三、动量守恒定律应用中的临界问题分析
在动量守恒定律的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界问题．分析临界问题的关键是寻找临界状态，临界状态的出现是有条件的，这个条件就是临界条件．临界条件往往表现为某个（或某些）物理量的特定取值．在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键．
例4
如图5所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量共为M＝30kg，乙和他的冰车总质量也是30kg.游戏时，甲推着一个质量为m＝15kg的箱子和他一起以v0＝2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住．若不计冰面摩擦．
图5
（1）若甲将箱子以速度v推出，甲的速度变为多少？
（用字母表示）
（2）设乙抓住迎面滑来的速度为v的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？
（用字母表示）
（3）若甲、乙最后不相撞，甲、乙的速度应满足什么条件？
箱子被推出的速度至少多大？
答案
（1）
（2）
（3）v1≤v2 5.2m/s
解析
（1）甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的整体动量守恒，由动量守恒定律得：
（M＋m）v0＝mv＋Mv1①
解得v1＝
②
（2）箱子和乙作用的过程动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv－Mv0＝（m＋M）v2③
解得v2＝
④
（3）甲、乙不相撞的条件是v1≤v2⑤
其中v1＝v2为甲、乙恰好不相撞的条件．
联立②④⑤三式，并代入数据得
v≥5.2m/s.
某一方向上动量守恒问题
1.
图6
如图6所示，在光滑的水平面上有一静止的斜面，斜面光滑，现有一个小球从斜面顶点由静止释放，在小球下滑的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．斜面和小球组成的系统动量守恒
B．斜面和小球组成的系统仅在水平方向上动量守恒
C．斜面向右运动
D．斜面静止不动
答案 BC
解析 球和斜面组成的系统在水平方向上不受外力作用，故水平方向动量守恒．小球下滑时，对地有向下的加速度，即系统存在向下的加速度，故系统竖直方向上所受合外力不为零，合外力向下，因此不能说系统动量守恒．
多物体、多过程中的动量守恒问题
2.
图7
如图7所示，质量为M的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m的物体．从某一时刻起给m一个水平向右的初速度v0，那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后（ ）
A．两者的速度均为零
B．两者的速度总不会相等
C．物体的最终速度为
，向右
D．物体的最终速度为
，向右
答案 D
解析 物体与盒子组成的系统所受合外力为零，物体与盒子前后壁多次往复碰撞后，以速度v共同运动，由动量守恒定律得：
mv0＝（M＋m）v，故v＝
，向右．
3.
图8
质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度v0的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图8所示，最后这五个物块粘成一个整体，求它们最后的速度为多少？
答案
v0
解析 由五个物块组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，mv0＝5mv，v＝
v0，即它们最后的速度为
v0.
动量守恒定律应用中的临界问题
4.
图9
如图9所示，甲车质量m1＝20kg，车上有质量M＝50kg的人，甲车（连同车上的人）以v＝3m/s的速度向右滑行．此时质量m2＝50kg的乙车正以v0＝1.8m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度（相对地面）应当在什么范围以内才能避免两车相撞？
不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长．
答案 大于等于3.8m/s
解析 人跳到乙车上后，如果两车同向，甲车的速度小于或等于乙车的速度就可以避免两车相撞．
以人、甲车、乙车组成系统，由水平方向动量守恒得：
（m1＋M）v－m2v0＝（m1＋m2＋M）v′，解得v′＝1m/s.
以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，得：
（m1＋M）v＝m1v′＋Mu，解得u＝3.8m/s.
因此，只要人跳离甲车的速度u≥3.8m/s，就可避免两车相撞．
（时间：
60分钟）
题组一 动量守恒条件及系统和过程的选取
1．在匀速行驶的船上，当船上的人相对于船竖直向上抛出一个物体时，船的速度将（水的阻力不变）（ ）
A．变大B．变小
C．不变D．无法判定
答案 C
解析 相对于船竖直向上抛出物体时，由于惯性，物体仍然具有和船同方向的速度，船和物体组成的系统水平方向动量守恒，故船速不变．
2.
图10
如图10所示，A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，物块C以一定的初速度v0从A的左端开始向右滑行，最后停在B木块的右端，对此过程，下列叙述正确的是（ ）
A．当C在A上滑行时，A、C组成的系统动量守恒
B．当C在B上滑行时，B、C组成的系统动量守恒
C．无论C是在A上滑行还是在B上滑行，A、B、C三物块组成的系统动量都守恒
D．当C在B上滑行时，A、B、C组成的系统动量不守恒
答案 BC
解析 当C在A上滑行时，对A、C组成的系统，B对A的作用力为外力，不等于0，故系统动量不守恒，选项A错误；当C在B上滑行时，A、B已分离，对B、C组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，选项B正确；若将A、B、C三物块视为一系统，则沿水平方向无外力作用，系统动量守恒，选项C正确，选项D错误．
3.
图11
平板车B静止在光滑水平面上，在其左端另有物体A以水平初速度v0向车的右端滑行，如图11所示．由于A、B间存在摩擦，因而A在B上滑行后，A开始做减速运动，B做加速运动（设B车足够长），则B车速度达到最大时，应出现在（ ）
A．A的速度最小时
B．A、B速度相等时
C．A在B上相对静止时
D．B车开始做匀速直线运动时
答案 ABCD
解析 由于A、B之间存在摩擦力，A做减速运动，B做加速运动，当两个物体的速度相等时，相对静止，摩擦力消失，变速运动结束，此时A的速度最小，B的速度最大，因此选项A、B、C正确，此后A、B一起匀速运动，所以D项正确．
4.
图12
如图12所示，在质量为M的小车上挂有一单摆，摆球的质量为m0，小车和摆球以恒定的速度v沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列可能发生的情况是（ ）
A．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足（M＋m0）v＝Mv1＋mv2＋m0v3
B．摆球的速度不变，小车和木块的速度分别变为v1、v2，满足Mv＝Mv1＋mv2
C．摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为v′，满足Mv＝（M＋m）v′
D．小车和摆球的速度都变为v1，木块的速度变为v2，满足（M＋m0）v＝（M＋m0）v1＋mv2
答案 BC
5.
图13
如图13所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球拉开一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中（ ）
A．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒
B．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统动量守恒
C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车的速度不为零
D．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反
答案 BD
解析 小球摆动过程中，竖直方向上合力不为零，故系统总动量不守恒，但水平方向不受外力，在水平方向动量守恒，所以选项B、D正确．
6.
图14
如图14所示，小车放在光滑水平面上，A、B两人站在车的两端，这两人同时开始相向行走，发现车向左运动，分析小车运动的原因可能是（ ）
A．A、B质量相等，但A比B速率大
B．A、B质量相等，但A比B速率小
C．A、B速率相等，但A比B的质量大
D．A、B速率相等，但A比B的质量小
答案 AC
解析 两人及车组成的系统动量守恒，则mAvA－mBvB－mCvC＝0，得mAvA－mBvB>0.所以A、C正确．
题组二 多物体多过程动量守恒定律的应用
7．一弹簧枪对准以6m/s的速度沿光滑桌面迎面滑来的木块发射一颗铅弹，射出速度为10m/s，铅弹射入木块后未穿出，木块继续向前运动，速度变为5m/s.如果想让木块停止运动，并假定铅弹射入木块后都不会穿出，则应再向木块迎面射入的铅弹数为（ ）
A．5颗B．6颗C．7颗D．8颗
答案 D
解析 设木块质量为m1，铅弹质量为m2，第一颗铅弹射入，有m1v0－m2v＝（m1＋m2）v1，代入数据可得
＝15，设再射入n颗铅弹木块停止，有（m1＋m2）v1－nm2v＝0，解得n＝8.
8.
图15
如图15所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为v0的子弹射中并且子弹嵌在其中．已知物体A的质量mA是物体B的质量mB的
，子弹的质量m是物体B的质量的
，求弹簧压缩到最短时B的速度．
答案
解析 弹簧压缩到最短时，子弹、A、B具有共同的速度v1，且子弹、A、B组成的系统，从子弹开始射入物体A一直到弹簧被压缩到最短的过程中，系统所受外力（重力、支持力）之和始终为零，故整个过程系统的动量守恒，由动量守恒定律得mv0＝（m＋mA＋mB）v1，又m＝
mB，mA＝
mB，故v1＝
＝
，
即弹簧压缩到最短时B的速度为
.
9.
图16
如图16所示，在光滑水平面上有两个木块A、B，木块B左端放置小物块C并保持静止，已知mA＝mB＝0.2kg，mC＝0.1kg，现木块A以初速度v＝2m/s沿水平方向向右滑动，木块A与B相碰后具有共同速度（但不粘连），C与A、B间均有摩擦．求：
（1）木块A与B相碰瞬间A木块及小物块C的速度大小；
（2）设木块A足够长，求小物块C的最终速度．
答案
（1）1m/s 0
（2）
m/s 方向水平向右
解析
（1）木块A与B相碰瞬间C的速度为0，A、B木块的速度相同，由动量守恒定律得
mAv＝（mA＋mB）vA，vA＝
＝1m/s.
（2）C滑上A后，摩擦力使C加速，使A减速，直至A、C具有共同速度，以A、C整体为系统，由动量守恒定律得mAvA＝（mA＋mC）vC，vC＝
m/s，方向水平向右．
题组三 综合应用
10．以初速度v0与水平方向成60°角斜向上抛出的手榴弹，到达最高点时炸成质量分别是m和2m的两块．其中质量大的一块沿着原来的方向以2v0的速度飞行．求质量较小的另一块弹片速度的大小和方向．
答案 2.5v0 与爆炸前速度方向相反
解析
手榴弹爆炸过程中，爆炸产生的作用力是内力，远大于重力，因此爆炸过程中各弹片组成的系统动量守恒．斜抛的手榴弹在水平方向上做匀速直线运动，在最高点处爆炸前的速度v1＝v0cos60°＝
v0.设v1的方向为正方向，如图所示，由动量守恒定律得3mv1＝2mv1′＋mv2.其中爆炸后大块弹片的速度v1′＝2v0，小块弹片的速度v2为待求量，解得v2＝－2.5v0，“－”号表示v2的速度方向与爆炸前速度方向相反．
11.
图17
如图17所示，质量分别为m1和m2的两个等半径小球，在光滑的水平面上分别以速度v1、v2向右运动，并发生对心正碰，碰后m2被墙弹回，与墙碰撞过程中无能量损失，m2返回后又与m1相向碰撞，碰后两球都静止，求第一次碰后m1球的速度．
答案
方向向右
解析 设m1、m2碰后的速度大小分别为v1′、v2′，则由动量守恒定律知m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v1′－m2v2′＝0，解得v1′＝
，方向向右．
12.
图18
质量为M＝2kg的小平板车静止在光滑水平面上，车的一端静止着质量为mA＝2kg的物体A（可视为质点），如图18所示，一颗质量为mB＝20g的子弹以600m/s的水平速度射穿A后，速度变为100m/s，最后物体A相对车静止，若物体A与小车间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10m/s2，求平板车最后的速度是多大．
答案 2.5m/s
解析 子弹击穿A后，A在水平方向上获得一个速度vA，最后当A相对车静止时，它们的共同速度为v.子弹射穿A的过程极短，因此车对A的摩擦力、子弹的重力作用可略去，即认为子弹和A组成的系统水平方向动量守恒，同时，由于作用时间极短，可认为A的位置没有发生变化，设子弹击穿A后的速度为v′，由动量守恒定律有mBv0＝mBv′＋mAvA，得
vA＝
＝
m/s＝5m/s
A获得速度vA相对车滑动，由于A与车间有摩擦，最后A相对车静止，以共同速度v运动，对于A与车组成的系统，水平方向动量守恒，因此有：
mAvA＝（mA＋M）v，所以v＝
＝
m/s＝2.5m/s.
13.
图19
光滑水平轨道上有三个木块A、B、C，质量分别为mA＝3m、mB＝mC＝m，开始时B、C均静止，A以初速度v0向右运动，A与B碰撞后分开，B又与C发生碰撞并粘在一起，此后A与B间的距离保持不变．求B与C碰撞前B的速度大小．
答案
v0
解析 设A与B碰撞后，A的速度为vA，B与C碰撞前B的速度为vB，B与C碰撞后粘在一起的速度为v，由动量守恒定律得
对A、B木块：
mAv0＝mAvA＋mBvB①
对B、C木块：
mBvB＝（mB＋mC）v②
由A与B间的距离保持不变可知
vA＝v③
联立①②③式，代入数据得
vB＝
v0④
14.
图20
如图20所示，滑块A、C的质量均为m，滑块B的质量为
m.开始时A、B分别以v1、v2的速度沿光滑水平轨道向固定在右侧的挡板运动，现将C无初速地放在A上，并与A粘合不再分开，此时A与B相距较近，B与挡板相距足够远．若B与挡板碰撞将以原速率反弹，A与B碰撞将粘合在一起．为使B能与挡板碰撞两次，v1、v2应满足什么关系？
答案
v2v1≤v2<
v1
解析 设向右为正方向，A与C粘合在一起的共同速度为v′，由动量守恒定律得mv1＝2mv′
为保证B碰挡板前A未能追上B，应满足v′≤v2
设A与B碰后的共同速度为v″，
由动量守恒定律得
2mv′－
mv2＝
mv″
为使B能与挡板再次碰撞应满足v″>0
联立以上各式解得
v2v1≤v2<
v1.
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