浙江高考数学第一轮系统复习资料之《第十四章 立体几何》.docx

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浙江高考数学第一轮系统复习资料之《第十四章立体几何》

浙江2013年高考数学第一轮系统复习资料之《第十四章立体几何》

第一节简单几何体

A组

1．下列命题中，不正确的是______．

①棱长都相等的长方体是正方体

②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱

③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱

④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体

2．（2009年高考全国卷Ⅱ改编）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是________．

3．（2009年高考安徽卷）对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

4．下列三个命题，其中正确的有________个．

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．

5．下面命题正确的有________个．

①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱

②过圆锥侧面上一点有无数条母线

③三棱锥的每个面都可以作为底面

④圆锥的轴截面（过轴所作的截面）是等腰三角形

6.如图所示，长方体的长、宽、高分别为4cm,3cm,5cm，一只蚂蚁从A到C1点沿着表面爬行的最短距离是多少？

B组

1．（2009年高考安徽卷）对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

2．下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

其中，真命题的编号是______．（写出所有真命题的编号）

3.关于如图所示几何体的正确说法为________．

①这是一个六面体　②这是一个四棱台

③这是一个四棱柱　④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体　

⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱

4．（2009年高考安徽卷）对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

5．给出以下命题：

①底面是矩形的四棱柱是长方体；

②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；

③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其中说法正确的是__________．

6．下列结论正确的是

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥

②以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥

④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

7．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是________．

8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是________．

①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

9．（2008年高考江西卷）如图

（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图

（2））

有下列四个命题：

A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P

D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．

其中真命题的代号是：

______（写出所有真命题的代号）．

10．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h3，求h1∶h2∶h3的值．

11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．

12．（2009年高考辽宁卷改编）如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值．

第二节空间图形的基本关系与公理

A组

1．以下四个命题中，正确命题的个数是________．

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；

③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

2．给出下列四个命题：

①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；

②两条直线可以确定一个平面；

③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；

④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．

其中真命题的个数为________．

3．（2009年高考湖南卷改编）平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．

4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是________．

5．（原创题）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：

（1）一条直线；

（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是________．

6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：

AB，CD，l共点（相交于一点）．

B组

1．有以下三个命题：

①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；

②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；

③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交，

其中所有正确命题的序号是______________．

2．（2010年黄冈调研）下列命题中正确的是________．

①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；

②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；

③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．

3．对于空间三条直线，有下列四个条件：

①三条直线两两相交且不共点

②三条直线两两平行

③三条直线共点

④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交

其中使三条直线共面的充分条件有：

________.

4．（2008年高考浙江卷改编）对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得________．

①a⊂α，b⊂α　　　　　　　　②a⊂α，b∥α

③a⊥α，b⊥α　　　　　　　　④a⊂α，b⊥α

5．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则A1B与EF的位置关系是________．

6．（2010年湖南郴州调研）设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题其中正确命题的序号是________．

①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；

②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；

③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；

④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.

7．（2009年高考广东卷改编）给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是________．

8．（2009年高考宁夏、海南卷改编）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝

，则下列结论中错误的是________．

①AC⊥BE

②EF∥平面ABCD

③三棱锥A－BEF的体积为定值

④异面直线AE，BF所成的角为定值

9.（2008年高考陕西卷改编）如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n.若a＞b，则θ与φ的大小关系为______，m与n的大小关系为______.

10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面DBFE于R点，试确定R点的位置．

11．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为平面BCC1B1的中心．

（1）过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q

（2）求PQ的长．

12．（2008年高考四川卷）如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊

AD，BE綊

FA，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？

为什么？

（3）设AB＝BE，证明：

平面ADE⊥平面CDE.

第三节平行关系

A组

1．已知m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是________．

①如果m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β

②如果m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m∥n

③如果m⊂α，n⊂β，α∥β且m，n共面，那么m∥n

④如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β

2．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：

①若m∥α，则m平行于平面α内的无数条直线；

②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

④若α∥β，m⊂α，则m∥β.

其中，真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）

3．（2010年苏北四市调研）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m,则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；

④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.

其中为真命题的是________．

4．（2009年高考福建卷改编）设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．

①m∥β且l1∥α　　　　②m∥l1且n∥l2③m∥β且n∥β④m∥β且n∥l2

5．（原创题）直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条．

6．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.

（1）求证：

PA⊥BD；

（2）若PC与CD不垂直，求证：

PA≠PD；

（3）若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD.

B组

1．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是________．

①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β

③若m∥n，m∥α，则n∥α④若n⊥α，n⊥β，则α∥β

2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列4个命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；

③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；

④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α.

其中正确的命题有________．

3．已知m，n是平面α外的两条直线，且m∥n，则“m∥α”是“n∥α”的________条件．

4．设l1，l2是两条直线，α，β是两个平面，A为一点，下列命题中正确的命题是________．

①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线

②若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β

③l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β

④若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α或l2⊂α

5．（2010年深圳模拟）若a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是________．

①α内的所有直线与a异面

②α内与a平行的直线不存在

③α内存在唯一的直线与a平行

④α内的直线与a都相交

6．设m、n是异面直线，则

（1）一定存在平面α，使m⊂α且n∥α；

（2）一定存在平面α，使m⊂α且n⊥α；（3）一定存在平面γ，使m、n到γ的距离相等；（4）一定存在无数对平面α与β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β.上述4个命题中正确命题的序号为________．

7．如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝______.

8．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________（写出所有符合要求的图形序号）．

9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC中点．点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

10．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝

，AB＝1，AD＝2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点．

（1）证明：

DE⊥平面A1AE；

（2）证明：

BM∥平面A1ED.

11．（2010年扬州调研）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BC的中点．

（1）求证：

平面B1MN⊥平面BB1D1D；

（2）若在棱DD1上有一点P，使BD1∥平面PMN，求线段DP与PD1的比

12．如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（1）求证：

AE⊥BE；

（2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：

MN∥平面DAE.

第四节垂直关系

A组

1．设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．

①若b⊂α，c∥α，则b∥c　②若b⊂α，b∥c，则c∥α

③若c∥α，α⊥β，则c⊥β④若c∥α，c⊥β，则α⊥β

2．（2010年青岛质检）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________．

3．（2009年高考山东卷改编）已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件．

4．（2009年高考浙江卷）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．

5．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有________．

①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；

③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．

6．（2009年高考山东卷）如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．

（1）设F是棱AB的中点，证明：

直线EE1∥平面FCC1；

（2）证明：

平面D1AC⊥平面BB1C1C.

B组

1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是________．

①a⊥α，b∥β，α⊥β②a⊥α，b⊥β，α∥β

③a⊂α，b⊥β，α∥β④a⊂α，b∥β，α⊥β

2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是________．

①若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．

①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β②α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n

③α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β

4．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是________．

①若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

②若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n

④若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n

5．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是________．

①c⊥α，若c⊥β，则α∥β

②b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b

③b⊂β，若b⊥α，则β⊥α

④b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c

6．已知二面角α－l－β的大小为30°，m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则m、n所成的角为________．

7．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．

8．（2010年江苏昆山模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P在AD上运动，设∠ABP＝θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为________．

9．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝

AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．

10．如图，在三棱锥S－ABC中，OA＝OB，O为BC中点，SO⊥平面ABC，E为SC中点，F为AB中点．

（1）求证：

OE∥平面SAB；

（2）求证：

平面SOF⊥平面SAB.

11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．

（1）求证：

CE∥平面C1E1F；

（2）求证：

平面C1E1F⊥平面CEF.

12．（2010年江苏淮安模拟）如图，已知空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB

的中点．

求证：

（1）AB⊥平面CDE；

（2）平面CDE⊥平面ABC；

（3）若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE.

第五节简单几何体的面积和体积

A组

1．（2010年东北四校联考）已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，

，2，则其外接球的表面积为________．

2．（2009年高考上海卷）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．

3．（2010年南京调研）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．

4．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角

B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为________．

5．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球的半径等于________，球的表面积等于________．

6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为

.

（1）证明：

直线A1B∥平面CDD1C1；

（2）求棱A1A的长；

（3）求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．

B组

1．（2008年高考湖北卷）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为________．

2．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为

，

，

，则该三棱锥的体积为________．

3．（2010年福建厦门检测）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是

，则这个三棱柱的体积是________．

4．（2009年高考陕西卷改编）若正方体的棱长为

，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．

5．（2009年高考全国卷Ⅰ）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于__________．

6．（2009年高考江西卷）体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．

7．若长方体的三个共顶点的面的面积分别是

，

，

，则长方体的体积是________．

8．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为________

9．（2010年南通调研）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2

，则四面体A－B1CD1的外接球的体积为________．

10．（2009年高考宁夏、海南卷）如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.

（1）证明：

AB⊥PC；

（2）若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥

P－ABC的体积．

11．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F为CD的中点．

（1）求证：

AF⊥平面CDE；

（2）求证：

AF∥平面BCE；

（3）求四棱锥C－ABED的体积．

12．（2010年广州质检）如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB