初升高数学衔接教材完整.docx
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初升高数学衔接教材完整
第一讲数与式
1、绝对值
（1）绝对值的代数意义：
正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
a,a0,
|a|0,a0,
a,a0.
（2）绝对值的几何意义：
一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
（3）两个数的差的绝对值的几何意义：
ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
2、绝对值不等式的解法
（1）含有绝对值的不等式
①f（x）a（a0）,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是af（x）a。
②f（x）a（a0）,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f（x）a或f（x）a。
③
22
f（x）g（x）f（x）g（x）。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：
①找到使多个绝对值等于零的点．
②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．
③将分段求得解集，再求它们的并集．
例1.求不等式3x54的解集
例2.求不等式2x15的解集
例3.求不等式x3x2的解集
例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．
1
例5.解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．
例6.已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a有解，求a的取值范围．
练习
解下列含有绝对值的不等式：
（1）x1x3＞4+x
（2）|x+1|<|x－2|
（3）|x－1|+|2x+1|<4
（4）3x27
（5）5x78
3、因式分解
乘法公式
（1）平方差公式
22
（ab）（ab）ab
（2）完全平方公式
222
（ab）a2abb
（3）立方和公式
2233
（ab）（aabb）ab
（4）立方差公式
2233
（ab）（aabb）ab
（5）三数和平方公式
2222
（abc）abc2（abbcac）
（6）两数和立方公式
33223
（ab）a3ab3abb
2
（7）两数差立方公式
33223
（ab）a3ab3abb
因式分解的主要方法有：
十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及
待定系数法．
1．十字相乘法
例1分解因式：
2
（1）x－3x＋2；
（2）
2
6x7x2
（3）
2（）2
xabxyaby；（4）xy1xy．
2．提取公因式法
例2.分解因式：
2
（2）x393x23x
（1）ab5a5b
3．公式法
例3.分解因式：
（1）a416
（2）
2
3x2yxy
2
4．分组分解法
2
例4.
（1）xxy3y3x
（2）
22
2xxyy4x5y6
5．关于x的二次三项式ax
2+bx+c（a≠0）的因式分解．
若关于x的方程
20（0）
axbxca的两个实数根是x1、x2，则二次三项式
2（0）
axbxca就可分
解为
a（xx）（xx）.
12
例5.把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）
221
xx；
（2）
2442
xxyy．
3
练习
（1）
256
xx
（2）
21
xaxa（3）
21118
xx
（4）
2
4m12m9（5）
2
57x6x（6）
22
12xxy6y
2qp
（7）62pq1123（8）
35a2b6ab2
a（9）
242
4xx
2
（10）x42x21（11）x2y2a2b22ax2by
（12）a24ab4b26a12b9（13）x2
－2x－1
（14）
31
a；（15）
42
4x13x9；
（16）
22222
bcabacbc；（17）
22
3x5xy2yx9y4
第二讲一元二次方程与二次函数的关系
1、一元二次方程
（1）根的判别式
2
对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有:
（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝
，2＝
24
bbac
2a
；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－
b
2a
；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
（2）根与系数的关系（韦达定理）
2
如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝
b
a
，x1·x2＝
c
a
．这一关系也被称为韦达
定理．
2、二次函数
2
yaxbxc的性质
1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b
2a
，顶点坐标为
2
b4acb
，。
2a4a
当x
b
2a
时，y随x的增大而减小；当
x
b
2a
时，y随x的增大而增大；当
x
b
2a
时，y有最小值
2
4acb
4a
。
4
2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为
x
b
2a
，顶点坐标为
2
b4acb
，。
当
2a4a
x
b
2a
时，y随
x的增大而增大；当
x
b
2a
时，y随x的增大而减小；当
x
b
2a
时，y有最大值
2
4acb
4a.
3、二次函数与一元二次方程：
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程
20
axbxc是二次函数
2
yaxbxc当函数值y0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数：
①当
240
bac时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0（x1x2），其中的x1，x2是一元二次方程
200
axbxca的两根。
这两点间的距离
ABxx
21
2
b4ac
a
.
②当0时，图象与x轴只有一个交点；
③当0时，图象与x轴没有交点.
1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；
2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0。
2
例1.若x1和x2分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根．
（1）求|x1－x2|的值；
（2）求
11
22
xx
12
3＋x3．
的值；（3）x
12
22
ymxxmmx
例2.函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）
Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个
2525
xymxmxmx
例3.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴
mxmxm
m必然相交于点，此时．
2（21）6
yxmxmx
例4.抛物线与轴交于两点（x，0）和（x2，0），若x1x2x1x249，要使抛物线
1
经过原点，应将它向右平移个单位．
xy2mx2（8m1）x8mxm
例5.关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是（）
1111
mm≥m0mmm0Ａ．Ｂ．且Ｃ．Ｄ．且
16161616
5
练习
3.一元二次方程ax1和x2．求：
2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x
xx
（1）|x1－x2|和12
2
33
；
（2）x1＋x2
．
2
y（k2）x7x（k5）x
4.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标x．
0
2
5.已知抛物线yaxbxc与y轴交于C点，与x轴交于A（x，0），B（x，0）（xx）两点，顶点M的
1212
22
（1）270
22
4x1x2xmxmx1x210纵坐标为，若，是方程的两根，且．
（1）求A，B两点坐标；
C
（2）求抛物线表达式及点坐标；
yax2cx
xxx
6.若二次函数，当取x、x（）时，函数值相等，则当取xx时，函数值为
121212
（）
acacccＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
11
22
yxbxcx
5、已知二次函数，关于的一元二次方程xbxc0的两个实根是1和5，
22
则这个二次函数的解析式为
第三讲一元二次不等式的解法
1、定义：
形如ax
2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））的不等式
做关于x的一元二次不等式。
2、一元二次不等式的一般形式：
ax
2+bx+c＞0（a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0）
3、一元二次不等式的解集：
2-4acΔ＞0Δ=0Δ＜0
Δ=b
y
yy
2+bx+c＞0y=ax
（a＞0）的图象
x
1
O
x
2
x
O
x
x1（x2）O
x
6
ax2+bx+c=0
2+bx+c=0
x1=
24
bbac
2a
（a＞0）的根
x2=
24
bbac
2a
x1=x2=-
b
2a
没有实数根
ax2+bx+c＞0
2+bx+c＞0
（a＞0）的解集
x＜x1或x＞x2
（x1＜x2）
x≠-
b
2a
全体实数
ax2+bx+c＜0
2+bx+c＜0
x1＜x＜x2
无解无解
（a＞0）的解集（x1＜x2）
4、解一元二次不等式的一般步骤：
（1）将原不等式化成一般形式ax
2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））；
（2）计算Δ=b
2-4ac；
（3）如果Δ≥0，求方程ax
2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0）没有实数根；
（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。
例1.解下列不等式：
（1）4x
2-4x＞15；
（2）-x2-2x+3＞0；（3）4x2-4x+1＜0
2
例2.自变量x在什么范围取值时，函数y=-3x+12x-12的值等于0？
大于0？
小于0？
7
例3.若关于x的方程x
2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
练习
7.解下列不等式：
（1）4x
2-4x＜15；
（2）-x2-2x+3＜0；（3）4x2-4x+1＞0
22
（3）4x-20x＜25；（4）-3x+5x-4＞0；（5）x（1-x）＞x（2x-3）+10
8
8.m是什么实数时，关于x的方程mx2-（1-m）x+m=0没有实数根？
9.已知函数y=
1
2
2－3x－
x
3
4
，求使函数值大于0的x的取值范围。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从
分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答.
1.二次项系数含参数a（按a的符号分类）
例1.解关于x的不等式：
2
（2）10.
axax
9
例2.解关于x的不等式：
2560（0）
axaxaa
10.按判别式的符号分类
例3.解关于x的不等式：
240.
xax
例4.解关于x的不等式：
22
（m1）x4x10.（m为任意实数）
10
11.按方程
20
axbxc的根x1,x2的大小分类。
例5.解关于x的不等式：
21
x（a）x10（a0）
a
例6.解关于x的不等式：
25620（0）
xaxaa
练习
2axa
2.解关于x的不等式：
x
（2）0.
2ax
3.解关于x的不等式：
ax
（1）10.
2ax
4.解关于x的不等式：
10.
5.ax
2xax
2
6.解关于x的不等式：
（1）330
a
第四讲一元高次不等式及分式不等式的解法
1.一元高次不等式的解法
1.可解的一元高次不等式的标准形式
11
（xx）（xx）（xxn）0（0）
12
（1）左边是关于x的一次因式的积；
（2）右边是0；
（3）各因式最高次项系数为正。
12.一元高次不等式的解法
穿根法：
（1）将高次不等式变形为标准形式；
（2）求根
xxx，画数轴，标出根；
1,2,,n
（3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。
（4）写出所求的解集。
例1.（x1）（x2）（x3）0
例2.
2
x（x1）（x2）（x1）0
例3.（x1）（x2）（3x）0
12
例4.
2
（x2）（x3）（x2x1）0
例5.
2
（x1）（x2）（x4x5）0
例6.
32
2xx2x10
练习
13.
2
（x1）（x3）（x6x8）0
14.
22
（3x2x8）（1x2x）0
15.
22
（x2x3）（x6x7）0
16.
22
（x4x5）（xx1）0
17.
23
（x2）（x3）（x6）（x8）0
13
18.
42320
xxx
19.
33230
xxx
7.分式不等式的解法
例1.
（1）
x
x
3
2
0与x3x20解集是否相同，为什么？
（2）
x
x
3
2
0与320解集是否相同，为什么？
xx
通过例1，得出解分式不等式的基本思路：
等价转化为整式不等式（组）：
fx
（1）0fxgx0
gx
（2）
fxgx
fx
0
gxgx
0
0
解题方法：
穿根法。
解题步骤：
（1）首项系数化为“正”
（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因
式积的形式（4）数轴标根。
例2.解不等式：
2
x3x2
2
x7x12
0
14
例3.解不等式：
2
x9x11
2
x2x1
7
例4.解不等式：
2
x5x6
2
x3x2
0（0）
例5.解不等式：
2x12x1
x33x2
23x
例6.解不等式：
2
xx
1
3
练习
解不等式：
20.
x
2
3
x
0
21.
2x1
x3
1
15
22.
2
x3x2
2
x2x3
0
23.
221
xx
x2
0
24.
32
x1xx6
2
x3
0
25.
xx
9
3
2
x
0
26.
1
0x1
x
8.无理不等式的解法
1、无理不等式的类型：
f（x）0
f（x）g（x）型g（x）0①
f（x）g（x）
②
g（x）0
g（x）
f（x）g（x）型或
f（x）0
2f（x）
f（x）[g（x）]
0
0
16
f（x）0
③f（x）g（x）型
g（x）0
2
f（x）[g（x）]
例1.解不等式3x4x30
2
例2.解不等式x3x243x
2xx例3.解不等式2x642
17
第五讲集合的含义与表示
27.集合的含义
28.集合元素的三个特性
29.元素与集合的关系
30.常用的数集及其记法
31.集合的表示方法
32.集合的分类、空集
例1.判断下列对象能否构成一个集合
（1）身材高大的人
（2）所有的一元二次方程
（3）直角坐标平面上纵坐标相等的点
（4）细长的矩形的全体
（5）2的近似值的全体
（6）所有的数学难题
例2.已知集合
2
Aa,ab,a2b,Ba,ac,ac,若AB,求实数c的值。
例3.已知集合S中三个元素a,b,c是ABC的三边长，那么ABC一定不是
三角形。
例4.用适当的方法表示下列集合。
（1）
290
x的解集；
（2）不等式2x13的解集：
18
（3）方程组
xy
xy
2
4
的解集；
（4）正偶数集；
例5.已知集合
220,,
AxxxaaRxR若A中至多有一个元素，求a的取值范围。
例6.下列关系中，正确的有
1
（1）R;
（2）2Q;（3）3N;（4）3Q.
2
练习
33.已知集合A1,2,3,4,5,B（x,y）xA,yA,xyA,则B中所含元素的个数为（）
A.3B.6C.8D.10
34.已知集合A0,1,2,则集合Bx-yxA,yA中元素的个数是（）
A.1B.3C.5D.9
35.已知A1,2,3,B2,4,定义A、B间的运算ABxxA且xB,则集合
AB等于（）
A.1,2,3B.2,4C.1,3D.2
36.若集合
210
AxRaxax中只有一个元素，则a=（）
A.4B.2C.0D.0或4
37.设集合A1,2,3,B1,3,9,xA且xB,则x（）
A.1B.2C.3D.9
38.定义集合运算：
ABzzxy（xy,xA,yB）.设A0,1,B2,3,
则集合AB的所有元素之和为（）
A.0B.6C.12D.18
39.下列各组对象中不能构成集合的是（）
A.某中学高一
（2）班的全体男生B.某中学全校学生家长的全体
B.李明的所有家人D.王明的所有好朋友
40.已知a,b是非零实数，代数式
abab
abab
的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（）
A.0MB.1MC.3MD.1M
19
41.已知A1,2,0,1,Bxxy,yA，则B=
42.集合
2
Aa2,2a5a,12,且3A,则a=
43.设集合Axx
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