勾股定理.docx

1、勾股定理专题一 勾股定理1. 勾股定理（1）文字语言：直角三角形 的平方和等于 的平方。（2）符号语言：如果直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么 。2. 使用勾股定理的注意事项（1）分清斜边和 ，避免盲目代入公式。（2）运用勾股定理的前提条件是在 三角形中，如果已知条件中没有 三 角形，就必须先构造 三角形。3. 直角三角形的判定方法（利用勾股定理判定） 如果某三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。4. 勾股数 满足的三个 。5. 利用勾股定理求最短路径（1）在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为 图形，再利用“ ”这个性质，找到立体图形表面上两点间的最

2、短路径，并利用 求解。6. 本章常用的数学思想：（1）方程的思想（2）分类讨论的思想（3）转化的思想模块一 探索勾股定理一、勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方. 公式：（C=90） （B=90） （A=90）二、勾股定理的证明：1.方法一：邹元治的证明将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 2.方法二：赵爽弦图将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 3.方法三：总统证法 考点一：应用勾股定理或勾股定理逆定理（求线段长度）【抛砖引玉】1. (15长清期中，4分)已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（） A12 B7+ C12或7

3、+ D以上都不对2（2014-2015历城期中，4分）在下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A.7，24，25 B.3，5，7 C.8，15，17 D.9，40，41 3（13历下期末，4分 ）以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是( ) A.8,12, 17 B.1,2,3 C.6,8,10 D. 5,12,9 4(历城期中，4分)直角三角形两边长分别是3、4，第三边是（） A 5 B C 5或 D 无法确定 5(历城期中，4分)ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（） A 14 B 4 C 14或4 D 以上都不对 6(章丘市期中，4分)等腰三角形

4、的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（） A 7 B 6 C 5 D 4 7（2014-2015长清期中，4分）下列说法正确的是（） A若a、b、c是ABC的三边，则a2+b2=c2 B若a、b、c是RtABC的三边，则a2+b2=c2 C若a、b、c是RtABC的三边，A=90，则a2+b2=c2 D若a、b、c是RtABC的三边，C=90，则a2+b2=c28（2014-2015长清期中，4分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ） Ah17cm Bh8cm C15cmh16cm D7c

5、mh16cm9（20142015槐荫期末，4分）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A25 B25或32 C32 D1910. (历下期中，4分)直角三角形两条直角边的长分别为8，15，则斜边上的高为_11 （2014-2015长清期中，4分）一个三角形三边之比是10：8：6，则按角分类它是_三角形考点二：面积问题（构造直角三角形类型）【抛砖引玉】12. (章丘市期中，分)某住宅小区有一块草坪如图所示已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且ABBC，求这块草坪的面积13.（15历下期中，3分）在中，, , , 则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C

6、. 10 D. 1214. 如图：在三角形ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，BFBC，BC=BF，四边形CDEF是以CF为一边的正方形，求正方形CDEF的面积考点三：折叠问题（方程思想）【抛砖引玉】15.（15历下期中，3分）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AE=5，BF=3，则AB的长是（ ）A.7 B.8 C.9 D.10【点石成金】折叠问题实质上就是轴对称变换折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等（即全等）【勤能补拙】16如图，长方形ABCD中，AB=

7、8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分AFC的面积是 17(章丘期中，6分)如图，小姜同学将一个直角三角形的纸片折叠，A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm，你能求出CE的长吗？18.（13历下期末，4分 ）有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为( ) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 4.8cm考点四：勾股定理的实际应用（最短路径问题）【抛砖引玉】19.（长清期中，4分）如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只

8、蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_cm（取3） 【点石成金】此题主要考查了平面展开最短路径问题.【勤能补拙】20.（2013历城期中，3分）某种表面较粗糙的圆柱形罐头，如图，现有一只小蚂蚁欲从下底A处出发，爬行到上底的C处，则小蚂蚁爬行的最短路线长为cm（参考数据：3）21.（2014-2015历城期中，3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_cm. 22（2013历城期中，3分）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯

9、子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B，那么BB（）A小于1m B大于1m C等于1m D小于或等于1m23（2013历城期中，3分）如图，李明同学将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与地面平齐的位置打了个结，然后将绳子拉到离旗杆底端8米处，发现此时绳子底端距离打结处2米，请设法求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）24.（16东营中考，3分）在中，则另一边BC等于（ ） A.10 B.8 C.6或10 D.8或1025.（15历下期中，3分）直角三角形两边长分別为3和4,则笫三边的长为 .26.（15历下期中，3分）如右图,有两棵树,棵树高12m,

10、另一棵树高6m,两树相距8m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行了 m。27. 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （1）如图所示,两个正方形阴影的面积分别为SA=9cm2, SB=25cm2,则直角三角形的面积为()A.6cm2 B.12cm2 C.24cm2 D.3cm2（2）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2。则最大的正方形E的面积是_.（3）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积

11、分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= .变式：S1+ S4= .如图，在等腰RtOAA1中，OAA190，OA1，以OA1为直角边作等腰RtOA1A2，以OA2为直角边作等腰RtOA2A3，则OA6的长度为_ 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S2015的值为_有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少?