初升高数学衔接教材.docx
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初升高数学衔接教材
初升高数学衔接讲义
前言
【数学科是什么？
】
数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
【初中数学与高中数学学习方法上有什么变化？
】初中：
学习⇒模仿；
高中：
学习⇒模仿⇒自主探究。
⑴知识量的差异。
初中数学知识少、浅、难度容易、知识面窄。
高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善。
量的剧增，要求有较高的自学能力。
初中有时间进行反复多次的练习，而高中，课程都在加深，一天的时间又不会加长，集中学习的时间相对比初中少，需要学生自主学习。
⑵模彷与创新的区别。
初中学生多是模彷做题，模彷老师思维推理较多，而高中，随着知识的难度加大和知识面的广泛，学生不能全部模彷，需要整合创新。
⑶学生自学能力的差异。
高中的知识面广，知识要全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学生失去一类型习题的解法。
另外，科学在不断的发展，考试在不断的改革，高考也随着全面的改革不断的深入，数学题型的开发在不断的多样化，近年来提出了应用型题、探索型题和开放型题，只有靠学生的自学去深刻理解和创新才能适应现代科学的发展。
⑷思维习惯上的差异。
思维习惯上的差异。
初中知识范围小，层次低，知识面窄，思维受局限，高中知识的多元化和广泛性，要求学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题。
如从二维空间到三维空间的思想转化，
个别学生难理解。
⑸定量与变量的差异。
初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般地，答案是常数和定量。
学生在分析问题
时，大多是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，只能片面地、局限地解决问题，在
高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍性和特殊性。
另外，在高中学习中我们还会通过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题所用的数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论、化归思想）
【如何学好高中数学？
】
1.态度上：
要有毅力，切合实际。
2.方法上：
锻炼好身体；学会自主学习。
3.措施上：
⑴做好预习：
⑵上课要在全神贯注认真听讲的同时，做好笔记：
全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。
耳到：
就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，
看是否对自己有所启发。
眼到：
就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。
心到：
就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。
口到：
就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。
手到：
就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。
⑶不留夹生饭：
老师最喜欢会问问题的学生，并且态度要真诚，方法要恰当。
⑷按时完成作业，并适当多做一些典型题目：
⑸做好错题本：
⑹善于复习总结：
目录
前言
1
第一节
数与式的相关知识与运算
4
§1.1.1
数与数的运算
4
§1.1.2
集合的定义与数集
11
§1.2分式、比与比例15
§1.3绝对值与根式21
第二节乘法公式与因式分解28
§2.1乘法公式28
§2.2.1公式法与提公因式法32
§2.2.2十字相乘法与分组分解法37
第三节一元二次方程42
§3.1解一元二次方程42
§3.2.1一元二次方程的根与系数的关系
（1）46
§3.2.2一元二次方程的根与系数的关系
（2）49
第四节一元二次函数53
§4.1一元二次函数的图像与解析式53
§4.2二次函数的最值58
第五节不等式的解法63
§5.1一元二次不等式的解法63
§5.2简单的分式不等式和一元高次不等式的解法70
§5.3一元二次方程的根的分布74
第一节数与式的相关知识与运算
【学习目标】
§1.1数集及其运算
§1.1.1数与数的运算
1.能说出数的发展分类关系，并会用字母表示数集；
2．掌握数的运算定律，会进行数的混合运算；
3.掌握一些简单的速算方法；
4.理解集合的定义与表示，会表示简单的集合。
【知识梳理】一、数的知识
1.数的发展过程：
自然数⇒整数⎫⎫⎫
分数⎬⇒有理数⎪⇒实数⎪
⎭⎬⎪⇒复数
⎪⎬
无理数⎭⎪
⎭
虚数⎪
自然数：
。
正整数：
。
整数：
。
偶数：
。
奇数：
。
分数：
。
有理数：
。
无理数：
。
虚数：
。
⎨
⎧定义：
相反数⎪代数意义：
⎪
⎩几何意义：
倒数：
。
⎧代数意义
⎨几
绝对值⎪
⎪
何意义
⎩非负性
数轴：
。
素数（质数）：
。
合数（合成数）：
。
最大公约数：
自然数a,b,c,的最大公约数常常记为（a,b,c,）最小公倍数：
自然数a,b,c,的最大公约数常常记为[a,b,c,]2.罗马数系、阿拉伯数系、中文数系：
⑴罗马数系：
罗马数字有下面七个基本符号：
I
（1），V（5），X（10），L（50），C（100），D（500），M（1000）
罗马数字表示规则:
①.重复相加如：
"III"表示"3"；"XXX"表示"30"
②.右加左减如"VI"表示"6"，“XC"表示“90"
③.上加横线，这个数就扩大1000倍如：
“XV"表示"15,000"，“CLXV"表示"165,000"
罗马数系的缺点：
①.没有O这个数字；
②.与进位制无关；
③.书写繁难。
⑵.阿拉伯数系
把1、2、3、4……9、0这10个数字统称为“阿拉伯数字”，仅此10个。
它们最早产生于古代的印度。
大约公元750年一位印度天文学家拜访了巴格达王宫，把印度制作的天文表献给了当时国王，因为印度数字和计算方法简单又方便，所以很快由阿拉伯人所接受并且传播到欧洲各个国家，在漫长的传播过程中，印度创造的数字就被称为“阿拉伯数字”了。
目前阿拉伯数字成为了全球通用的数字体系。
⑶.中文数系
一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、穰、坸、涧、正、载。
阿拉伯数字传入中国大约在十三世纪，但迟迟未被采用，直到二十世纪初，人们在文化生活中才开始大量使用阿拉伯数字。
汉字大写数字：
壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟二、数的运算
中学阶段数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方、三角求值、指数运算、对数运算、幂的运算、以及由它们构成的混合运算。
1.运算顺序：
。
2.运算性质与运算定律：
⑴加法运算律:
。
⑵乘法运算律：
。
⑶减法运算律：
。
⑷除法运算律：
。
⑸乘方、开方、指数运算律：
。
①、同底数幂的乘法：
（字母表达式为）。
②、同底数幂的除法：
底数不变，指数相减。
（字母表达式为）
③、幂的乘方：
底数不变，指数相乘。
（字母表达式为）
④、积的乘方：
等于各因数分别乘方的积。
（字母表达式为）
⑤、商的乘方（分式乘方）：
分子分母分别乘方，指数不变。
（字母表达式为）
3.简便运算：
⑴加减运算
①聚“10”相加法：
例如：
19+23+31+77=
②基准数求和：
例如：
108+109+95+104+91+92
③凑整法：
⑵乘除运算：
①利用运算律简便运算：
②利用商不变的性质简便运算：
（3）、要背会的数的平方、立方：
112=；122=；132=；142=；152=；162=；
172=；182=；192=；
23=；33=；43=；53=；63=；73=；83=；
93=；
24=；25=；26=；27=；28=；29=；210=；
（4）、特殊数的简便运算：
①某数乘以11的巧算：
两头拉开，相邻两数依次相加放中间。
②十位数字相同，个位数字的和为10的两位数相乘的巧算：
③个位数字相同，十位数字的和为10的两位数相乘的巧算：
④高斯求和法（倒序相加法）：
⑤四则运算：
【典型例题】
例题1.一个数等于它的倒数的4倍，这个数是（）
例题2.计算下列各式
⑴32+59+68
⑵284+136+316+264
⑶6.38+0.73+5.98+23.62+4.27
⑷62+59+60+57+58+61+63+64
⑸1278-324-476
⑹136+97+199+3998
例题3.计算下列各式：
⑴125⨯7⨯4⨯8⨯25
⑵72⨯1.25
⑶168⨯87+13⨯168
23000
⑷
25
⑸4500÷125÷15
⑹132⨯500÷250
⎛111⎫⎛1111⎫⎛
1111⎫⎛111⎫
⑺ç1+++
⎪⨯ç
+++
⎪-ç1++++
⎪⨯ç
++⎪
⎝234⎭⎝2345⎭⎝
2345⎭⎝234⎭
例题4.计算下列各式的值：
⑴72⨯11
⑵49⨯11
⑶254⨯11
⑷9876⨯11
练习.计算下列各式的值
⑴27⨯11
⑵56⨯11
⑶357⨯11
⑷6789⨯11
例题5.计算下列各式的值
⑴22⨯28
⑵13⨯17
⑶25⨯25
⑷79⨯71
例题6.计算下列各式的值
⑴72⨯32
⑵45⨯65
⑶24⨯84
⑷66⨯46
练习：
计算下列各式的值
⑴73⨯33
⑵47⨯67
⑶25⨯85
⑷61⨯41
例题7.求下列各式的值
⑴1+2+3+4++20
⑵2+4+6+8++100
【反馈练习】
2x+3
1.已知函数y=（x为整数），则y的最小值为。
x
2.已知4a-1与3-a互为相反数，则实数a的值为。
3.计算下列各式的值。
⑴164-59+36
⑵⎛1-1+1-1-1⎫⨯72
⎝⎭
ç23649⎪
⑶162-259+360-357+458-61+63-262
⑷12.5⨯10.8
⑸293⨯8.584-293+2.416⨯293
⑹37500÷4÷25
⑺125⨯8÷5÷4
⑻299÷299299
300
⑼[－（＋）]×⑽
9998
9
+998
9
+98+1
93
⑾（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.56）-（1+0.23+0.34+0.56）×（0.23+0.34）
⑿334⨯11-54⨯56+35⨯75
⒀999×222+333×334
4.计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（）
A、﹣299B、﹣2C、299D、2
5.当m是正整数时，下列等式成立的有（）
（1）a2m=（am）2；
（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣am）2；（4）a2m=（﹣a2）m．
A、4个B、3个C、2个D、1个6.下列运算正确的是（）
A、2x+3y=5xyB、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3
C、4x3y2⋅（-1xy2）=-2x4y4
2
D、（x﹣y）3=x3﹣y3
7.计算：
x2•x3=
；（﹣a2）3+（﹣a3）2=．
8.若2m=5，2n=6，则2m+2n=．
9.下列等式中正确的个数是（）
①a5+a5=a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a=a10；③﹣a4•（﹣a）5=a20；④25+25=26．A、0个B、1个C、2个D、3个
10.已知9n+1﹣32n=72，求n的值．
11.若（anbm）3=a9b15，求2m+n的值．
§1.1.2集合的定义与数集
【集合的定义】
1.集合的定义：
一般地，我们把研究对象统称为（element）,把一些元素组成的总体叫做（set）.
2.集合元素的特征
探究：
“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？
对于一个给定的集合，集合中的元素是，是，是，即集合元素三特征.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合.试试：
分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：
1不等式x-3>0的解；②3的倍数；
③方程x2-2x+1=0的解；④a，b，c，x，y，z；
⑤最小的整数；⑥周长为10cm的三角形；
⑦中国古代四大发明；⑧全班每个学生的年龄；
⑨地球上的四大洋；⑩地球的小河流.
3.集合的分类
按照集合中元素个数的多少，我们把集合分为和。
4.集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）集合A，记作：
；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）集合A，记作：
.
试试：
设B表示“5以内的自然数”组成的集合，
则5B，0.5B，0B，－1B.
5.常见数集的表示
问题：
常见的数集有哪些，又如何表示呢？
非负整数集（自然数集）：
全体非负整数组成的集合，记作；正整数集：
所有正整数的集合，记作；整数集：
全体整数的集合，记作；有理数集：
全体有理数的集合，记作；实数集：
全体实数的集合，记作
试试：
填∈或∉：
0N，0R，3.7N，3.7Z，
-3Q，3-
2R.
6.数集的相等：
有且只有构成集合的所有元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
【集合的表示】集合的表示方法有列举法、描述法、图表法。
1.列举法：
把集合的元素出来，并用大括号“{}”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.
注意：
不必考虑顺序,用“，”隔开；a与{a}不同.试用列举法表示下列集合.
①小于4的自然数构成的集合；②小于20的质数。
2.描述法：
用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法，一般形式为，其中x代表，P是.
例如所有大于-2且不大于3的实数构成的集合表示为{x∈R-2也可以表示为{x-2例如所有大于-2且不大于3的整数构成的集合表示为{x∈Z
-2但是不可以表示为{x-2例如所有大于-2且不大于3的自然数构成的集合表示为{x∈N
-2但是不可以表示为{x-2试试用描述法表示下列集合：
⑴所有小于4的实数构成的集合；⑵所有小于4的自然数构成的集合。
3.图表法：
使用图像或者表格表示集合的方法。
【典型例题】
例题1.下列说法正确的是（）.
A．某村子的高个子组成一个集合B．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合
C．所有小正数组成一个集合D．1,0.5,1,3,6,
1这六个数能组成一个集合
2244
例题2.用列举法表示下列集合：
①15以内质数的集合；
2方程x（x2-1）=0的所有实数根组成的集合；
③一次函数y=x与y=2x-1的图象的交点组成的集合.
练习：
用列举法表示“一次函数y=x的图象与二次函数y=x2的图象的交点”组成的集合.
例题3．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x（x2-1）=0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
练习：
用适当的方法表示下列集合.
（1）方程x3+4x=0的所有实数根组成的集合；
（2）所有奇数组成的集合.
例题4．试选用列举法或描述法表示下列集合：
（1）抛物线y=x2-1上的所有点组成的集合；
⎨
（2）方程组⎧3x+2y=1
⎩2x+3y=4
解集.
探究练习：
以下三个集合有什么区别.
（1）{（x,y）|y=x2-1}；
（2）{y|y=x2-1}；
（3）{x|y=x2-1}.
【反馈练习】
1.设A={x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是（）.
A.6∈A
B.
0∈A
C.
3∉A
D.
3.5∉A
2.下列说法正确的是（）.
A.不等式2x-5<3的解集表示为{x<4}
B.所有偶数的集合表示为{x|x=2k}
C.全体自然数的集合可表示为{自然数}
D.方程x2-4=0实数根的集合表示为{（-2,2）}
3.一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是（）.
A.{1,-2}
B.{x=1,y=-2}
C.{（-2,1）}
⎧y=x-3
D.{（x,y）|⎨}
⎩y=-2x
4.给出下列关系：
①1=R；②2∉Q；③-3∉N
2+
；④-
3∈Q.其中正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5.直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为（）
A.{0,1}B.{（0,1）}C.
{-1,0}
2
D.{（-1,0）}
2
6.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：
深圳A；广州A.（填∈或∉）
7.“方程x2-3x=0的所有实数根”组成的集合用列举法表示为.
8.用列举法表示集合A={x∈Z|5≤x<10}为.
9.集合A＝{x|x=2n且n∈N}，
B={x|x2-6x+5=0}，用∈或∉填空：
4A，4B，5A，5B.
10.设集合A={（x,y）|x+y=6,x∈N,y∈N}
，试用列举法表示集合A.
11.若集合A={-1,3}，集合B={x|x2+ax+b=0}，且A=B，求实数a、b.
12.设x∈R，集合A={3,x,x2}.
（1）求元素x所应满足的条件；
（2）若-2∈A，求实数x.
13.以下两个集合有什么区别.
（1）{x∈N|
6
6-x
∈N}；
（2）{
6
6-x
∈N|x∈N}；（3）{x∈N+|
6
6-x
∈N}.
§1.2分式、比与比例
【学习目标】1．会利用分式的概念、性质、法则进行相关运算；
2．理解比的意义，会比例式与乘积式的互化，会利用比例的性质,运算化简求值。
【知识梳理】
一、分式及运算
1.分式的概念：
形如A（A、B是整式，且B中含有字母，）的式子叫做分式。
B
其中A叫分式的，B叫分式的。
注：
（1）分式的分母中必须含有。
（2）分式的分母的值不能为，否则分式无意义
①分式是否有意义：
有意义分母0，无意义分母_0。
（由此可以求出字母的取值范围）
②分式的值为零=02.有理式的分类
3.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。
分式的变号法则：
-a=--a=-a=a
-b+b
4.分式的约分与通分
-bb
（1）约分：
把一个分式的分子与分母的式约去，叫分式的约分。
（2）通分：
把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。
通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。
5.分式的运算
（）
bcb±c
（1）加减运算：
同分母加减法则:
±=a≠0
aaa
（）
bdbcdabc±da
异分母加减法则:
±=±=a≠0,c≠0;
acacacac
（2）乘除运算：
b∙d=bd,
acac
b÷c=b∙d=bd，文字表达为：
adacac
（3）分式的乘方：
。
（4）分式的混合运算：
。
6.繁分式：
当分式A的分子、分母中至少有一个是分式时，A就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：
BB
（1）利用除法法则；
（2）利用分式的基本性质．二、比与比例的相关定理及运算
1.4个非零实数a,b,c,d成比例，即a=c，其中a,d叫比例，b,c叫比例，
bd
d叫a,b,c的第四比例项，并且外项之积ad与内项之积bc。
当比例中的两个内项相等时，如
a=b，则b叫a和c的；即
bc
a=b⇒b2=acbc
ac
比例的基本性质：
=⇔ad=bc,（bd≠0），即比例的外项之积等于内项之积。
bd
2.更比定理：
比例的两个内项可以交换位置，两个外项也可以交换位置，即：
a=c⇒ad=bc⇒d=c⇒a=b⇒b=d⇒。
a=c
⇒
a±b
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