勾股定理.docx

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勾股定理

专题一勾股定理

1.勾股定理

（1）文字语言：

直角三角形的平方和等于的平方。

（2）符号语言：

如果直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么。

2.使用勾股定理的注意事项

（1）分清斜边和，避免盲目代入公式。

（2）运用勾股定理的前提条件是在三角形中，如果已知条件中没有三角形，就必须先构造三角形。

3.直角三角形的判定方法（利用勾股定理判定）

如果某三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。

4.勾股数

满足

的三个。

5.利用勾股定理求最短路径

（1）在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为图形，再利用“”这个性质，找到立体图形表面上两点间的最短路径，并利用求解。

6.本章常用的数学思想：

（1）方程的思想

（2）分类讨论的思想

（3）转化的思想

模块一探索勾股定理

一、勾股定理（毕达哥拉斯定理）：

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.

公式：

（∠C=90°）

（∠B=90°）

（∠A=90°）

二、勾股定理的证明：

1.方法一：

邹元治的证明

将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

2.方法二：

赵爽弦图

将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

3.方法三：

总统证法

考点一：

应用勾股定理或勾股定理逆定理（求线段长度）

【抛砖引玉】

1.（15长清期中，4分）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）

A．12B．7+

C．12或7+

D．以上都不对

2．（2014-2015历城期中，4分）在下列四组数中，不是勾股数的是（ ）

A.7，24，25B. 3，5，7C. 8，15，17D. 9，40，41

3．（13历下期末，4分）以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）

A.8,12,17B.1,2,3C.6,8,10D.5,12,9

4．（历城期中，4分）直角三角形两边长分别是3、4，第三边是（　　）

　A．5B．

C．5或

D．无法确定

5．（历城期中，4分）△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（　　）

　A．14B．4C．14或4D．以上都不对

6．（章丘市期中，4分）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（　　）A．7B．6C．5D．4

7．（2014-2015长清期中，4分）下列说法正确的是（　　）

A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2

B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2

C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2

D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2

8．（2014-2015长清期中，4分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（　　）

A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm

9．（2014－2015槐荫期末，4分）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）

A．25B．25或32C．32D．19

10.（历下期中，4分）直角三角形两条直角边的长分别为8，15，则斜边上的高为________．

11．（2014-2015长清期中，4分）一个三角形三边之比是10：

8：

6，则按角分类它是_______三角形．

考点二：

面积问题（构造直角三角形类型）

【抛砖引玉】

12.（章丘市期中，分）某住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，求这块草坪的面积．

13.（15历下期中，3分）在

中，

则

的面积为（）

A.6B.8C.10D.12

14.如图：

在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BF⊥BC，BC=BF，四边形CDEF是以CF为一边的正方形，求正方形CDEF的面积

考点三：

折叠问题（方程思想）

【抛砖引玉】

15.（15历下期中，3分）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AE=5，BF=3，则AB的长是（）

A.7B.8C.9D.10

【点石成金】

折叠问题实质上就是轴对称变换．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等（即全等）．

【勤能补拙】

16．如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点

处，则重叠部分△AFC的面积是．

17．（章丘期中，6分）如图，小姜同学将一个直角三角形的纸片折叠，A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm，你能求出CE的长吗？

18.（13历下期末，4分）有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.4.8cm

考点四：

勾股定理的实际应用（最短路径问题）

【抛砖引玉】

19.（长清期中，4分）如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_______cm．（π取3）

【点石成金】此题主要考查了平面展开最短路径问题.

【勤能补拙】

20.（2013历城期中，3分）某种表面较粗糙的圆柱形罐头，如图，现有一只小蚂蚁欲从下底A处出发，爬行到上底的C处，则小蚂蚁爬行的最短路线长为　　　　　　cm．（参考数据：

π≈3）

21.（2014-2015历城期中，3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过 4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为__________cm.  

22．（2013历城期中，3分）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（　　）

A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m

23．（2013历城期中，3分）如图，李明同学将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与地面平齐的位置打了个结，然后将绳子拉到离旗杆底端8米处，发现此时绳子底端距离打结处2米，请设法求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）

24.（16东营中考，3分）在

中，

则另一边BC等于（）

A.10B.8C.6或10D.8或10

25.（15历下期中，3分）直角三角形两边长分別为3和4,则笫三边的长为.

26.（15历下期中，3分）如右图,有两棵树,—棵树高12m,另一棵树高6m,两树相距8m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行了m。

27.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

（1）如图所示,两个正方形阴影的面积分别为SA=9cm2,SB=25cm2,则直角三角形的面积为（    ）

A. 6cm2B. 12cm2C. 24cm2D. 3cm2

（2）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2。

则最大的正方形E的面积是_____.

（3）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=.

变式：

S1+S4=.

如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA6的长度为_________．

如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2015的值为________．

有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少?