概率论与数理统计第四版第四章.docx

1、概率论与数理统计第四版第四章第四章随机变量的数字特征1 （） 在下列句子中随机地取一个单词 ，以 X 表示取到的单词所包含的字母个数 ，写出 X 的分布律并求 E（ X） “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT” （） 在上述句子的 个字母中随机地取一个字母 ，以 Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数 ，写出 Y 的分布律并求 E（Y） （） 一人掷骰子 ，如得 点则掷第 次 ，此时得分为 第二次得到的点数 ；否则得分为他第一次掷得的点数 ，且不能再掷 ，求得分 X 的分布律及 E（ X） 解 （） 随机试验属等可能概型 所给句子共 个单词 ，其中含

2、个字母 ，含 个字母 ，含 个字母的各有一个单词 ，另有 个单词含 个字母 ，所以 X 的分布律为X p k数学期望E（ X） （） 随机试验属等可能概型 ，Y 的可能值也是 ， ， ， 样本空间 S 由各个字母组成 ，共有 个样本点 ，其中样本点属于Y 的有 个 ，属于 Y 的有 个 ，属于 Y 的有 个 ，属于Y 的有 个 ，所以 Y 的分布律为Y p k数学期望 E（Y） （） 分布律为X p k E（ X） 2 某产品的次品率为畅 ，检验员每天检验次 每次随机地取件产品进行检验 ，如发现其中的次品数多于 ，就去调整设备 以 X 表示一天中调整设备的次数 ，试求 E（ X） （设诸产品是

3、否为次品是相互独立的 ）解 先求检验一次 ，决定需要调整设备的概率 设抽检出次品件数为 Y ，则Y b（ ，畅） 记需调整设备一次的概率为 p ，则p PY PY PY 畅 畅 畅 畅 又因各次检验结果相互独立 ，故X b（ ，畅 ） X 的分布律为X p k （ p）p（ p） p （ p） p （ p）p于是E（ X） p（ p） p（ p） p（ p） p p 畅 畅 以后将会知道若 X b（n，p） ，则 E（ X） np 3 有 只球 ， 个盒子 ，盒子的编号为 ， ， ， 将球逐个独立地 ，随机地放入 个盒子中去 以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如 X 表示第 号

4、，第 号盒子是空的 ，第 个盒子至少有一只球） ，试求 E（ X） 解法（i） 由于每只球都有 种放法 ，由乘法原理共有 种放法 其中 只球都放在 号盒中的放置法仅有 种 ，从而P X 又 X 表示事件“ ， 号盒子都是空的 ，而 号盒子不空” 因 ， 号盒子都空 ，球只能放置在 ， 号两个盒子中 ，共有 种放置法 ，但其中有一种是 只球都放在 号盒子中 ，即 号盒子是空的 ，这不符合 X 的要求需除去 ，故有P X 8 8 概率论与数理统计习题全解指南 同理可得 P X ，P X 因此E（ X） 钞k kP X k 注 ：P X 也可由 （ P X P X P X ） 求得 解法（ii） 以

5、 A i （i ， ， ，）记事件“第 i个盒子是空盒” X 表示事件“第一个盒子中至少有一只球” ，因此 X A ，故P X P（ A ） P（ A ） （因第一个盒子为空盒 ， 只球的每一只都只有 个盒子可以放 ，故 P（ A ） （） X 表示事件“第一个盒子为空盒且第二个盒子中至少有一只球” ，因此 X A A 故P X P（ A A ） P（ A A ） P（ A ） （ P（ A A ） P（ A ） （因在第一个盒子是空盒的条件下 ，第二个盒子也是空盒 ，则 只球都只有 个盒子可以放 ，故 P（ A A ） ）类似地 ，P X P（ A A A ） P（ A A A ） P（ A

6、 A ） P（ A ） ，P X ，因此 ，E（ X） 钞k kP X k 解法（iii） 将球编号 以 X ，X ，X 分别记 号 ， 号 ， 号球所落入的盒子的号码数 则 X ，X ，X 都是随机变量 ，记 X min X ，X ，X ，按题意 ，本题需要求的是9 8 第四章 随机变量的数字特征 E（ X） Emin X ，X ，X 因 X ，X ，X 具有相同的分布律X j p k因而 X ，X ，X 具有相同的分布函数F（ z） ， z ， z ， z ， z ， ， z 于是 X min X ，X ，X 的分布函数为 ：F min （ z） F（ z） （ ） ， z ， ， z ，

7、 ， z ， ， z ， （ ） ， z X min X ，X ，X 的分布律为X p k得 E（ X） 4 （） 设随机变量 X 的分布律为 P X （ ）j jjj ，j ， ， ，说明 X 的数学期望不存在 （） 一盒中装有一只黑球 ，一只白球 ，作摸球游戏 ，规则如下 ：一次从盒中随机摸一只球 ，若摸到白球 ，则游戏结束 ；若摸到黑球放回再放入一只黑球 ，然后再0 9 概率论与数理统计习题全解指南 从盒中随机地摸一只球 试说明要游戏结束的摸球次数 X 的数学期望不存在 解 （） 因级数钞j （ ）j jjP X （ ）j jj钞j （ ）j jjj 钞j （ ）j j不绝对收敛 ，按定

8、义 X 的数学期望不存在 （） 以 A k 记事件“第 k 次摸球摸到黑球” ，以 A k 记事件“第 k 次摸球摸到白球” ，以 C k 表示事件“游戏在第 k 次摸球时结束” ，k ， ， 按题意C k A A A k Ak ，P（C k ） P（ Ak| A A A k ）P（A k | A A A k ） P（A | A ） P（A ） P X P（ A ） ，P X P（ A A ） P（ A| A ） P（ A ） ，P X P（ A A A ） P（ A| A A ） P（ A | A ） P（ A ），X k 时 ，盒中共 k 只球 ，其中只有一只是白球 ，故P X k P（

9、A A k Ak ） P（ Ak A A A k ）P（ A k A A A k ） P（ A A ）P（ A ）k k kk k k k若 E（ X） 存在 ，则它应等于钞k kP X k 但钞k kP X k 钞k kk k钞k k ，故 X 的数学期望不存在 5 设在某一规定的时间间隔里 ，某电气设备用于最大负荷的时间 X（以 min计） 是一个随机变量 ，其概率密度为f（ x） x ， x ， （ x ） ， x ， ， 其他 1 9 第四章 随机变量的数字特征 求 E（ X） 解 按连续型随机变量的数学期望的定义 ，有E（ X） xf（ x）dx xf（ x）dx xf（ x）dx

10、xf（ x）dx xf（ x）dx x dx x x dx x （ x ） dx x d x x xx （min） 6 （） 设随机变量 X 的分布律为X p k 畅 畅 畅求 E（ X） ，E（ X） ，E（ X ） （） 设 X （ ） ，求 EX 解 （） X 的分布律为X p k 畅 畅 畅E（ X） （ ） 畅 畅 畅 畅 由关于随机变量函数的数学期望的定理 ，知E（ X） （ ） 畅 畅 畅 畅 ，E（ X ） （ ） 畅 （） 畅 （ ） 畅 畅 如利用数学期望的性质 ，则有E（ X ） E（ X） 畅 畅 （） 因 X （ ） ，故 P X k k e k ！2 9 概率论与数

11、理统计习题全解指南 EX 钞k k P X k 钞k k k e k ！钞k k e （k ） ！e 钞k k （k ） ！e 钞j jj ！e 钞j jj ！ e （e ） （ e ） 7 （） 设随机变量 X 的概率密度为f（ x） e x， x ， ， x 求（i）Y X ；（ii）Y e X的数学期望 （） 设随机变量 X ，X ， ，X n 相互独立 ，且都服从（ ，） 上的均匀分布（i） 求U max X ，X ， ，X n 的数学期望 ，（ii） 求 V min X ，X ， ，X n 的数学期望 解 （） 由关于随机变量函数的数学期望的定理 ，知（i） E（Y） E（ X） x

12、f（ x）d x x dx xe xd x xe x e xdx e x ；（ii） E（Y） E（e X ） e x e xdx e x dx e x（） 因 X i U（ ，） ，i ， ， ，n，X i 的分布函数为F（ x） ， x ，x ， x ， ， x 因 X ，X ， ，X n 相互独立 ，故 U max X ，X ， ，X n 的分布函数为F U （u） ， u ，un， u ， ， u U 的概率密度为f U （u） nun ， u ， ， 其他 E（U） ufU （u）du u nun du nun du nn 3 9 第四章 随机变量的数字特征 V min X ，X ，

13、 ，X n 的分布函数为F V （ v） ， v ， （ v）n， v ， ， v V 的概率密度为f V （ v） n（ v）n ， v ， ， 其他 E（V） vfV （ v）dv vn（ v）n dv v（ v）n （ v）n dv （ v）n n n 8 设随机变量（ X ，Y） 的分布律为X Y 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅（） 求 E（ X） ，E（Y） （） 设 Z YX，求 E（Z） （） 设Z （ X Y），求 E（Z） 解 由关于随机变量函数的数学期望 Eg（X，Y） 的定理 ，得（） E（ X） 钞i 钞j x i pij （畅 畅 畅） （畅 畅） （ 畅 畅）

14、E（Y） 钞j 钞i y j pij （ ）（畅 畅 ） （畅 畅） （畅 畅 畅） （） E（Z） EYX P X ，Y P X ，Y P X ，Y 4 9 概率论与数理统计习题全解指南 P X ，Y P X ，Y P X ，Y P X ，Y P X ，Y P X ，Y 畅 畅 畅 畅 畅 （） E（Z） E（ X Y） 钞j 钞i （ x i y j ）pij 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 注 ：（i） 可先求出边缘分布律 ，然后求出 E（ X） ，E（Y） （ii） 在（） 中可先算出 Z （ X Y）的分布律Z p k 畅 畅 畅 畅然后求得 E（Z） 钞k z k p k 题 畅 图9

15、 （） 设随机变量（ X ，Y） 的概率密度为f（ x ，y） y， y x ， ， 其他 求 E（ X） ，E（Y） ，E（ XY） ，E（ X Y） （） 设随机变量 X ，Y 的联合密度为f（ x ，y） ye （ y x y）， x ，y ， ， 其他 ，求 E（ X） ，E（Y） ，E（ XY） 解 （） 各数学期望均可按照 Eg（ X ，Y） g（x ，y） f（x ，y）dxdy 计算 因 f（x ，y） 仅在有限区域 G：（x ，y） y x 内不为零 ，故各数学期望均化为 G（如题 畅 图） 上相应积分的计算 E（ X） xf（ x ，y）d xdy Gx yd xdy dx

16、 x xydy 5 9 第四章 随机变量的数字特征 E（Y） Gy yd xdy dx xydy E（ XY） Gxy ydxdy dx x xydy E（ X Y） G（ x y）ydxdy dx x（ xy y）dy （） E（ X） xf（ x ，y）d xdy xye （ yxy ）dxdy e yxe x y d（ xy） dy e yxe x y e x y dx dy e yydy E（Y） e （ y x y）dxdy e ye x y dxdy e y ye x y dy e yydy E（ XY） xy f（ x ，y）dxdy xe （ y x y）d xdy e y x

17、e x y dxdy 而 xe x y d x yxe x y d（ xy） y，故 E（ XY） ye ydy （） 10 （） 设随机变量 X N（ ，） ，Y N（ ，） 且 X ，Y 相互独立 求EXX Y （） 一飞机进行空投物资作业 ，设目标点为原点 O（ ，） ，物资着陆点为（ X ，Y） ，X ，Y 相互独立 ，且设 X N（ ， ） ，Y N（ ， ） ，求原点到点（ X ，Y） 间距离的数学期望 解 （） 由对称性知EXX Y EYX Y 6 9 概率论与数理统计习题全解指南 函数 ：（ ） x e x d x ， ，它具有性质 ：（ ） （ ） ， ，（） ，（） ，（n

18、 ） n（n） n ！（n 为正整数） 而 EXX Y EYX Y E（） ，故 EXX Y （） 记原点到点（ X ，Y） 的距离为 R ，R X Y，由题设（ X ，Y） 的密度函数为f（ x ，y） e x （ ） e y （ ） ex y ， x ， y E（R） E（ X Y） x y e （ x y ）（ ）d xdy 采用极坐标E（R） d r e r （ ）rdr re r （ ）dr re r （ ）dr rd（e r （ ） re r （ ） e r （ ）dr e r （ ）dr e r （ ）dr 11 一工厂生产的某种设备的寿命 X（以年计） 服从指数分布 ，概率密度

19、为f（ x） e x， x ， ， x 工厂规定 ，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换 若工厂售出一台设备赢利 元 ，调换一台设备厂方需花费 元 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望 解 一台设备在一年内调换的概率为p P X e xdx e x e 以 Y 记工厂售出一台设备的净赢利值 ，则 Y 具有分布律Y p k e e 7 9 第四章 随机变量的数字特征 故有E（Y） e （ e ） e 畅（元） 12 某车间生产的圆盘直径在区间（a，b） 服从均匀分布 ，试求圆盘面积的数学期望 解 设圆盘直径为 X ，按题设 X 具有概率密度f X （ x） b a， a x b， ， 其他 ，故圆盘面积 A X的数学期望为E X ba x b a dx （b a）xba （b ab a） 13 设电压（以 V 计） X N（ ，） 将电压施加于一检波器 ，其输出电压为Y X，求输出电压 Y 的均值 解 由 X N（ ，） ，即有 E（ X） ，D（ X） E（Y） E（ X） E（ X） D（ X） E（ X） （ ） （V） 另法 X 的概率密度为f X （ x） e x ， x E（Y） E（ X） E（ X） x e x dx xe x e x