1、一元一次方程解工程问题一元一次方程解工程问题 课题:列一元一次方程解有关工程问题的应用题 教学目标:1、使学生会列一元一次方程解有关应用题。2、培养学生分析解决实际问题的能力。复习引入:1、在小学里我们学过有关工程问题的应用题,这类应用题中一般有工作总量、工作时间、工作效率这三个量。这三个量的关系是:(1)_(2)_(3)_ 人们常规定工程问题中的工作总量为_。2、由以上公式可知:一件工作,甲用 a小时完成,则甲的工作量可看成_,工作时间是_,工作效率是_。若这件工作甲用 6 小时完成,则甲的工作效率是_。讲授新课:1、例题讲解:一件工作,甲单独做 20小时完成,乙单独做 12小时完成。问:甲
2、乙合做,需几小时完成这件工作?(1)首先由一名至两名学生阅读题目。(2)引导:这道题目的已知条件是什么?:这道题目要求什么问题?:这道题目的相等关系是什么?(3)由一学生口头设出求知数,并列出方程,师生共同解答;同时教师在黑板上写出解题过程,形成板书。2、练习:有一个蓄水池,装有甲、乙、丙三个进水管,单独开甲管,6 分钟可注满空水池;单独开乙管,12分钟可注满空水池;单独开丙管,18分钟可注满空水池,如果甲、乙、丙三管齐开,需几分钟可注满空水池?此题的处理方法:先由一名学生阅读题目;:然后由两名学生板演;3、变式练习:丙管改为排水管,且单独开丙管 18分钟可把满池的水放完,问三管齐开,几分钟可
3、注满空水池?要求学生口头列出方程。4、继续讲解例题 一件工作,甲单独做 20小时完成,乙单(转载自第一范文网http:/,请保留此标记。)独做 12小时完成。若甲先单独做 4小时,剩下的部分由甲、乙合做,问:还需几小时完成?(1)先由学生阅读题目(2)引导::这道题目的已知条件是什么?:这道题目要求什么问题?:这道题目的相等关系是什么?(3)由一学生口头设出求知数,并列出方程,师生共同解答;同时教师在黑板上写出解题过程,形成板书。5、练习:(1)一件工作,甲单独做 20小时完成,乙单独做 12小时完成。若乙先做 2小时,然后由甲、乙合做,问还需几小时完成?(2)一件工作,甲单独做 20小时完成
4、,乙单独做 12小时完成,丙单独做 15小时完成,若先由甲、丙合做 5小时,然后由甲、乙合做,问还需几天完成?以上两题的处理方法:先由两名学生阅读题目;:然后由两名学生板演;:其他学生任选一题完成。:评讲后对第一题提出:这项工程共需几天完成?:第一题还可根据什么等量关系列出方程呢?根据此相等关系列出方程(学生口答)。6、编应用题:(1)根据方程:3/12+x/12+x/6=1,编应用题。(2)事由:打一份稿件。条件:现在甲、乙两名打字员,若甲单独打这份稿件需 6 小时打完,若乙单独打这份稿件需 12小时打完。要求:甲、乙两名打字员都要参与打字,并且要打完这份稿件。处理方法:由学生编出应用题,并
5、设出未知数,列出方程。课堂总结:工程问题中的三个量的关系。课堂作业:见作业 本 选做题:一件工作,甲单独做 6小时完成,乙单独做 12小时完成,丙单独做 18小时完成,若先由甲、乙合做 3小时,然后由乙丙合做,问共需几小时完成?一元一次方程的应用(一)列方程解应用题,是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组,所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面;同时通过列方程解应用题,可以培养我们分析问题,解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。一、列方程解应用题的主要步骤:1、认真审题,理解题意,弄清题目中的数量关系,找出其中的等量关系;2、用
6、字母表示题目中的未知数,并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式;3、利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程(注意所使用的单位一定要统一);4、求出所列方程的解;5、检验所求的解是否使方程成立,又能使应用题有意义,并写出答案。二、对常见应用题的解法分析 1、和、差、倍、分问题;这类问题主要应搞清各量之间的关系,注意关键词语。(1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率”来体现。(2)多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。例 1、某单位今年为灾区捐款 2万 5千元,比去年的 2倍还多 1000 元,去年该单位为灾区捐款多少元?
7、分析:相等关系是:今年捐款=去年捐款 2+1000。解:设去年为灾区捐款 x 元,由题意得,2x+1000=25000 2x=24000 x=12000 答:去年该单位为灾区捐款 12000元。例 2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%,第二次旅程中用去剩余汽油的 40%,这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤?分析:等量关系为:油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。解:设油箱里原有汽油 x 公斤,由题意得,x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x 40%去分母整理得,9x+20=5x+6x 2x=20 x=10 答:油箱里原
8、有汽油 10公斤。2、等积变形问题:“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:原料体积=成品体积。例 3、现有直径为 0.8米的圆柱形钢坯 30米,可足够锻造直径为 0.4 米,长为 3米的圆柱形机轴多少根?分析:等量关系为:机轴的体积和=钢坯的体积。解:设可足够锻造 x 根机轴,由题意得,()23x=()230 解这个方程得 x=x=10 =40 答:可足够锻造直径为 0.4米,长为 3米的圆柱形机轴 40根。3、劳力调配问题:这类问题要搞清人数的变化,常见题型有(1)既有调入又有调出。(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余
9、不变。例 4、有两个工程队,甲队有 285人,乙队有 183人,若要求乙队人数是甲队人数的,应从乙队调多少人到甲队?分析:此问题中对乙队来说有调出,对甲队来说有调入。等量关系为:乙队调出后人数=甲队调入后人数。解:设应从乙队调 x 人到甲队,由题意得,183-x=(285+x)解这个方程,285+x=549-3x 4x=264 x=66 答:应从乙队调 66 人到甲队。例 5、甲、乙两个工程队分别有 188人和 138 人,现需要从两队抽出 116人组成第三个队,并使甲、乙两队剩余人数之比为 2:1,问应从甲、乙两队各抽出多少人?分析:此问题中只有调出,没有调入。等量关系为:甲队调出后人数=2
10、 乙队调出后人数。解:设应从甲队抽出 x 人,则应从乙队抽出(116-x)人,由题意得,188-x=2138-(116-x)解这个方程 188-x=2(138-116+x)188-x=44+2x 3x=144 x=48 116-x=116-48=68 答:应从甲队抽出 48人,从乙队抽出 68人。例 6、李明今年 8岁,父亲是 32岁,问几年以后父亲的年龄为李明的 3倍。分析:此问题中只有调入,没有调出。等量关系为:几年后父亲年龄=3 李明几年后的年龄。解:设 x 年后父亲的年龄为李明的 3倍,由题意得,32+x=3(8+x)解这个方程:32+x=24+3x 2x=8 x=4 答:4年后父亲的
11、年龄为李明的 3倍。4、比例分配问题:这类问题的一般思路为:设其中一份为 x,利用已知的比,写出相应的代数式。常用等量关系:各部分之和=总量。例 7、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为 4:3;乙、丙之比为 6:5,又知甲与丙的和比乙的 2倍多 12件,求每个人每天生产多少件?分析:应设一份为 x 件,则其他量均可用含 x 的代数式表示。等量关系为:(甲日产量+丙日产量)-12=乙日产量的 2 倍。解:设一份为 x 件,则甲每天生产 4x 件,乙每天生产 3x 件,丙每天生产 3x 件(即 x 件),由题意得,4x+x-12=2 3x 解这个方程,=12 x=24 4x=4 24
12、=96(件),3x=3 24=72(件),x=24=60(件)答:甲每天生产 96 件,乙每天生产 72件,丙每天生产 60件。5、数字问题:要搞清楚数的表示方法:一个三位数的百位数字为 a,十位数字是 b,个位数字为c(其中 a、b、c均为整数,且 1a9,0b9,0c9)则这个三位数表示为:100a+10b+c。例 8、一个 2位数,个位上的数字比十位上的数字大 5,且个位上的数字与十位上的数字的和比这个 2位数的 大 6,求这个 2位数。分析:等量关系为:个位数字+十位数字-6=这个 2位数。解:设十位上的数字为 x,则个位上的数字为 x+5,则这个 2位数为:10 x+x+5 由题意得
13、,x+5+x-6=(10 x+x+5)解这个方程得:14x-7=11x+5 3x=12 x=4 x+5=9 这个 2位数为 49。答:这个 2位数为 49。6、工程问题:工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率 工作时间 经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位 1。例 9、一件工程,甲独做需 15天完成,乙独做需 12天完成,现先由甲、乙合作 3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?分析:设工程总量为单位 1,等量关系为:甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。解:设乙还需 x 天完成全部工程,设工作总量为单位 1,由题意得,(+)3+=1,解这
14、个方程,+=1 12+15+5x=60 5x=33 x=6 答:乙还需 6 天才能完成全部工程。例 10、一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管 6 小时可注满水池;单独开乙管 8 小时可注满水池,单独开丙管 9小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放 2小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?分析:等量关系为:甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。解:设打开丙管后 x 小时可注满水池,由题意得,(+)(x+2)-=1 解这个方程,(x+2)-=1 21x+42-8x=72 13x=30 x=2 答:打开丙管后 2 小时可注满水池。测试 选择题 1一项工作,甲单独做 2
15、0小时完成,乙单独做 12小时完成,现在先由甲单独做 4小时,剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成?若设剩下的部分需 x 小时完成,则可列方程为()A、1=+-B、+=C、20 x+12x=1-D、1=+2甲、乙二人去商店买东西,他们所带钱数的比是 76,甲用掉 50 元,乙用掉 60元,二人余下的钱数之比是 32,则余下的钱数分别是()A、140元,120 元 B、60元,40 元 C、90元,60元 D、80 元,80元 3已知某厂今年每月平均生产机器 80台,比去年平均每月产量的 15 倍少 13台,则去年每月平均生产机器的台数为()A、51 B、62 C、128 D、70
16、4三个连续自然数的和为 15,则它们的积为()A、125 B、210 C、64 D、120 5某车间有 26名工人,生产 A、B两种零件,每人每天平均可生产 A 零件 12个,或生产 B零件 18 个,现有 x 人生产 A零件,其余人生产 B零件。要使每天生产的 A、B两种零件按 12组装配套,问生产零件 A要安排多少人,直接设元,据题意正确的方程是()A、12x=18(26-x)B、2 12x=18(26-x)C、12(26-x)=2 18x D、18x=12(26-x)答案与解析 答案:1、D 2、C 3、B 4、D 5、B 解析:1分析:这是工程问题,整个工程的工作量设为 1,则甲乙二人
17、所完成的工作量之和应等于整个工程的工作量,即+=1。2分析:若设甲余下的钱数为 3x 元,则乙余下的钱数为 2x元,甲所带的钱数为(3x+50)元,乙所带的钱数为(2x+60)元,由所带钱数之比是 76,即7(2x+60)=6(3x+50),4x=120,x=30,所以 3x=90,2x=60,故选 C。3分析:设去年平均每月生产机器的台数为 x,则 1.5x-13=80,解出这个一元一次方程就可以了。4分析:设三个连续自然数分别为 a-1,a,a+1,则 a+a-1+a+1=15,a=5,故三个连续自然数为 4,5,6,积为 120。5分析:略。一元一次方程的应用 考点扫描:能够找出简单应用
18、题中的未知量和已知量,分析各量之间的关系,并能够寻找等量关系,列出一元一次方程解简单的应用题;会根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理。名师精讲:列方程解应用题,就是把生活实践中的实际问题,抽象成数学问题,通过列方程来解答,使实际问题得以解决。列一元一次方程解应用题的步骤是:(1)审题设元:弄清题意和题目中的数量关系,用字母表示题目中的一个未知数;(2)找等量关系:找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系;(3)列方程:根据所找出的相等关系列出需要的代数式,进而列出方程;(4)解方程:解所列出的方程,求出未知数的值;(5)检验作答:检验所得未知数的值是否所列方程的解,是否符合问题的实际
19、意义,并写出答案。列方程解应用题是学习中的重点、难点。主要困难有三:找不到相等关系;找到相等关系式,不能正确用含未知数 x 的代数式表示相等关系中有关的量;有些学生形成思维定势,习惯于用算术方法解应用题,对于列方程解应用题的新的思维方法不理解,不适应。解决上述问题的方法是:明确题目类别,并明确该类问题中有几类不同性质的量,它们之间的基本关系式是什么。例如:行程问题中有三类不同性质的量:速度、时间、路程,它们之间的数量基本关系是:速度 时间=路程。要认真审查已知数量与未知数量的性质,同类性质的量有几种,已知量及未知量之间的对应关系。必要时,可以通过列表格,画线段图等办法对已知数量及未知数量的关系
20、进行整理。正确地用含有 x 的代数式表示相等关系中的有关未知量是列方程的基础。一般地,经过上述分析,有助于找到相等关系,列出方程。列方程解应用题常见的题型有:(1)和、差、倍、分问题;(2)行程问题;(3)调配问题;(4)工程问题;(5)浓度问题;(6)形积问题;(7)利润率问题;(8)数字问题。中考典例:1(天津市)某商品原价为 100元,现有下列四种调价方案,其中 0,则调价后该商品价格最高的方案是()A、先涨价 m%,再降价 n%B、先涨价 n%,再降价 m%C、先涨价%,再降价%D、先涨价%,再降价%考点:一元一次方程的应用 评析:由条件 0nm100,可得:m n,因此最高涨价是涨价
21、 m%,降价最低的是 n%,所以调价后最高价格的方案是 A,也可以分别给出 m、n的值,分别计算调价后的价格,从而得到调价后的最高价格。说明:本题中选项 D中出现了,见代数二次根式。2(天津市)甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行,2小时相遇。若甲比乙每小时多骑 2.5千米,则乙的时速是()A、12.5千米 B、15 千米 C、17.5 千米 D、20 千米 考点:一元一次方程的应用 评析:可设乙的时速为 x 千米/时,则甲为(x+2.5)千米/时,根据题意得方程2x+2(x+2.5)=65,解得 x=15,所以正确选项为 B。真题专练:1(河北省)某种收音机,原来每台售价
22、48 元,降价后每台售价 42元,则降价的百分数为_。2(湖南长沙)国家规定储蓄存款需征收利息税,利息税的税率是 20%(即储蓄利息的 20%)。小红在银行存入人民币二万元,定期一年,年息为 432元,存款到期时,应交利息税_元。3(江苏南京)有一旅客携带了 30公斤行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带 20公斤行李,超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购买行李票,现该旅客购买了 120元的行李票,则他的飞机 票价格应是()A、1000元 B、800元 C、600 元 D、400 元 4(湖北武汉)我国股市交易中每买、卖一次需交千分之七点五的各种费用。某投资者以每
23、股 10元的价格买入上海某股票 1000 股,当该股票涨到 12元时全部卖出,该投资者实际盈利为()A、2000元 B、1925元 C、1835 元 D、1910 元 5(北京西城区)一个角的余角比它的补角的 还少 20,求这个角。6(吉林省)某初一学生在做作业时,不慎将墨水瓶打翻,使一道作业题只看到如下字样:“甲、乙两地相距 40千米,摩托车的速度为 45千米/时,运货汽车的速度为35 千米/时,?(涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字)请将这道作业题补充完整,并列方程解答。7(北京西城区)据 2001年中国环境状况公报,我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达 356万平方公里,其中风蚀造成的水土
24、流失面积比水蚀造成的水土流失面积多 26万平方公里。问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少万平方公里?8(安徽省)目前,包括长江、黄河等七大流域在内,全国水土流失面积达到367 万平方千米,其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的 32.4%。而长江流域的水土流失问题更为严重,它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多 29 万平方千米。问长江流域的水土流失面积是多少?(结果保留整数)答案:1、12.5%2、86.4 3、B(提示:设机票价格是 x 元,根据题意得方程(30-20)1.5%x=120,解这个方程得:x=800)4、C 5、解:设这个角是 x,那么它的余角是(90-x),它的
25、补角是(180-x),根据题意,有 90-x=(180-x)-20,解得 x=75。答:这个角是 75。6、解补充问题:若两车分别从两地同时开出,相向而行,经几小时两车相遇?解:设经 x 小时两车相遇,由题意可得 45x+35x=40,x=。答:经半小时两车相遇。说明:本题是开放性题目,学生可补充不同的问题,从而得到不同题目,只要补充的问题合理,并且对应的解答过程正确,都得满分。7、解:(1)设水蚀造成的水土流失面积为 x 平方公里,则风蚀造成的水土流失面积为(x+26)万平方公里。依题意,得 x+(x+26)=356,解这个方程,得 x=165,x+26=191。答:水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为 165 万平方公里和 191 万平方公里。8、解:设长江流域水土流失面积为 x 万平方千米,根据题意得 x+(x-29)=367 32.4%,解得:x74。答:长江流域水土流失面积约是 74万平方千米。
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