1819 第1章 4 数列在日常经济生活中的应用.docx

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1819第1章4数列在日常经济生活中的应用

§4　数列在日常经济生活中的应用

学习目标：

1.掌握单利、复利的概念．（重点）2.掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用．（重点）3.掌握数列在日常经济生活中的应用．（难点）

[自主预习·探新知]

数列在日常经济生活中的应用

阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题：

（1）三种常见的应用模型

①零存整取：

每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利（暂不考虑利息税）．

②定期自动转存：

银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．

③分期付款：

分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．

（2）常用公式

①复利公式：

按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P（1＋r）n.

②产值模型：

原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N（1＋r）x.

③单利公式：

利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P（1＋nr）．

思考：

（1）数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？

[提示]　单利和复利两种方法．

（2）建立数学模型的关键是什么？

[提示]　正确选取变量，并准确建立变量之间的数量关系．

[基础自测]

1．判断正误

（1）在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息．（　　）

（2）定期自动转存模型是等差数列．（　　）

（3）在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价．（　　）

[解析]　

（1）不正确，本息指本金与利息的和；

（2）不正确，定期自动转存的模型不是等差数列；（3）不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×

2．过圆x2＋y2＝10x内一点（5,3）有k条弦的长度组成等差数列，且最短弦长为首项a1，最长弦长为末项ak，若公差d∈

，则k的取值不可能是（　　）

【导学号：

91022111】

A．4　　　　　　B．5

C．6D．7

A　[x2＋y2＝10x化简得（x－5）2＋y2＝25

过点（5,3）的最短弦长为8，最长弦长为10，

则题意d＝

＝

∈

，5≤k≤7.]

3．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．（精确到0.001）

[解析]　10年后的本息：

a10＝5×（1＋0.0225）10≈6.246（万元）．

[答案]　6.246

[合作探究·攻重难]

等差数列模型

　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？

全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？

【导学号：

91022112】

[解]　因购房时付150万元，

则欠款1000万元，依题意分20次付款，

则每次付款的数额顺次构成数列{an}．

则a1＝50＋1000×1%＝60，

a2＝50＋（1000－50）×1%＝59.5，

a3＝50＋（1000－50×2）×1%＝59，

a4＝50＋（1000－50×3）×1%＝58.5，

…

所以an＝50＋[1000－50（n－1）]×1%＝60－

（n－1）（1≤n≤20，n∈N＋）．

所以{an}是以60为首项，－

为公差的等差数列．

所以a10＝60－9×

＝55.5.

所以第10个月应付55.5（万元）．

a20＝60－19×

＝50.5.

所以S20＝

×（a1＋a20）×20＝10×（60＋50.5）＝1105.

所以实际共付1105＋150＝1255（万元）．

[规律方法]　

1．按单利计算公式

单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．

2．按单利分期付款问题的三个关键问题

（1）规定多少时间内付清全部款额．

（2）在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同．

（3）规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式．

[跟踪训练]

1．某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计算，那么实际取出多少钱？

[解]　实际取出的钱等于：

本金＋利息．

到12月最后一天取款时：

第一个月存款利息：

100×12×0.165%，

第二个月存款利息：

100×11×0.165%，

…

第11个月存款利息：

100×2×0.165%，

第12个月存款利息：

100×1×0.165%，

所以S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.165%＋100×1×0.165%

＝100×0.165%×（1＋2＋3＋…＋12）

＝100×0.165%×

＝12.87.

所以实际取出100×12＋12.87＝1212.87（元）．

等比数列模型

　某大学张教授年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）．若这笔款要分10次等额还清，每年年初还一次，并且在贷款后次年年初开始归还，问：

每年应还多少万元？

（参考数据1.110≈2.594）

[解]　设每年还款x万元，则每年还款后的余额为：

第一年：

20×（1＋10%）－x，

第二年：

（20×1.1－x）×1.1－x＝20×1.12－（1.1＋1）x，

第三年：

[20×1.12－（1.1＋1）x]×1.1－x＝20×1.13－（1.12＋1.1＋1）x，

⋮

第n年：

20×1.1n－（1.1n－1＋1.1n－2＋…＋1.1＋1）x

an＝20×1.1n－

x＝20×1.1n－

x，

十年还清，即十年以后余额为零，

故20×1.110－

x＝0，

x＝

≈3.255（万元）

故如果10年还清，每年应还3.255万元．

[规律方法]　

1．复利问题的计算方法

复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×（1＋利率）n.

2．解决等比数列应用题的关键

（1）认真审题抓特点，仔细观察找规律．

（2）等比数列的特点是增加或减少的百分数相同．

（3）分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查．

[跟踪训练]

2．某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2018年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2028年年初将所有存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？

【导学号：

91022113】

[解]　设从2018年年初到2028年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}（1≤n≤10）．

则a1＝a（1＋p）10，a2＝a（1＋p）9，…，a10＝a（1＋p），

故数列{an}（1≤n≤10）是以a1＝a（1＋p）10为首项，q＝

为公比的等比数列．

所以2028年初这个家庭应取出的钱数为

S10＝

＝

[（1＋p）11－（1＋p）]（元）．

分期付款问题

[探究问题]

1．复利与单利的区别是什么？

[提示]　

（1）复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．

（2）单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．

2．小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，若按单利计算，5年后共获得本息和为多少元？

若按复利计算，5年后共获得本息和多少元？

[提示]　按单利计算：

5年后共获（1＋5×2%）＝1.1万元；

按复利计算：

5年后共获（1＋2%）5＝1.104万元．

3．在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑用什么方法解决？

解决此问题的关键是什么？

[提示]　在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，在利用数列方法解决实际问题时的关键是分清首项、项数等问题．

　某企业进行技术改造，有两种方案：

甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？

（计算数据精确到千元，1.110≈2.594,1.310≈13.786）

[思路探究]　分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决．

[解]　方案甲：

十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋（1＋30%）＋（1＋30%）2＋…＋（1＋30%）9，所以S10＝

≈42.62（万元）．又贷款本息总数为

10（1＋10%）10＝10×1.110≈25.94（万元），

甲方案净获利42.62－25.94≈16.7（万元）．

乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为

，前10项和为

T10＝1＋

＋

＋…＋

＝

＝32.50（万元），

而贷款本息总数为

1.1×[1＋（1＋10%）＋…＋（1＋10%）9]

＝1.1×

≈17.53（万元），

乙方案净获利

32.50－17.53≈15.0（万元）．

比较两方案可得甲方案获利较多．

母题探究：

1.（变条件）在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：

一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：

一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1.5万元，两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算．

（参考数据：

1.259≈7.45,1.2510≈9.3,1.029≈1.20,1.0210≈1.22），试比较两种方案，哪种方案净获利更多？

[解]方案丙：

由题意知，每年的利润an成等比数列，

且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1.25，n＝10，

收入S丙＝

＝

＝132.8（万元）．

净获利W丙＝132.8－40（1＋2%）10＝132.8－48.8＝84（万元），

方案丁：

由题意，每年的利润记为数列{bn}，它是等差数列，且b1＝3，公差为1.5，n＝10，

收入S丁＝10×3＋

×10×9×1.5＝30＋67.5＝97.5（万元）．

净获利：

W丁＝97.5－20（1＋2%）10＝97.5－24.4＝73.1（万元）

所以方案丙净获利更多．

母题探究：

2.（变结论）在例3中，设甲方案可贷款n年，按此方案技术改造第n年的累计净获利能够超过100万元，求n的最小值．

（参考数据：

1.314＝39.374,1.315＝51.186,1.114＝3.798,1.115＝4.178）

[解]　设按照甲方案进行技术改造，n年的累计净获利超过100万元，

由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，

前n项和为Sn＝1＋（1＋30%）＋（1＋30%）2＋…＋（1＋30%）n－1＝

＝

（1.3n－1），

又贷款本息总数为10（1＋10%）n＝10×1.1n，

则甲方案的净获利为

（1.3n－1）－10×1.1n，

由题意知

（1.3n－1）－10×1.1n＞100，

经验证，当n＝14时，

（1.314－1）－10×1.114

＝

（39.374－1）－10×3.798

＝127.913－37.98＝89.933＜100，

当n＝15时，

（1.315－1）－10×1.115＝

（51.186－1）－10×4.178

＝167.287－41.78＝125.507＞100，

所以n的最小值为15.

[规律方法]　

1．等差、等比数列的应用题常见问题：

产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．

2．将实际问题转化为数列问题时应注意：

（1）分清是等差数列还是等比数列．

（2）分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n.

（3）递推关系的发现是数列建模的重要方式．

[当堂达标·固双基]

1．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，例如（1101）2表示二进制的数，将它转换为十进制的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数（11111111）2转换为十进制的形式是（　　）

【导学号：

91022114】

A．29－2　　　　　B．28－1

C．28－2D．27－1

B　[（11111111）2转换为十进制的形式为

1×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝

＝28－1.]

2．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是（　　）

A．a（1＋q%）3B．a（1－q%）3

C．

D．

C　[设现在的成本为x，

则x（1－q%）3＝a，故x＝

.]

3．一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44cm，公差等于3cm，则该多边形的边数为________．

[解析]　依题意有：

44n＋

×（－3）＝158，

化简后为3n2－91n＋316＝0.

分解因式得（3n－79）（n－4）＝0，

因为n是整数，

所以n＝4，

即该多边形为4边形．

[答案]　4

4．《九章算术》“竹九节”问题：

现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.

【导学号：

91022115】

[解析]　设该等差数列的公差为d，则

4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4，解得a1＝

，d＝

，

所以a5＝a1＋4d＝

＋4×

＝

.

[答案]　

5．某人年初向银行贷款10万元用于购房．

（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？

（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？

[解]　

（1）若向建设银行贷款，设每年还款x元，

则105×（1＋10×5%）＝x（1＋9×5%）＋x（1＋8×5%）＋x（1＋7×5%）＋…＋x，

即：

105×1.5＝10x＋45×0.05x，

解得x＝

≈12245（元）．

（2）若向工商银行贷款，每年需还y元，则：

105×（1＋4%）10＝y（1＋4%）9＋y（1＋4%）8＋…＋y（1＋4%）＋y，

即105×1.0410＝

·y，

其中：

1.0410＝1＋10×0.04＋45×0.042＋120×0.043＋210×0.044＋…≈1.4802，

所以y≈

≈12330（元）．

答：

向建设银行贷款，每年应还12245元；若向工商银行贷款，每年应还12330元．