商品原价为 100元，现有下列四种调价方案，其中 0，则调价后该商品价格最高的方案是（）A、先涨价 m%，再降价 n%B、先涨价 n%，再降价 m%C、先涨价%，再降价%D、先涨价%，再降价%考点：一元一次方程的应用 评析：由条件 0nm100，可得：m n，因此最高涨价是涨价

21、 m%，降价最低的是 n%，所以调价后最高价格的方案是 A，也可以分别给出 m、n的值，分别计算调价后的价格，从而得到调价后的最高价格。说明：本题中选项 D中出现了，见代数二次根式。2（天津市）甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行，2小时相遇。若甲比乙每小时多骑 2.5千米，则乙的时速是（）A、12.5千米 B、15 千米 C、17.5 千米 D、20 千米 考点：一元一次方程的应用 评析：可设乙的时速为 x 千米/时，则甲为(x+2.5)千米/时，根据题意得方程2x+2(x+2.5)=65，解得 x=15，所以正确选项为 B。真题专练:1（河北省）某种收音机，原来每台售价

22、48 元，降价后每台售价 42元，则降价的百分数为_。2（湖南长沙）国家规定储蓄存款需征收利息税，利息税的税率是 20%(即储蓄利息的 20%)。小红在银行存入人民币二万元，定期一年，年息为 432元，存款到期时，应交利息税_元。3（江苏南京）有一旅客携带了 30公斤行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最多可免费携带 20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购买行李票，现该旅客购买了 120元的行李票，则他的飞机 票价格应是（）A、1000元 B、800元 C、600 元 D、400 元 4（湖北武汉）我国股市交易中每买、卖一次需交千分之七点五的各种费用。某投资者以每

23、股 10元的价格买入上海某股票 1000 股，当该股票涨到 12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（）A、2000元 B、1925元 C、1835 元 D、1910 元 5（北京西城区）一个角的余角比它的补角的 还少 20，求这个角。6（吉林省）某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距 40千米，摩托车的速度为 45千米/时，运货汽车的速度为35 千米/时，?(涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字)请将这道作业题补充完整，并列方程解答。7（北京西城区）据 2001年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达 356万平方公里，其中风蚀造成的水土

24、流失面积比水蚀造成的水土流失面积多 26万平方公里。问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少万平方公里？8（安徽省）目前，包括长江、黄河等七大流域在内，全国水土流失面积达到367 万平方千米，其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的 32.4%。而长江流域的水土流失问题更为严重，它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多 29 万平方千米。问长江流域的水土流失面积是多少？（结果保留整数）答案：1、12.5%2、86.4 3、B（提示：设机票价格是 x 元，根据题意得方程（30-20）1.5%x=120，解这个方程得：x=800）4、C 5、解：设这个角是 x,那么它的余角是（90-x），它的

25、补角是(180-x)，根据题意，有 90-x=(180-x)-20，解得 x=75。答：这个角是 75。6、解补充问题：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几小时两车相遇？解：设经 x 小时两车相遇，由题意可得 45x+35x=40，x=。答：经半小时两车相遇。说明：本题是开放性题目，学生可补充不同的问题，从而得到不同题目，只要补充的问题合理，并且对应的解答过程正确，都得满分。7、解：（1）设水蚀造成的水土流失面积为 x 平方公里，则风蚀造成的水土流失面积为（x+26）万平方公里。依题意，得 x+(x+26)=356，解这个方程，得 x=165，x+26=191。答：水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为 165 万平方公里和 191 万平方公里。8、解：设长江流域水土流失面积为 x 万平方千米，根据题意得 x+(x-29)=367 32.4%，解得：x74。答：长江流域水土流失面积约是 74万平方千米。