概率论与数理统计第四版第四章.docx

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概率论与数理统计第四版第四章

第四章　随机变量的数字特征1．（１）在下列句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，写出X的分布律并求E（X）．“THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT”．（２）在上述句子的３０个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求E（Y）．（３）一人掷骰子，如得６点则掷第２次，此时得分为６＋第二次得到的点数；否则得分为他第一次掷得的点数，且不能再掷，求得分X的分布律及E（X）．解（１）随机试验属等可能概型．所给句子共８个单词，其中含２个字母，含４个字母，含９个字母的各有一个单词，另有５个单词含３个字母，所以X的分布律为X２３４９pk１８５８１８１８数学期望E（X）＝２×１８＋３×５８＋４×１８＋９×１８＝１５４．（２）随机试验属等可能概型，Y的可能值也是２，３，４，９．样本空间S由各个字母组成，共有３０个样本点，其中样本点属于Y＝２的有２个，属于Y＝３的有１５个，属于Y＝４的有４个，属于Y＝９的有９个，所以Y的分布律为Y２３４９pk２３０１５３０４３０９３０数学期望　E（Y）＝２×２３０＋３×１５３０＋４×４３０＋９×９３０＝７３１５．（３）分布律为X１２３４５７８９１０１１１２pk１６１６１６１６１６１３６１３６１３６１３６１３６１３６E（X）＝１×１６＋２×１６＋３×１６＋４×１６＋５×１６＋７×１３６＋８×１３６＋９×１３６　＋１０×１３６＋１１×１３６＋１２×１３６＝４９１２．2．某产品的次品率为０畅１，检验员每天检验４次．每次随机地取１０件产品进行检验，如发现其中的次品数多于１，就去调整设备．以X表示一天中调整设备的次数，试求E（X）．（设诸产品是否为次品是相互独立的．）解先求检验一次，决定需要调整设备的概率．设抽检出次品件数为Y，则Y～b（１０，０畅１）．记需调整设备一次的概率为p，则p＝P｛Y＞１｝＝１－P｛Y＝０｝－P｛Y＝１｝＝１－０畅９１０－１０１·０畅９９·０畅１＝０畅２６３９．又因各次检验结果相互独立，故X～b（４，０畅２６３９）．X的分布律为X０１２３４pk（１－p）４４p（１－p）３６p２（１－p）２４p３（１－p）p４于是E（X）＝１×４p（１－p）３＋２×６p２（１－p）２＋３×４p３（１－p）＋４×p４＝４p＝４×０畅２６３９＝１畅０５５６．以后将会知道若X～b（n，p），则E（X）＝np．3．有３只球，４个盒子，盒子的编号为１，２，３，４．将球逐个独立地，随机地放入４个盒子中去．以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X＝３表示第１号，第２号盒子是空的，第３个盒子至少有一只球），试求E（X）．解法（i）　由于每只球都有４种放法，由乘法原理共有４３＝６４种放法．其中３只球都放在４号盒中的放置法仅有１种，从而P｛X＝４｝＝１６４．又｛X＝３｝表示事件“１，２号盒子都是空的，而３号盒子不空”．因１，２号盒子都空，球只能放置在３，４号两个盒子中，共有２３种放置法，但其中有一种是３只球都放在４号盒子中，即３号盒子是空的，这不符合X＝３的要求需除去，故有P｛X＝３｝＝２３－１６４＝７６４．88概率论与数理统计习题全解指南同理可得P｛X＝２｝＝３３－２３６４＝１９６４，P｛X＝１｝＝４３－３３６４＝３７６４．因此E（X）＝钞４k＝１kP｛X＝k｝＝２５１６．注：

P｛X＝１｝也可由１－（P｛X＝４｝＋P｛X＝３｝＋P｛X＝２｝）求得．解法（ii）　以Ai（i＝１，２，３，４）记事件“第i个盒子是空盒”．｛X＝１｝表示事件“第一个盒子中至少有一只球”，因此｛X＝１｝＝A　—１，故P｛X＝１｝＝P（A　—１）＝１－P（A１）＝１－３４３＝３７６４．（因第一个盒子为空盒，３只球的每一只都只有３个盒子可以放，故P（A１）＝（３／４）３．）｛X＝２｝表示事件“第一个盒子为空盒且第二个盒子中至少有一只球”，因此｛X＝２｝＝A１A　—２．故P｛X＝２｝＝P（A１A　—２）＝P（A　—２A１）P（A１）＝（１－P（A２A１））P（A１）＝１－２３３３４３＝１９６４．（因在第一个盒子是空盒的条件下，第二个盒子也是空盒，则３只球都只有２个盒子可以放，故P（A２A１）＝２３３．）类似地，P｛X＝３｝＝P（A１A２A　—３）＝P（A　—３A１A２）P（A２A１）P（A１）＝１－１２３２３３３４３＝７６４，P｛X＝４｝＝１－３７６４－１９６４－７６４＝１６４，因此，E（X）＝钞４k＝１kP｛X＝k｝＝２５１６．解法（iii）　将球编号．以X１，X２，X３分别记１号，２号，３号球所落入的盒子的号码数．则X１，X２，X３都是随机变量，记X＝min｛X１，X２，X３｝，按题意，本题需要求的是98第四章　随机变量的数字特征E（X）＝E〔min｛X１，X２，X３｝〕．因X１，X２，X３具有相同的分布律Xj１２３４pk１４１４１４１４因而X１，X２，X３具有相同的分布函数F（z）＝０，z＜１，１４，１≤z＜２，２４，２≤z＜３，３４，３≤z＜４，１，z≥４．于是X＝min｛X１，X２，X３｝的分布函数为：

Fmin（z）＝１－〔１－F（z）〕３＝１－（１－０）３＝０，z＜１，１－１－１４３＝３７６４，１≤z＜２，１－１－２４３＝５６６４，２≤z＜３，１－１－３４３＝６３６４，３≤z＜４，１－（１－１）３＝１，z≥４．X＝min｛X１，X２，X３｝的分布律为X１２３４pk３７６４１９６４７６４１６４得E（X）＝２５１６．4．（１）设随机变量X的分布律为PX＝（－１）j＋１３jj＝２３j，j＝１，２，…，说明X的数学期望不存在．（２）一盒中装有一只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：

一次从盒中随机摸一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再09概率论与数理统计习题全解指南从盒中随机地摸一只球．试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在．解（１）因级数钞∞j＝１（－１）j＋１３jjPX＝（－１）j＋１３jj＝钞∞j＝１（－１）j＋１３jj·２３j＝２钞∞j＝１（－１）j＋１j不绝对收敛，按定义X的数学期望不存在．（２）以Ak记事件“第k次摸球摸到黑球”，以Ak记事件“第k次摸球摸到白球”，以Ck表示事件“游戏在第k次摸球时结束”，k＝１，２，…．按题意Ck＝A１A２…Ak－１A　—k，P（Ck）＝P（A　—k|A１A２…Ak－１）P（Ak－１|A１A２…Ak－２）…P（A２|A１）P（A１）．P｛X＝１｝＝P（A　—１）＝１２，P｛X＝２｝＝P（A１A　—２）＝P（A　—２|A１）P（A１）＝１３·１２，P｛X＝３｝＝P（A１A２A　—３）＝P（A　—３|A１A２）P（A２|A１）P（A１）＝１４·２３·１２＝１４·１３，X＝k时，盒中共k＋１只球，其中只有一只是白球，故P｛X＝k｝＝P（A１…Ak－１A　—k）＝P（A　—k　A１A２…Ak－１）P（Ak－１A１A２…Ak－２）…P（A２A１）P（A１）＝１k＋１·k－１k·k－２k－１·…·２３·１２＝１k＋１·１k．若E（X）存在，则它应等于钞∞k＝１kP｛X＝k｝．但钞∞k＝１kP｛X＝k｝＝钞∞k＝１k·１k＋１·１k＝钞∞k＝１１k＋１＝∞，故X的数学期望不存在．5．设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以min计）是一个随机变量，其概率密度为f（x）＝１１５００２x，０≤x≤１５００，－１１５００２（x－３０００），１５００＜x≤３０００，０，其他．19第四章　随机变量的数字特征求E（X）．解按连续型随机变量的数学期望的定义，有E（X）＝∫∞－∞xf（x）dx＝∫０－∞xf（x）dx＋∫１５０００xf（x）dx　＋∫３０００１５００xf（x）dx＋∫∞３０００xf（x）dx＝∫０－∞x·０dx＋∫１５０００x·x１５００２dx　＋∫３０００１５００x·－（x－３０００）１５００２dx＋∫∞３０００x·０dx＝１１５００２x３３１５０００＋１１５００２３０００×x２２－x３３３０００１５００＝１５００（min）．6．（１）设随机变量X的分布律为X－２０２pk０畅４０畅３０畅３求E（X），E（X２），E（３X２＋５）．（２）设X～π（λ），求E１X＋１．解（１）X的分布律为X－２０２pk０畅４０畅３０畅３E（X）＝（－２）×０畅４＋０×０畅３＋２×０畅３＝－０畅２．由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E（X２）＝（－２）２×０畅４＋０２×０畅３＋２２×０畅３＝２畅８，E（３X２＋５）＝〔３（－２）２＋５〕×０畅４＋〔３（０）２＋５〕×０畅３＋〔３（２２）＋５〕×０畅３＝１３畅４．如利用数学期望的性质，则有E（３X２＋５）＝３E（X２）＋５＝３×２畅８＋５＝１３畅４．（２）因X～π（λ），故P｛X＝k｝＝λke－λk！

．29概率论与数理统计习题全解指南E１X＋１＝钞∞k＝０１k＋１P｛X＝k｝＝钞∞k＝０１k＋１λke－λk！

＝钞∞k＝０λke－λ（k＋１）！

＝e－λλ钞∞k＝０λk＋１（k＋１）！

＝e－λλ钞∞j＝１λjj！

＝e－λλ钞∞j＝０λjj！

－１＝e－λλ（eλ－１）＝１λ（１－e－λ）．7．（１）设随机变量X的概率密度为f（x）＝e－x，x＞０，０，x≤０．求（i）Y＝２X；（ii）Y＝e－２X的数学期望．（２）设随机变量X１，X２，…，Xn相互独立，且都服从（０，１）上的均匀分布（i）求U＝max｛X１，X２，…，Xn｝的数学期望，（ii）求V＝min｛X１，X２，…，Xn｝的数学期望．解（１）由关于随机变量函数的数学期望的定理，知（i）E（Y）＝E（２X）＝∫∞－∞２xf（x）dx＝２∫０－∞x·０dx＋∫∞０xe－xdx＝２－xe－x∞０＋∫∞０e－xdx＝－２e－x∞０＝２；（ii）E（Y）＝E（e－２X）＝∫∞０e－２x·e－xdx＝∫∞０e－３xdx＝－１３e－３x∞０＝１３．（２）因Xi～U（０，１），i＝１，２，…，n，Xi的分布函数为F（x）＝０，　x＜０，x，　０≤x＜１，１，　x≥１．因X１，X２，…，Xn相互独立，故U＝max｛X１，X２，…，Xn｝的分布函数为FU（u）＝０，　u＜０，un，　０≤u＜１，１，　u≥１．U的概率密度为fU（u）＝nun－１，　　０＜u＜１，０，　　　其他．E（U）＝∫∞－∞ufU（u）du＝∫１０u·nun－１du＝n∫１０undu＝nn＋１．39第四章　随机变量的数字特征V＝min｛X１，X２，…，Xn｝的分布函数为FV（v）＝０，　　　　　　　v＜０，１－（１－v）n，　０≤v＜１，１，　　　　v≥１．V的概率密度为fV（v）＝n（１－v）n－１，　　０＜v＜１，０，　　　　其他．E（V）＝∫∞－∞vfV（v）dv＝∫１０vn（１－v）n－１dv＝－v（１－v）n１０＋∫１０（１－v）ndv＝－（１－v）n＋１n＋１１０＝１n＋１．8．设随机变量（X，Y）的分布律为X　　　　Y　　　　　１２３－１０畅２０畅１０畅０００畅１０畅００畅３１０畅１０畅１０畅１（１）求E（X），E（Y）．（２）设Z＝YX，求E（Z）．（３）设Z＝（X－Y）２，求E（Z）．解由关于随机变量函数的数学期望E〔g（X，Y）〕的定理，得（１）E（X）＝钞３i＝１钞３j＝１xipij＝１·（０畅２＋０畅１＋０畅１）＋２·（０畅１＋０＋０畅１）＋３·（０＋０畅３＋０畅１）＝２．　　　E（Y）＝钞３j＝１钞３i＝１yjpij＝（－１）·（０畅２＋０畅１＋０）＋０·（０畅１＋０＋０畅３）＋１·（０畅１＋０畅１＋０畅１）＝０．（２）E（Z）＝EYX＝－１１P｛X＝１，Y＝－１｝＋－１２P｛X＝２，Y＝－１｝　＋－１３P｛X＝３，Y＝－１｝49概率论与数理统计习题全解指南　＋０１P｛X＝１，Y＝０｝＋０２P｛X＝２，Y＝０｝　＋０３P｛X＝３，Y＝０｝＋１１P｛X＝１，Y＝１｝　＋１２P｛X＝２，Y＝１｝＋１３P｛X＝３，Y＝１｝＝－０畅２－０畅０５＋０畅１＋０畅０５＋０畅１３＝－１１５．（３）E（Z）＝E〔（X－Y）２〕＝钞３j＝１钞３i＝１（xi－yj）２pij＝２２×０畅２＋３２×０畅１＋４２×０＋１２×０畅１＋２２×０　＋３２×０畅３＋０２×０畅１＋１２×０畅１＋２２×０畅１＝５．注：

（i）可先求出边缘分布律，然后求出E（X），E（Y）．（ii）在（３）中可先算出Z＝（X－Y）２的分布律Z０１４９pk０畅１０畅２０畅３０畅４然后求得E（Z）＝钞４k＝１zkpk＝５．题４畅９图9．（１）设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）＝１２y２，０≤y≤x≤１，０，其他．求E（X），E（Y），E（XY），E（X２＋Y２）．（２）设随机变量X，Y的联合密度为f（x，y）＝１ye－（y＋x／y），　x＞０，y＞０，０，　　　　　　其他，求E（X），E（Y），E（XY）．解（１）各数学期望均可按照E〔g（X，Y）〕＝∫∞－∞∫∞－∞g（x，y）f（x，y）dxdy计算．因f（x，y）仅在有限区域G：

｛（x，y）　０≤y≤x≤１｝内不为零，故各数学期望均化为G（如题４畅９图）上相应积分的计算．E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞xf（x，y）dxdy＝∫∫Gx·１２y２dxdy＝∫１０dx∫x０１２xy２dy＝４５．59第四章　随机变量的数字特征E（Y）＝∫∫Gy·１２y２dxdy＝∫１０dx∫x０１２y３dy＝３５．E（XY）＝∫∫Gxy·１２y２dxdy＝∫１０dx∫x０１２xy３dy＝１２．E（X２＋Y２）＝∫∫G（x２＋y２）１２y２dxdy＝∫１０dx∫x０１２（x２y２＋y４）dy＝１６１５．（２）E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞xf（x，y）dxdy＝∫∞０∫∞０xye－（y＋xy）dxdy＝－∫∞０e－y∫∞０xe－x／yd（－xy）dy＝－∫∞０e－yxe－x／y∞０－∫∞０e－x／ydxdy＝∫∞０e－yydy＝１．E（Y）＝∫∞０∫∞０e－（y＋x／y）dxdy＝∫∞０e－y∫∞０e－x／ydxdy＝∫∞０e－y〔－ye－x／y〕∞０dy＝∫∞０e－yydy＝１．E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞xyf（x，y）dxdy＝∫∞０∫∞０xe－（y＋x／y）dxdy＝∫∞０e－y〔∫∞０xe－x／ydx〕dy．而　　　∫∞０xe－x／ydx＝－y∫∞０xe－x／yd（－xy）＝y２，故　　　　E（XY）＝∫∞０y２e－ydy＝Γ（３）①＝２．10．（１）设随机变量X～N（０，１），Y～N（０，１）且X，Y相互独立．求EX２X２＋Y２．（２）一飞机进行空投物资作业，设目标点为原点O（０，０），物资着陆点为（X，Y），X，Y相互独立，且设X～N（０，σ２），Y～N（０，σ２），求原点到点（X，Y）间距离的数学期望．解（１）由对称性知EX２X２＋Y２＝EY２X２＋Y２．69概率论与数理统计习题全解指南①Γ函数：

Γ（α）＝∫∞０xα－１e－xdx，α＞０，它具有性质：

Γ（α＋１）＝αΓ（α），α＞０，Γ（１）＝１，Γ（１２）＝π，Γ（n＋１）＝nΓ（n）＝n！

（n为正整数）．而EX２X２＋Y２＋EY２X２＋Y２＝E（１）＝１，故EX２X２＋Y２＝１２．（２）记原点到点（X，Y）的距离为R，R＝X２＋Y２，由题设（X，Y）的密度函数为f（x，y）＝１２πσe－x２／（２σ２）·１２πσe－y２／（２σ２）＝１２πσ２e－x２＋y２２σ２，　－∞＜x＜∞，　－∞＜y＜∞．E（R）＝E（X２＋Y２）＝∫∞－∞∫∞－∞x２＋y２１２πσ２e－（x２＋y２）／（２σ２）dxdy．采用极坐标E（R）＝∫２π０dθ∫∞０r２πσ２e－r２／（２σ２）rdr＝２π∫∞０１２πσ２r２e－r２／（２σ２）dr＝１σ２∫∞０r２e－r２／（２σ２）dr＝－∫∞０rd（e－r２／（２σ２））＝－re－r２／（２σ２）∞０＋∫∞０e－r２／（２σ２）dr＝１２∫∞－∞e－r２／（２σ２）dr＝１２１２πσ∫∞－∞e－r２／（２σ２）dr２πσ＝１２×１×２πσ＝σπ２．11．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）＝１４e－x／４，x＞０，０，　x≤０．工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利１００元，调换一台设备厂方需花费３００元．试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．解一台设备在一年内调换的概率为p＝P｛X＜１｝＝∫１０１４e－x／４dx＝－e－x／４１０＝１－e－１／４．以Y记工厂售出一台设备的净赢利值，则Y具有分布律Y１００１００－３００pke－１／４１－e－１／４79第四章　随机变量的数字特征故有E（Y）＝１００×e－１／４－２００（１－e－１／４）＝３００e－１／４－２００＝３３畅６４（元）．12．某车间生产的圆盘直径在区间（a，b）服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望．解设圆盘直径为X，按题设X具有概率密度fX（x）＝１b－a，a＜x＜b，０，其他，故圆盘面积A＝１４πX２的数学期望为E１４πX２＝∫ba１４πx２１b－adx＝π１２（b－a）x３ba＝π１２（b２＋ab＋a２）．13．设电压（以V计）X～N（０，９）．将电压施加于一检波器，其输出电压为Y＝５X２，求输出电压Y的均值．解由X～N（０，９），即有E（X）＝０，D（X）＝９．E（Y）＝E（５X２）＝５E（X２）＝５｛D（X）＋〔E（X）〕２｝＝５（９＋０）＝４５（V）．另法　X的概率密度为fX（x）＝１３２πe－x２／１８，　－∞＜x＜∞．E（Y）＝E（５X２）＝５E（X２）＝５∫∞－∞x２３２πe－x２／１８dx＝５×９３２π－xe－x２／１８∞－∞＋∫∞－∞e－x２