高等代数课件PPT之第2章行列式.ppt

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第2章行列式,行列式是高等代数的一个重要组成部分。

它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式、二次型等问题的重要工具.本章介绍了n级行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用克拉默法则.,第2章行列式,n级行列式的定义行列式的性质与计算行列式按一行（列）展开克拉默法则行列式的一个简单应用,2.12.3n级行列式的定义,本节从二、三级行列式出发，给出n级行列式的概念.基本内容：

二级与三级行列式排列及其逆序数n级行列式定义,1.二级与三级行列式,

（1）二级行列式,为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：

上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。

为便于记忆，引进如下记号：

称其为二级行列式.,据此，解中的分子可分别记为：

例1解二元线性方程组,解:

方程组未知量的系数所构成的二级行列式,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为,

（2）三级行列式,称为三级行列式。

三元素乘积取“+”号；三元素乘积取“-”号。

主对角线法,例2计算三阶行列式,解:

由主对角线法，有,例3解线性方程组,解：

系数行列式,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为,思考与练习（三级行列式）,方程化简为（x-1）2=4,其解为x=3或x=-1；,答案,2.排列及其逆序数,

（1）排列,由自然数1,2,n,组成的一个有序数组i1i2in称为一个n级排列.,如：

由1,2,3可组成的三级排列有3！

=6个：

123132213231312321,（总数为n!

个）,注意:

上述排列中只有第一个为自然顺序（小大）,其它则或多或少地破坏了自然顺序（元素大小与位置相反）构成逆序.,

（2）排列的逆序数,定义：

在一个n级排列i1i2in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,即isit（ts）,则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为（i1i2in）.,奇偶排列:

若排列i1i2in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.,=3=2,例4（2413）（312）,例5（n（n-1）321）（135（2n-1）（2n）（2n-2）42）,=0+1+2+（n-1）=n（n-1）/2,=2+4+（2n-2）=n（n-1）,对换：

在一个排列i1isitin中，若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列i1itisin,这种变换称为一个对换,记为（isit）.,例6,结论：

对换改变排列的奇偶性.全部n级排列中,奇偶排列各半（各有n!

2）.任意一个n级排列与标准排列12n都可以经过一系列对换互变,且所作对换的个数与该排列有相同的奇偶性.,的证明,对换在相邻两数间发生，即设排列jk

（1）经j,k对换变成kj

（2）此时，排列

（1）、

（2）中j,k与其它数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：

若

（1）中jk构成逆序,则

（2）中不构成逆序（逆序数减少1）若

（1）中jk不构成逆序,则

（2）中构成逆序（逆序数增加1）一般情形设排列ji1isk（3）经j,k对换变成ki1isj（4）易知，（4）可由（3）经一系列相邻对换得到：

k经s+1次相邻对换成为kji1isj经s次相邻对换成为ki1isj即经2s+1次相邻对换后（3）成为（4）.相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.|,思考练习（排列的逆序数）,1.（542163）（24（2n-2）（2n）（2n-1）（2n-3）31）2.若排列的x1x2xn逆序数为，求排列xnxn-1x1的逆序数.,答案,详解,继续,思考练习（排列的逆序数详解）,方法1在排列x1x2xn中，任取两数xs和t（st）,则它们必在排列x1x2xn或xnxn-1x1中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列x1x2xn中取两数的方法共有,依题意，有,故排列x1x2xn与xnxn-1x1中逆序之和为,此即,方法2,n个数中比i大的数有n-i个（i=1,2,n）,若在排列x1x2xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1x1中对i构成的逆序为（n-i）-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为,li+（n-i）-li=n-i（i=1,2,n）,此即,3.n级行列式定义,分析：

（i）每一项均是取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为,（ii）符号为,“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）,（iii）项数为3！

=6,推广之，有如下n级行列式定义,定义：

n级行列式,是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积,并冠以符号的项的和.,（i）是取自不同行、不同列的n个元素的乘积（ii）行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性决定每一项的符号；（iii）表示对所有的构成的n！

个排列求和.,例4计算,解,由行列式定义,和式中仅当,例5证明上三角行列式,证：

由定义,和式中,只有当,所以,结论:

上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.,由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明,定理:

n级行列式D=det（aij）的项可以写为,其中i1i2in和j1j2jn都是n级排列.,或,另一定义形式,另一定义形式,推论:

n级行列式D=det（aij）的值为,1.用定义计算,思考练习（n级行列式定义）,答案,2.写出4级行列式中含有因子a23a41并带有负号的项.,内容回顾,n阶行列式定义：

上三角行列式的值,2.42.5n级行列式的性质与计算,考虑,称DT为D的转置行列式.,将它的行依次变为相应的列，得,性质1行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）,证：

事实上,若记DT=det（bij）,则,解,例1计算行列式,性质2互换行列式的两行（rirj）或列（cicj），行列式的值变号.,推论若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0.性质3行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于数k乘以此行列式，即,推论

（1）D中一行（列）所有元素为零，则D=0；

（2）D的两行（列）对应元素成比例，则D=0.,性质4若行列式某一行（列）的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）的元素与原行列式相同.即,证,性质5行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以数k加到另一行（列）的相应元素上,行列式的值不变,即,例2计算行列式,解,解,解,例4计算n阶行列式,解

（2）,解（3）,解

（1）,解

（1）,注意到行列式各行（列）元素之和等于x+（n-1）a,有,返回,解

（2）,注意到行列式各行元素之和等于,有,返回,解（3）,箭形行列式,列变换化箭形行列式为上三角行列式,例4证明,证,证,2.证明,1.计算行列式,思考练习（行列式的性质）,思考练习（行列式的性质）,思考练习（行列式性质答案）,=右边,思考练习（行列式性质答案）,解,返回,箭形行列式,2.6行列式按行（列）展开,1.行列式按一行（列）展开,余子式与代数余子式,在n级行列式,中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1级行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；,而Aij=（-1）i+jMij称为元素aij的代数余子式.,例1求出行列式,解,考察三阶行列式,A11,A13,A12,三阶行列式可以表示为某一行（列）元素与其对应的代数余子式的乘积和,行列式按一行（列）展开定理,n级行列式,等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,证,（i）元素aij位于第1行、第1列,而该行其余元素均为零,即aij=a11，a1j=0（j=2,3,n）；此时,而A11=（-1）1+1M11=M11,故D=a11A11;,（ii）,将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列,经（i-1）+（j-1）=i+j-2次对调后,aij位于第1行、第1列,即,（iii）一般地,由（i）,由（ii）,推论n级行列式,的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即,证,考虑辅助行列式,0=,例2计算行列式,解,法1,法2,选取“0”多的行或列,例3计算行列式,解,计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.,例4计算n级行列式,解,例5证明范得蒙行列式（Vandermonde）,证,用数学归纳法,假设对n-1级范得蒙行列式结论成立，以下考虑n级情形.,例6计算行列式,答案,例已知4级行列式,解,法1,法2,利用行列式的按列展开定理，简化计算.,一般地（P81例）,思考练习（按行展开定理）,计算行列式,思考练习（按行展开定理详解1）,思考练习（按行展开定理详解2）,2.拉普拉斯（Laplace）定理,k级子式在n级行列式中，任意选定k行、k列（1kn）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k级行列式N，称为行列式D的一个k级子式.k级子式N的余子式及代数余子式在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k级行列式M，称为k级子式N的余子式;而,为其代数余子式.这里i1,i2,ik,j1,j2,jk分别为k级子式N的行标和列标.,在n级行列式,定理（Laplace）,任意取定k行（1kn）,由这k行元素组成的k级子式M1,M2,Mt与它们的代数余子式的乘积之和等于D，即,解,例7计算行列式,一般地（P81例）,例8应用Mathematica4.0计算行列式,2.7克拉默法则,下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.定理（克拉默法则）如果n元线性方程组,则方程组有唯一解,的系数行列式,其中Dj（j=1,2,n）是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式,即,定理的结论有两层含义：

方程组

（1）有解；解唯一且可由式

（2）给出.,证首先证明方程组

（1）有解.事实上,将,代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开,得,即式

（2）给出的是方程组

（1）的解.,下面证明解唯一.设xj=cj（j=1,2,n）为方程组

（1）的任意一个解，则,以D的第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘以上式各等式，相加得,从而Dcj=Dj由于D0,因此,即方程组的解是唯一的.,推论1如果线性方程组

（1）无解或有两个不同解，则D=0；推论2如果齐次线性方程组,的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组有非零解，则D=0.,例1解线性方程组,解系数行列式,例2若齐次线性方程组有非零解，求值.,解系数行列式,方程组有非零解，则D=0.于是=3或=0.,例3,解,