汽车租赁案例解读.docx

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汽车租赁案例解读

汽车租赁案例

摘要

一、问题重述

一个小型的汽车租赁公司只提供一种类型的汽车，并提供以下四个租借点：

A,B,C,D.

需求

对顾客租车的需求量有以下估计（公司每周开放从周一至周六，周日休息）：

日期/租借点

A

B

C

D

周一

100

150

135

83

周二

120

230

250

143

周三

80

225

210

98

周四

95

195

242

111

周五

70

124

160

99

周六

55

96

115

80

车辆可以租借1天，2天或者3天，并于次日早上归还至原租借点或其他任一租借点。

例如于周四租借车辆2天，表示车辆必须于周六早归还；再如周五租借汽车3天，表示于周二早上归还车辆。

周六租借汽车1天，则需次周一归还，租借2天，则于次周二归还。

租期与原地点及到达地点无关。

通过以往数据统计，租期的分配为：

55%的车辆被租借1天，20%租借2天，25%租借3天。

当前的统计显示了从各个租借点租借并归还的比例如下：

到达地点

出发地点

A

B

C

D

A

60

20

10

10

B

15

55

25

5

C

15

20

54

11

D

8

12

27

53

公司成本

公司租赁一辆车的‘边际成本’（包括磨损费和经营费）的估计如下：

租借1天20英镑

租借2天25英镑

租借3天30英镑

其拥有一辆车的‘机会成本’（包括资本，存放以及服务的利息）为每周15英镑。

转移

公司有可能会将完好无损的车辆（对比后面损坏的车辆）从一个租借点转移到另一个租借点。

不考虑当车子被转移时不被租借的距离。

转移每辆车子的费用如下：

（当天能不能被租赁？

瞬时完成还是有时间限制）

到达地点

出发地点

A

B

C

D

A

---

20

30

50

B

20

---

15

35

C

30

15

---

25

D

50

35

25

---

注：

‘---’表示此转移是不成立的。

损坏的车辆

顾客归还的车辆中至少有10%是损坏的。

当此情况发生时，顾客需要额外缴纳100英镑的罚金。

只有两个租借点有修理能力（容量）：

B：

12辆/天

C：

20辆/天

如果损坏的车辆被归还到当天没有修理能力的租借点，车辆会被转移到有修理能力的租借点，并于次日予以维修。

维修需要一天时间。

修理好的汽车会被作为完好无损的车子。

因此修理好的车子可能被从修理点（即B/C修理点）租出或者转移到另一租借点（像其他任何完好无损的车辆一样，见上）。

转移一辆损坏的车辆同转移一辆完好无损的车辆的费用是一样的。

所以，例如，一辆于周三被归还于A租借点的破损的车辆，在当天被转移到任一有修理能力的租借点（B或者C），会于周四被修理，其后在周五或者于该租借点被租出，或者作为完好的车辆被转移到其他租借点，并于周六在那里被租出。

（转移需要一天的时间？

）

如果一辆损坏的汽车被归还到一个有修理能力的租借点，该车必须于此处维修；修理可以于归还当天立即进行并完成，所以该车能够在第二天被租出或者转移到其他租借点（相关情况同上）。

例如：

一辆损坏的车辆于周三早上被归还至B租借点（有修理能力的租借点），立即于当天在此修理，在周四或者在此地被租出，或者被转移至其他租借点，并于周五在那里租出。

价格

租赁价钱取决于租赁的时间长短以及是否归还至原租借点。

具体价格如下（以英镑为单位）：

归还至原租借点

归还至另一租借点

1天租期

50

70

2天租期

70

100

3天租期

120

150

特别优惠

对于在周六租借车辆并与次周一归还的顾客提供20英镑的优惠，并且这种租借被作为租期为1天的租赁。

时间线

在每个没有修理能力的租借点，每天的开始我们会假设以下情况发生：

1．顾客于应当归还车辆的当天归还车辆；

2．损坏的车辆被送至修理点；

3．从其他租借点转移至该租借点的完好无损的车子到达；

4．新的转移被发出；

5．车辆被租借给顾客们。

在每个有修理能力的租借点，每天的开始我们会假设以下情况发生：

1．顾客于应当归还车辆的当天归还车辆；

2．从其他租借点转移至该租借点的完好无损的车子到达；

3．于前一天修好的车辆准备被租出或者转移至其他租借点；

4．新的转移被发出；

5．车辆被租借给顾客们；

6．损坏的车辆，无论来自其他租借点或者被归还至此租借点，于上午进行维修。

方案

为了使每周的利润最大化，公司希望获得一个‘稳态’的方案，即在每周固定的日子，将固定预计数目的车辆安排于固定的租借点。

1．公司需要拥有多少车辆？

2．每天将车辆分别安排于哪个租借点？

3．如果公司致力于在某一租借点提高需求量，哪个租借点最值得被选定？

4．你认为你的模型与数据间的关系多健壮？

（健壮性）

5．公司在考虑如何最有效的扩大租借点的维修能力/容量。

如下的每周固定成本包括扩建所需贷款的利息支付：

a.于B租借点扩大维修服务，每天维修容量增加20辆车，则每周消耗固定成本25000英镑

b.于B租借点进一步扩大维修服务，每天维修容量增加15辆车，则每周消耗固定成本增加18000英镑

c.于C租借点扩大维修服务，每天维修容量增加25辆车，则每周消耗固定成本30000英镑

d.于C租借点进一步扩大维修服务，每天维修容量增加20辆车，则每周消耗固定成本增加22000英镑

e.于D租借点建立维修服务，每天维修容量为15辆车，则每周消耗固定成本20000英镑

如果以上任何方案被采用，则必须完全实施该方案，即不可是进行部分扩建。

当进一步扩大方案被采用，前提必须是进一步扩建已经完成。

例如， C租借点的方案（b）不可采用，除非方案（a）已经选定。

如果方案（b）被选定，那么方案（a）也必须被选择，其共被算作2方案。

一共最多可以选择3项方案。

二、基本假设

1.顾客按时归还所借出的车辆。

2.由于考虑的是最佳情况所以我们假设每次归还的车辆损坏只有10%。

3.转移需要一天的时间。

4.每次归还和所租天数都和以往的统计相符合。

5.所有损坏的车辆都能被修复。

6.汽车租赁的价格不会改变。

7.汽车租期与原地点及到达地点无关。

8.顾客对汽车的品牌和新旧没有要求。

9.不考虑突发事件对模型的影响。

三、符号说明

M

公司汽车的总量

M1（j=1,2,3,4,5,6）

表示第j天公司完好汽车的库存量

Sij（i=a，b，c，d）（j=1,2,3,4,5,6）

表示第i租借点在第j天的完好汽车库存量

Yij（i=a，b，c，d）（j=1,2,3,4,5,6）

表示在i租借点在第j天归还的汽车数量

Lij（i=a，b，c，d）（j=1,2,3,4,5,6）

表示在i租借点第j天租出去汽车的数量

Tikj-1（i=a，b，c，d，k=a，b，c，d，其中i≠k）（j=1,2,3,4,5,6）

表示从第i租借点转移完好的到第k租借点的汽车数量

Gij（i=b，c）（j=1,2,3,4,5,6）

表示i租借点第j天维修汽车的数量

M2（j=1,2,3,4,5,6）

第j天该公司租凭汽车的总和

M3（j=1,2,3,4,5,6）

第j天该公司处于修理中的汽车数量

M4（j=1,2,3,4,5,6）

该公司第j天各租借点转移的汽车数量

Bikj（i=a，d，k=b，c）（j=1,2,3,4,5,6）

表示从i租借点到k租借点转移损坏汽车的数量

Wij（i=a，d）（j=1,2,3,4,5,6）

表示第j天i修理点未能修理的车辆数

TC

公司成本

C1

表示边际成本

C2

表示转移费用

C3

表示机会成本

维修能力为零的租借点的转移维修车辆矩阵

转移完好的汽车数量矩阵

CT

转移费用矩阵

R1

每周的租金收入

R2

每周的罚金收入

TR

每周公司的总收入

L

每周总利润

四、问题分析

●问题一

公司在每周固定的日子，将固定预计数目的车辆安排于固定的租借点，因此我们需要了解汽车的动态变化。

在使每周利润最大的情况下，求出公司需要拥有多少车辆，我们可用线性规划进行建模求解。

首先，建立求最大利润的目标函数，然后根据决策变量：

转移费用、边际成本、机会成本以及公司的收益建立约束条件，再用lingo进行求解。

图一：

收入的具体来源以及支出的成本

为了建立‘稳态’的方案，所以要使得公司在不购入新车的情况下可以持续的运行下去，使得车辆每周的损坏车辆数目与维修能力相当。

为了了解我们公司的收益情况，所以我们需要分析汽车的变化情况。

图二：

公司汽车的变化情况

●问题二

根据问题一的求解即可得出问题二的解，即每天将车辆分别安排于哪个租借点。

●问题三

对于问题三，公司提高需求量是为了尽量满足各个租借点顾客的需求，我们由此引出“不满意度”这个量来衡量公司最值得在哪个租借点增加需求量，且不满意度越高，公司越值得在该点增加需求量，由于顾客的不满意度是由顾客一周的平均需求量（X1）,以及供求差

以及供求差的方差（σ）决定的，定义“供求比例”：

k=

当k的值大于0且小于1，表示该租借点供不应求，当k的值小于0，说明该租借点供大于求，当供大于求时，则不用考虑提高该点的需求量。

很明显可以看出顾客的不满意程度与供求比例以及方差成正比，所以我们定义“不满意度”：

F=k*σ，当F的值越大，说明顾客不满意度越高，所以我们对四个租借点满意度的平均值进行比较，选择F值最高的租借点提高需求量。

并且增加的需求量对公司的长期运转影响不大。

●问题四

健壮性又称鲁棒性，它是反映统计数据的不精确性以及环境因素对规划中变量的影响，本模型中，有以下数据可能存在不精确性：

（1）顾客归还汽车损坏的概率

（2）租期的概率分布

（3）顾客每周的需求矩阵

（4）各个租借点租借并归还的概率

所以我们需要改变原来数据来观察数据的鲁棒性。

我们的改动量为原数据的1%,4%,8%，然后定义改变前后对应决策变量差值的绝对值之和除以改变前决策变量值的和为η，分析η的变化情况，如果η值越接近于1，说明该数据的健壮性越差，如果η值越接近0，说明该数据健壮性越好。

综合分析4个统计数据对模型求解的影响。

●问题五

根据题目的条件，方案一共可以分为9种，即：

a，ab，c，cd，ae，abe，ce，cde，e。

我们分别用控制变量法对这9种方案进行讨论分析，首先对单项方案的情况进行分析，选择利润最大的方案，在单项方案基础上对两项方案进行比较分析，然后对三项方案进行比较分析，比较最大利润，选择利润最大的方案。

五、模型的建立

5.1汽车租赁模型：

首先设定公司汽车的总量为M，且：

M=M1+M2+M3+M4

i.公司汽车的情况

（1）求第j天公司完好汽车的库存（j=1,2,3,4,5,6）：

M1=Saj+Sbj+Scj+Sdj

其中M1表示第j天公司完好汽车的库存量，Sij（i=a，b，c，d）表示第i租借点在第j天的完好汽车库存量。

由于A,D两租借点是没有维修能力的，那么A,D两点过完好车辆的进出情况应该一致，B,C两点因具有维修能力，可以额外获得维修好的汽车。

所以，A,D有如下的表达式：

Saj=Saj-1+Yaj-10%*Yaj-Laj+［Tbaj-1+Tcaj-1+Tdaj-1］-［Tabj-1+Tacj-1+Tadj-1］

Sdj=Sdj-1+Ydj-10%*Ydj-Ldj+［Tbdj-1+Tcdj-1+Tadj-1］-［Tdbj-1+Tdcj-1+Tdaj-1］

s.tSaj≥0，Sdj≥0

再求B，C两租借点完好汽车的库存情况：

Sbj=Sbj-1+Ybj-10%*Ybj-Lbj+［Tabj-1+Tcbj-1+Tdbj-1］-［Tbaj-1+Tcbj-1+Tbdj-1］+Gbj

Scj=Scj-1+Ycj-10%*Ycj-Lcj+［Tacj-1+Tbcj-1+Tdcj-1］-［Tcaj-1+Tcbj-1+Tcdj-1］+Gcj

s.tSbj≥0，Scj≥0

其中Yij（i=a，b，c，d）表示在i租借点在第j天归还的汽车数量，Lij（i=a，b，c，d）表示在i租借点第j天租出去汽车的数量，Tikj-1（i=a，b，c，d，k=a，b，c，d，其中i≠k）表示从第i租借点转移完好的到第k租借点的汽车数量，Gij（i=b，c）表示i租借点第j天维修汽车的数量。

（2）第j天该公司租凭汽车的总和（j=1,2,3,4,5,6）：

M2=55%［Laj+Lbj+Lcj+Ldj］+20%［Laj-1+Lbj-1+Lcj-1+Ldj-1］+25%［Laj-2+Lbj-2+Lcj-2+Ldj-2］

（3）第j天该公司处于修理中的汽车数量

M3=Wbj+Wcj+Babj-1+Bdbj-1+Bacj-1+Bdcj-1

（4）该公司第j天各租借点转移的汽车数量

M4=Tabj+Tacj+Tadj+Tbaj+TbcjTbdj+Tcaj+Tcbj+Tcdj+Tdaj+Tdbj+Tdcj+Babj+Bdbj+Bacj+Bdcj

ii.每天归还的汽车中受损汽车的情况

由于A,D两个租借点没有修理能力，归还到这两个租借点的受损汽车必须当天转移到有修理能力的B或C租借点进行修理，则：

Babj+Bdbj=10%*Yaj

Bacj+Bdcj=10%*Ydj

Bikj（i=a，d，k=b，c）表示从i租借点到k租借点转移损坏汽车的数量。

到达b，c租借点已修的汽车数量：

Gbj=min[12，Babj-2+Bdbj-2+10%*Ybj-1+Wbj-1]

Gcj=min[20，Bacj-2+Bdcj-2+10%*Ycj-1+Wcj-1]

当天未能修理的车辆数：

Wbj=max[0,Babj-2+Bdbj-2+10%*Ybj-1+Wbj-1-12]

Wcj=max[0,Bacj-2+Bdcj-2+10%*Ycj-1+Wcj-1-20]

Wij（i=a，d）表示第j天i修理点未能修理的车辆数。

日期/租借点

A

B

C

D

周一

100

150

135

83

周二

120

230

250

143

周三

80

225

210

98

周四

95

195

242

111

周五

70

124

160

99

周六

55

96

115

80

从表中我们可以看出周二的需求量是最大的为743辆，当周二的需求量基本满足时，其余的日期只需要局部的调整就可以最大限度的满足顾客的需求，所以假设周二为固定的转移时间，又因为实际的需求量是不会超过需求量的，所以需满足：

Yij≤YT

YT=

iii.公司成本

TC=C1+C2+C3

其中C1表示边际成本，C2表示转移费用，C3表示机会成本

C1=

C2=

C3=15*M

=

维修能力为零的租借点的转移维修车辆矩阵

=

转移完好的汽车数量矩阵

CT=

转移费用矩阵

iv.公司的收益

（1）每周的租金收入

R1=

+

（2）每周的罚金收入

R2=100*10%

每周公司的总收入TR=R1+R2

5.2线性规划模型

（1）目标函数的建立

maxL=TR-TC

（2）最终模型

MaxL=R1+R2-（C1+C2+C3）

s.t

M1=Saj+Sbj+Scj+Sdj

Saj=Saj-1+Yaj-10%*Yaj-Laj+［Tbaj-1+Tcaj-1+Tdaj-1］-［Tabj-1+Tacj-1+Tadj-1］≥0

Sdj=Sdj-1+Ydj-10%*Ydj-Ldj+［Tbdj-1+Tcdj-1+Tadj-1］-［Tdbj-1+Tdcj-1+Tdaj-1］≥0

Sbj=Sbj-1+Ybj-10%*Ybj-Lbj+［Tabj-1+Tcbj-1+Tdbj-1］-［Tbaj-1+Tcbj-1+Tbdj-1］+Gbj≥0

Scj=Scj-1+Ycj-10%*Ycj-Lcj+［Tacj-1+Tbcj-1+Tdcj-1］-［Tcaj-1+Tcbj-1+Tcdj-1］+Gcj≥0

M2=55%［Laj+Lbj+Lcj+Ldj］+20%［Laj-1+Lbj-1+Lcj-1+Ldj-1］+25%［Laj-2+Lbj-2+Lcj-2+Ldj-2］

M3=Wbj+Wcj+Babj-1+Bdbj-1+Bacj-1+Bdcj-1

M4=Tabj+Tacj+Tadj+Tbaj+TbcjTbdj+Tcaj+Tcbj+Tcdj+Tdaj+Tdbj+Tdcj+Babj+Bdbj+Bacj+Bdcj

Babj+Bdbj=10%*YajBacj+Bdcj=10%*Ydj

Gbj=min[12，Babj-2+Bdbj-2+10%*Ybj-1+Wbj-1]

Gcj=min[20，Bacj-2+Bdcj-2+10%*Ycj-1+Wcj-1]

Wbj=max[0,Babj-2+Bdbj-2+10%*Ybj-1+Wbj-1-12]

Wcj=max[0,Bacj-2+Bdcj-2+10%*Ycj-1+Wcj-1-20]

Yij≤YT

六、模型的求解

i.问题一的求解

对于该多元规划模型，我们利用lingo进行求解，得出该公司要有198.3+9+273+25=505.3辆汽车用于出租才能获得最大利润和“稳态”的经营方案，星期六借出去的总车辆数为346量，则租借一天的数量有346*55%=190.3辆，所以优惠额为190.3*20=3806元，则此时公司获得的最大利润为112075-3806=108269元。

ii.问题二的求解

由问题一的解，我们可以获得该公司在利润最大化的“稳态”经营下，每天安排与各个租借点的汽车数量，具体安排如下表所示：

　日期/租借点

A

B

C

D

星期一

70

178

311

68

星期二

57

136

205

55

星期三

61

142

257

71

星期四

60

167

165

70

星期五

137

144

195

83

星期六

71

188

159

151

iii.问题三的求解

由表1顾客的需求量：

A

B

C

D

周一

100

150

135

83

周二

120

230

250

143

周三

80

225

210

98

周四

95

195

242

111

周五

70

124

160

99

周六

55

96

115

80

均值

86.66667

170

185.3333

102.3333

以及表2公司实际的供应量：

　日期/租借点

A

B

C

D

星期一

70

178

311

68

星期二

57

136

205

55

星期三

61

142

257

71

星期四

60

167

165

70

星期五

137

144

195

83

星期六

71

188

159

151

得出表3各租借点每天供应量与需求量的差：

日期/租借点

A

B

C

D

周一

30

-28

-176

15

周二

63

94

45

88

周三

19

83

-47

27

周四

35

28

77

41

周五

-67

-20

-35

16

周六

-16

-92

-44

-71

由表1，表2，表3得到表4，表4为供求比例数据：

A

B

C

D

周一

0.3

-0.18667

-1.3037

0.180723

周二

0.525

0.408696

0.18

0.615385

周三

0.2375

0.368889

-0.22381

0.27551

周四

0.368421

0.14359

0.318182

0.369369

周五

-0.95714

-0.16129

-0.21875

0.161616

周六

-0.29091

-0.95833

-0.38261

-0.8875

均值

10.66667

10.83333

-30

19.33333

方差

45.86357

71.34821

88.20431

51.83307

F

5.644747

4.546699

-14.2777

9.792566

从表4可以看出d点的F值最大，故需要在d租借点提高需求量来减少顾客的不满意程度。

iv.问题四的求解

健壮性又称鲁棒性，它是反映统计数据的不精确性以及环境因素对规划中变量的影响，本模型中，有以下数据可能存在不精确性：

（1）顾客归还汽车损坏的概率

（2）租期的概率分布

（3）顾客每周的需求矩阵

（4）各个租借点租借并归还的概率

所以我们需要改变原来数据来观察数据的鲁棒性。

我们的改动量为原数据的1%,4%,8%，然后分别算出改变前后对应决策变量差值的绝对值之和除以改变前决策变量值的和的变化情况，如果该值越接近于1，说明该数据的健壮性越差，如果该值越接近0，说明该数据健壮性越好。

综合分析4个统计数据对模型求解的影响。

改动的对象

改动量的大小

η

影响大小评价

顾客归还车辆的损坏率

1%

42.7%

较小

4%

56.2&

较大

8%

93.5%

很大

租期的概率分布

1%

2.2%

很小

4%

5.4%

很小

8%

8.1%

很小

顾客每周的需求矩阵

1%

3.2%

很小

4%

20.3%

较小

8%

32.5%

较小

各个租借点租借并归还的概率

1%

9.9%

很小

4%

47.6%

较小

8%

67.1%

很大

通过对该表进行分析，改变租期的概率分布对决策变量的影响很小，改变顾客的每周需求矩阵以及各个租借点租借并归还的概率对决策变量的影响一般，然而顾客归还车辆的损坏率对决策变量的影响很大，所以综上所诉，我们可以看出该模型的健壮性较好。

v.问题五的求解

我们利用控制变量法来求公司的最优方案：

A、只采用a方案时：

B租借点总共增加维修车辆：

6*20=120辆

B租借点每天的汽车供给量为:

B租借点

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

星期几

198

156

162

187

164

208

公司的增加的利润＝租借车辆归还到原点的费用＋租借车辆归还到其他点的费用＋损坏车辆的罚款+节省的车辆转移费用-固定成本

损坏的车辆的罚款=120*100=12000（英镑）

租借车辆归还到原点的费用=120*0.55*（50*0.55+70*0.20+120*0.25）=4719（英镑）

租借车辆归还到其他点的费用=120*0.45*（70*0.55+100*0.20+150*0.25）=5184（英镑）

增加租借点的维修能力以减少的车辆转移费用=120*30=3600（英镑）

公司的增加的利润＝12000+4719+5184+3600-25000=50