第八章青岛理工大学高数练习册答案汇总.docx

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第八章青岛理工大学高数练习册答案汇总第八章青岛理工大学高数练习册答案汇总第八章多元函数的微分法及其应用1多元函数概念一二、求下列函数的定义域:

1、;1|,（22+xyyx2、;0,|,（xxyyx三、求下列极限:

1、0;2、（6e四、证明:

当沿着x轴趋于（0,0时,极限为零,当沿着2xy=趋于（0,0时,极限为21,二者不相等,所以极限不存在五证明:

当0,0（,（yx时,为初等函数,连续,（yxf。

当0,0（,（=yx时,0,0（01sinlim220,0（,（fyxxyyx=+,所以函数在（0,0也连续。

所以函数在整个xoy面上连续。

六、设（2yxfyxz+=且当y=0时2xz=,求f（x及z的表达式.解:

f（x=xx-2,zyxyyx-+=22222偏导数1证明:

xyxyxyex,exyey+=-+=yzxz,zxyxexyxyxy+=+=+yzyxzx2、求空间曲线=+=21:

22yyxz在点（1,21,23处切线与y轴正向夹角（43、设yxyxyyxfarcsin1（,（2-+=,求1,（xfx（14解:

1-=yzxyzxu,xxyzyuyzln2-=xxyzuyzln1=5、设222zyxu+=,证明:

uzuyuxu2222222=+6、0,0（0,（lim0fyxfyx=连续;201sinlim0,0（xfxx=不存在,000lim0,0（0=-=yfyy7、设函数f（x,y在点（a,b处的偏导数存在,求xbxafbxafx,（,（lim-+（2fx（a,b3全微分1、单选题（1D2B2、求下列函数的全微分:

42244222222（,（yyxxyyxyyxf+-=+-=答案:

1xyez=1（2dyxdxxyedzxy+-=2sin（2xyz=解:

2（cos（22xydydxyxydz+=3zyxu=解:

xdzxzyxdyxzdxxzyduzyzyzylnln121-+=-3、设2cos（yxyz-=,求4,0（dz解:

dyyxyyxdxyxydz2sin（22（cos（2sin（-+-+-=4,0（|dz=dydx24-4、设22,（yxzzyxf+=求:

1,2,1（df542（251dzdydx+-5、讨论函数=+=0,0（,（,00,0（,（,1sin（,（2222yxyxyxyxyxf在（0,0点处的连续性、偏导数、可微性解:

0,0（01sin（lim22220,0（,（fyxyxyx=+所以,（yxf在（0,0点处连续。

00,0（,0（lim0,0（,00,0（0,（lim0,0（0,0（,（0,0（,（=-=-=yfyffxfxffyxyyxx0（0,（22+-yxyxf,所以可微。

4多元复合函数的求导法则1、设tvevtuuz=,sin,求dtdz解:

dtdz=1cos.（sinlnsin（sinttetetttette-+2、设,（32yxyxz-+=,求yzxz,23123（23（3（ln（,xyxyzxyxyxyxyy-=-+-+3、设（2xyfxzn=,f可微,证明nzyzyxzx=+24、设2,（22xyyxfz-=,其中f具有二阶连续偏导数,求22xz,yxz2,22yz解:

1222zxfyfx=+,1222zyfxfy=-+,21112221222（2222（22zxfyfxfyfyfxxy=-+-+=221111222244（4fxyfxyfxyf-+-+222111122222484zfxfxyfyfx=+,222111122222484zfyfxyfxfy=-+-+5、设（,（yxgxyxyfz+=,其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数,求yxz2解:

1221zyfyfgxxy=-+,2111122122222231111（zyxfyfxfffxfggxyxxxxyy=+-+-6、设,（zyxFu=,（yxfz=,（xy=,求dxdu解:

dxdu（321xffFxFFyx+=。

7、设,（vuzz=,且变换+=-=ayxvyxu2可把方程+226xzyxz222yz-=0化为02=vuz,其中z具有二阶连续偏导数,求常数a的值3（=a证明:

vzuzxz+=vzauzyz+-=22222222vuvuzuzxz+=2222222244vuavuzauzyz+-=2222222（2vuavuzauzyxz+-+-=得:

06（510（2222=-+vuaavuzaa=35隐函数的求导公式1、设yxyy+=ln,求dxdy解:

令（,lnFxyyyxy=-,11,ln,lnxydyFFydxy=-=2、设,（yxzz=由方程（222yzyfzyx=+确定,其中f可微,证明xzyzxyxzzyx22（222=+-3、设,（yxzz=由方程zyezx+=所确定,其中f可微,求yxz2,1,1（zzyzzxzxz+-=+=yxz231（zxz+-=4、设+=+222221yxzzyx,求dxdy,dxdz（dyxdxy=-,0dzdx=5、设,（yxzz=由方程0,（=+xzzyxyF所确定,F可微,求yzxz,解:

令（,Fxyz=（,Fxyyzxz+,则13122323,yxzzFFFyzFFxFzzxFyFFxFFxF+=-=-=-=-+6、设,（yxfz=由方程0=-+yxzeyxz所确定,求dz（dydxdz-=7、设z=z（x,y由方程yzyzxxy=-+3cos（3所确定,求xz,yz,sin（3cos（3ln.32yzxyzyzyxzxy+=,sin（31sin（3ln3.2yzxyzyzxzxyzxy+-=8多元函数的极值及求法1、求函数22233,（22+-+=yxyxyxf的极值。

答案:

（31,31极小值点2.求函数yxyxyxfln18ln2,（22-+=的极值答案:

极小值3ln18103,1（-=f3.函数yxyaxxyxf22,（22+=在点（1,1处取得极值,求常数a（-54求函数122+=yxz在条件03=-+yx下的条件极值解:

3（1,（22-+=yxyxyxF=00yxFF32,32（,极小值为2115欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/平方,现想用36元造一个容积最大的容器,求它的尺寸。

（长和宽2米,高3米6、在球面22225rzyx=+（0,0,0zyx上求一点,使函数zyxzyxfln3lnln,（+=达到极大值,并求此时的极大值。

利用此极大值证明cba,有535（27cbaabc+证明:

令zyxLln3lnln+=5（2222rzyx-+令0,0,0=zLyLxL,22225rzyx=+解得驻点rzryx3,=。

所以函数zyxzyxfln3lnln,（+=在rzryx3,=处达到极大值。

极大值为33ln（5r。

即5333rxyz52225232225（27（27（zyxrzyx+=,令,222czbyax=得535（27cbaabc+。

第八章自测题一、选择题:

1B,2B,3D,4A,5B,6C,7B二、填空题:

（每题3分,共18分1、=+2220,0（,（sinlimyxyxyx（02、设xyzezyxf=,（,则=zyxf3（31（222zyxxyzexyz+3、设=,0,0,0,sin（,（2xyxyyxyyxf则=1,0（xf（0三、计算题（每题6分1、设ln（,（22yxxyxf+=,求,（yxf的一阶偏导数222222ln（,（yxxyxyxfx+=,222,（yxxyyxfy+=。

3、设fxyyxfz,2=具有各二阶连续偏导数,求yxz2解:

yxz22112xxf-=2f-+223121132fxyyffxyxz24、设=+=0,00,1sin,（22222222yxyxyxyxyxf求,（yxfx和,（yxfy。

xxxfxfxx2001sinlim00,0（0,（lim=-不存在,故0,0（xf不存在,同理,0,0（yf也不存在。

当0,0（,（yx时,有222/32222221cos（21sin,（yxyxxyxyxxyxfx+-+=222/32222221cos（21sin,（yxyxyyxyxyyxfy+-+=5、设,（yxfz=由方程0=-+yxzeyxz所确定,求dz（dydxdz-=6、设（,（xyyxfz+-=,f具有连续的二阶偏导数,可导,求yxz221（fxfxz+=（222112112yffyffxyxz+-+-=（xf11+（x（y1f12+（yf22、设u=1x2+y2+z2f（x2+y2+z2，式中f二阶可导，求2u2u2u+x2y2z2解：

记r=x2+y2+z2，则f（r=f（rr1u=ruf（rrf（ruf（rrf（ruf（rrf（r=x,=y，=z33xryrzr32ur2f（r3f（rrf（r2f（rrf（r=x+x2r5r3类似地，类似地，有2ur2f（r3f（rrf（r2f（rrf（r=y+y2r5r32ur2f（r3f（rrf（r2f（rrf（r=z+z2r5r32u2u2ur2f（r3f（rrf（r23f（rrf（r+=r+x2y2z2r5r3f（r=r四、（分）试分解正数a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。

111+，令设三个正数为x,y,z，则x+y+z=a，记F=+xyz111=+（x+y+zaxyz则由1x=x2+=0=1+=0yy21z=2+=0zx+y+z=a解出x=y=z=a。

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