数列的递推公式教案教案设计.docx
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数列的递推公式教案教案设计
数列的递推公式教案,教案设计
教学设计
2.1.2 数列的递推公式(选学)
整体设计
教学分析
本节作为选学内容,课标对递推公式没有明确要求.考虑到它在认识数列中的作用,教材把它单列一节作为选学.实际上,递推公式作为数列的一种表示方法,有其独特的作用,高考试卷中常常见到它的踪影,因此,教学中还是把它作为必学内容对待为好.
数列作为刻画自然规律的基本数学模型,教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列.同上节一样本节也是通过一些例子及头前言中的事例引入递推公式.并通过例题,让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身.没有首项,就没有递推的基础,没有递推公式则无法向后延续.让学生体会,给出首项和递推公式,就可唯一确定一个数列.
数列的递推公式也是数列的一种表示方法,它与数列的通项公式紧密相连,但作为开始认识数列,本节不宜过分拓展,加大难度,仅限于理解递推公式的定义,并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可.
三维目标
1.通过本节学习,理解数列递推公式的意义,理解递推公式与通项公式的异同.会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项.
2.通过探究、交流、观察、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用,并通过思考与讨论本头左图中的说明,体会数学于生活.
3.通过对数列递推公式的探究,培养学生动手试验,大胆猜想的优秀品质,培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度.
重点难点
教学重点:
理解用递推公式定义数列的方法;能用递推公式和首项写出数列的后续各项.
教学难点:
利用数列的递推公式和首项,猜想该数列的通项公式.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(头图引入)让学生观察头图中左图兔子的繁殖情况.假设每次生出的小兔子都是一雄一雌,并且排除兔子发生死亡的情况,这样每个月兔子的对数,依次可以排成一个数列,你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出吗?
由此展开新课的探究.
思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4,…可用通项公式an=n表示.容易发现,这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出,即an=an-1+1(n≥2),这就是数列的另一种表示方法,也就是今天我们探究的主要内容:
递推公式.由此展开探究.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)多媒体演示图1,是工厂生产的钢管堆放示意图,你能写出它的一个通项公式吗?
你能找出它的相邻两层之间的关系吗?
(2)数列{an}的通项公式是an=2n.从第2项起,它的任一项与它相邻的前一项有什么关系?
头数列3,1sss…从第2项起,它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢?
(3)怎样理解递推公式?
若已知数列an=2an-1+1,你能写出这个数列吗?
为什么?
活动:
教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图.引导学生观察钢管堆放示意图,寻其规律,看看能否建立它的一些数学模型.由学生合作探究,必要时教师给予点拨.
模型一:
自上而下
第1层钢管数为4,即1?
4=1+3;
第2层钢管数为5,即2?
5=2+3;
第3层钢管数为6,即3?
6=3+3;
第4层钢管数为7,即4?
7=4+3;
第5层钢管数为8,即5?
8=5+3;
第6层钢管数为9,即6?
9=6+3;
第7层钢管数为10,即7?
10=7+3.
若用an表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且an=n+3(1≤n≤7).
模型二:
上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,
即a1=4;a2=5=4+1=a1+1;a3=6=5+1=a2+1.
依此类推:
an=an-1+1(2≤n≤7).
在教师的引导点拨下,学生最终能得到以上两种数学模型,教师适时给以点评.首先表扬学生的这种探究问题的精神,不怕困难敢于钻研,而且推得两个很重要的结论.对于推得的an=n+3,只要将n的具体值代入,我们就会很快地求出某一层的钢管数.因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律,这会给我们的统计与计算带很大方便,这是由特殊到一般的数学思想方法的运用,是非常正确和成功的.对于推得an=an-1+1(2≤n≤7且n∈N*)的同学就更值得表扬,因为这是我们没有见过的,这就是创新,这就是聪明智慧的闪现.这个关系式说明:
只要知道a1,则以后的每一项都等于它的前项加1,这样就可以求出第二项,以此类推即可求出其他项.这就是我们今天要探究的一个重点内容,也就是数列的另一种表示法,递推公式法.我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.递推公式很重要,显然教材上涉及的内容不多,但在每年的高考卷上都有所体现,应引起注意.下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列.
引导学生给递推公式这样下定义:
通过给出数列的第一项(或前若干项),并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式表示数列,这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式.
注意:
递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列:
3,5,8,13,21,34,55,89,递推公式为a1=3,a2=5,an=an-1+an-2(3≤n≤8).掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系,应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项,或前、后几项之间的关系.
有了以上探究活动,学生很容易探究出问题
(2)(3),至此,学生对数列的表示方法有了全面的理解,为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础.
讨论结果:
(1)略
(2)a1=2,an=2an-1(n=2,3,4,…);
数列3,a1=1,an=s(an-1)(n=2,3,4,…).
(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项.前者是递推的基础,后者是递推的延续.因此仅知an=2an-1+1无法写出这个数列的各项.
应用示例
例1已知a1=2,an+1=2an,写出前5项,并猜想an.
活动:
根据a1=2及an+1=2an,学生很容易求出前5项,分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想an=2n,这种解法在选择题或填空题中是非常有效的,但若改为求an,这种解法则是不完整的.
由anan-1=2,可得到以下解法:
anan-1×an-1an-2×an-2an-3×…×a2a1=ana1=2n-1,
∴an=2n.
解:
∵a1=2,an+1=2an,
∴a2=2×a1=4,
a3=2×a2=8,
a4=2×a3=16,
a5=2×a4=32.
∵a2=2×2=22,a3=2×22=23,a4=16=24,
∴猜想an=2n.
变式训练
已知a1=2,an+1=an-4,求an.
解:
由an+1-an=-4依次向下写,一直到第一项,然后将它们加起,
an-an-1=-4
an-1-an-2=-4
an-2-an-3=-4
……
+ a2-a1=-4 an-a1=-4n-1
∴an=2-4(n-1).
例2(教材本节例1)
活动:
本例由学生自己完成,并通过本例边注中的提问,让学生进一步体会数列两种表示方法的特色,用递推公式写出数列的前几项后,引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式,虽有一定难度,但学生应有这个能力.教师可引导学生分析,如果不代入a1的值,由依次计算的结果可能更容易看到an与n的函数关系:
a2=a11-a1;a3=a11-2a1,a4=a11-3a1,a5=a11-4a1,…,an=a11-n-1•a1=23-2n.
变式训练
已知数列{an}的递推公式是an+2=3an+1-2an,且a1=1,a2=3.
求:
(1)a5;
(2)127是这个数列中的第几项?
解:
(1)∵a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,
∴a3=3a2-2a1=7,
a4=3a3-2a2=15,
a5=3a4-2a3=31.
(2)由递推公式,可得a6=3a5-2a4=63,a7=3a6-2a5=127,
∴127是此数列的第7项.
例3(教材本节例2)
活动:
本例为数列这一大节的最后一个教材例题,具有一定的综合性,难度较大.要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力.这种解题的综合能力,要努力去训练,学生才能掌握.具体讲解时,可把P1,P2,P3的坐标都写出让学生观察发现an与an+1间的关系.
变式训练
在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+1n),则an等于( )
A.2+lnn B.2+(n-1)lnn
.2+nlnnD.1+n+lnn
答案:
A
解析:
方法一,由a2=a1+ln2=2+ln2,排除、D;由a3=a2+ln(1+12)=2+ln3,排除B.故选A.
方法二,由已知,an+1-an=lnn+1n,a1=2,
∴an-an-1=lnnn-1,an-1-an-2=lnn-1n-2,
…
a2-a1=ln21,
将以上n-1个式子累加得
an-a1=lnnn-1+lnn-1n-2+…+ln21
=ln(nn-1•n-1n-2•…•21)=lnn,
∴an=2+lnn.
例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成,其中A1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,记A1,A2,A3,…,A7,A8的长度所在的数列为{ln}(n∈N*,1≤n≤8).
甲
乙
(1)写出数列的前4项;
(2)写出数列{ln}的一个递推关系式;
(3)求{ln}的通项公式;
(4)如果把图中的三角形继续作下去,那么A9,A2007的长度分别是多少?
活动:
本例虽然题干看起很繁杂,但难度并不大,可让学生独立探究解决,学生充分理解题意后会很快完成第
(1)问,关于递推公式,教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系,也就是前项和后项的关系,这是递推公式的核心所在.教师可借此进一步向学生点拨:
①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的.
②递推公式是给出数列的一种方法,由递推公式可能求出数列的通项公式,也可能求不出通项公式.
解:
(1)l1=A1=1,l2=A2=2,l3=A3=3,l4=A4=2.
(2)通过观察图形,可知:
An+1,An,1组成直角三角形,而An+1=ln+1,An=ln.
∴由勾股定理可得l2n+1=l2n+1(n∈N*,1≤n≤8).
(3)ln=n.
(4)A9=l9=3,A2007=2007=3223.
点评:
递推关系在教材上的要求并不高,仅是明了递推公式是数列的一种表示方法,并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项,对繁难复杂的递推公式,如3项或2项以上的递推公式不作要求.
知能训练
1.若数列{an}前n项的值各异,且an+8=an对任意的n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为( )
A.{a2n+1} B.{a3n+1}.{a4n+1} D.{a6n+1}
2.已知an=an-2+an-1(n≥3),a1=1,a2=2,bn=anan+1,则数列{bn}的前4项依次是__________.
答案:
1.B 解析:
取k=0,1,2,…,8验证,周期为8.
2.前4项依次是12,23,35,58.
课堂小结
1.先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识,即数列的简单表示法:
通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法.探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律,并用合适的表示法表示这种规律.
2.教师强调,通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点,并通过实际例子探究出数列的递推公式.由于教材内容对此要求不高,因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制,但要熟悉常用的基本方法.
作业
课本本节习题2—1A组7、8;习题2—1B组4,第5题选做.
设计感想
本教案设计遵循生活是,数学是流的规律,对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的.如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的.目的是让学生感受到数学离不开生活,生活离不开数学.
本教案设计思路体现了新课程理念,遵循学生的认知规律,让学生自主学习,经历数学活动,体验数学过程,以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学,拓展空间,激活思维.同时使学生借助递推思想,有效提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生严密的思维习惯,促进个性品质的良好发展.
本教案设计力图展示:
教为主导,学为主体,思维训练为主线的教学理念.数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手,成为听话的乖绵羊,而是让学生体会到数学的实用价值,一种化价值.当你醉心于数学课堂时,数学课堂便呈现给你一种美景:
那就是活生生的数学,那就是内在神奇而奥妙,外在冷傲而绝美,由大自然抽象出的自然科学的皇后——数学.
备课资料
一、探究求数列通项公式的方法
求通项公式是学习数列的一个难点,由于求通项公式时需用到多种数学思想方法,因此求解过程中往往方法多,灵活性大,技巧性强,为了学生课余时间进一步探究,现举几例,以供参考.
1.观察法
已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项.
【例1】已知数列12,14,-58,1316,-2932,6164,…,写出此数列的一个通项公式.
解:
观察数列前若干项可得通项公式为an=(-1)n2n-32n.
2.公式法
已知数列的前n项和求通项时,通常用公式an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即a1和an合为一个表达式.
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn满足lg2(Sn+1)=n+1,求此数列的通项公式.
解:
由条件可得Sn=2n+1-1,
当n=1时,a1=3,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.
所以an=3,n=1,2n,n≥2.
3.累差迭加法
若数列{an}满足an+1=an+f(n)的递推式,其中f(n)又是等差数列或等比数列,则可用累差迭加法求通项.
【例3】已知数列6,9,14,21,30,…,求此数列的通项.
解:
∵a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,…,an-an-1=2n-1,
各式相加得an-a1=3+5+7+…+(2n-1),
∴an=n2+5(n∈N).
4.连乘法
若数列{an}能写成an=an-1f(n)(n≥2)的形式,则可由an=an-1f(n),an-1=an-2f(n-1),an-2=an-3f(n-2),…,a2=a1f
(2)连乘求得通项公式.
【例4】已知数列{an}满足a1=1,Sn=n+1an2(n∈N),求{an}的通项公式.
解:
∵2Sn=(n+1)an(n∈N),
2Sn-1=nan-1(n≥2,n∈N),
两式相减得2an=(n+1)an-nan-1,
∴anan-1=nn-1(n≥2,n∈N).
于是有a2a1=21,a3a2=32,a4a3=43,…,anan-1=nn-1(n≥2,n∈N),
以上各式相乘,得an=na1=n(n≥2,n∈N).
又a1=1,∴an=n(n∈N).
5.求解方程法
若数列{an}满足方程f(an)=0时,可通过解方程的思想方法求得通项公式.
【例5】已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(lg2an)=-2n,求数列{an}的通项公式.
解:
由条件f(lg2an)=2lg2an-2-lg2an=-2n,即an-1an=-2n.
∴a2n+2nan-1=0.
又an>0,∴an=n2+1-n.
6.迭代法
若数列{an}满足an=f(an-1),则可通过迭代的方法求得通项公式.
二、备用习题
1.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+1an-2(n≥3),则a5等于( )
A.5512B.133.4D.5
2.已知数列{an}的首项a1=1,且an=-12an-1(n≥2,且n∈N*),则a4等于…( )
A.-1B.12.1724D.-18
3.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-na2n+an+1•an=0(n∈N*),则它的通项公式an=__________.
4.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=__________.
5.已知an=n-98n-99(n∈N*),则在数列{an}中的前30项中,最大项和最小项分别是__________.
6.一只猴子爬一个8级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多能上跃起三级,从地面上到最上一级,你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗?
参考答案:
1.A 解析:
a3=a2+1a1=4,a4=a3+1a2=133,a5=a4+1a3=5512.
2.D 解析:
a2=-12a1=-12,a3=-12a2=14,a4=-12a3=-18.
3.1n 解析:
由已知可求得a2=12,a3=13,a4=14,由此可猜想an=1n.
4.nn+12+1 解析:
由题意得,当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+n-12+n2=nn+12+1.当n=1时,也符合上式.因此,an=nn+12+1.
5.a10,a9 解析:
an=n-98n-99=1+99-98n-99,
当1≤n≤9时,99-98n-99<0,an为递减函数;
当n≥10时,99-98n-99>0,an为递减函数.
∴最大项为a10,最小项为a9.
6.解:
这题是一道应用题,本题难在爬梯子有多种形式,到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.
爬一级梯子的方法只有一种.
爬一个二级梯子的方法有两种,即一级一级爬是一种,还有一次爬二级,所以共有两种.
若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种,
则an=an-1+an-2+an-3(n≥4),
则得到a1=1,a2=2,a3=4及an=an-1+an-2+an-3(n≥4),就可以求得a8=81.