苏教版八年级上册复习专题练习一动点问题压轴题含答案.docx

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苏教版八年级上册复习专题练习一动点问题压轴题含答案

初二数学期中复习专题一：

动点问题

3、动点中的旋转问题

1、如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是．

2、如图所示：

一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上．

（1）在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系？

证明你的结论．

（2）若AB＝BC＝4cm，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否改变？

若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．

（3）

若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上，则

（1）中的结论仍然成立吗？

请画出相应的图形，直接写出结论．

3、如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是；

（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），

①判断

（1）中的结论是否仍然成立？

请利用图2证明你的结论；

②若BC＝DE＝4，当AE取最大值时，求AF的值．

4、点的移动问题

4、如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；

（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：

△BPM≌△CPE；②求证：

PM＝PN；

（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN

还成立吗？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

5、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．

（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝°；

（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．

①∠BCE的度数是否发生变化？

请说明理由；

②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为．

6、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△

ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；

（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？

请说明理由；

②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？

请直接写出你的结论．

7、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为1米，∠B＝90°，BC＝

4米，AC＝8米，当正方形DEFH运动到什么位置时，即当AE＝米时，有DC2＝AE2+BC2．

8、【新知学习】

如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．

【简单运用】

（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是（填序号）；

（2）如图1，已知等边三角形ABC，请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点D，使△ABD

为“智慧三角形”，并写出作法；

【深入探究】

（3）如图2，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝

CD，试判断△AEF

是否为“智慧三角形”，并说明理由；

【灵活应用】

（4）如图3，等边三角形ABC边长5cm．若动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿△ABC的边AB﹣BC﹣CA运动．若另一动点Q以2cm/s的速度从点B出发，沿边BC﹣CA﹣AB运动，两点同时出发，当点Q首次回到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t（s），那么t为．（s）时，△PBQ为“智慧三角形”．

动点问题压轴题

1、【解答】解：

∵∠A+∠APO＝∠POD+∠COD，∠A＝∠POD＝60°，

∴∠APO＝∠COD，

在△APO和△COD中，

，

∴△APO≌△COD（AAS），即AP＝CO，

∵CO＝AC﹣AO＝6，

∴AP＝6．故答案为6．

2、【解答】解：

（1）BG和CH为相等关系，如图1，连接BD，

∵等腰直角三角形ABC，D为AC的中点，

∴DB＝DC＝DA，∠A＝∠DBH＝45°，BD⊥AC，

∵∠EDF＝90°，

∴∠ADG+∠GDB＝90°，

∴∠BDG+∠BDH＝90°，

∴∠ADG＝∠HDB，

∴在△ADG和△BDH中，

，

∴△ADG≌△BDH（ASA），

∴AG＝BH，

∵AB＝BC，

∴BG＝HC，

（2）∵等腰直角三角形ABC，D为AC的中点，

∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45°，BD⊥AC，

∵∠GDH＝90°，

∴∠GDB+∠BDH＝90°，

∴∠CDH+∠BDH＝90°，

∴∠BDG＝∠HDC，

∴在△BDG和△CDH中，

，

∵△BDG≌△CDH（ASA），

∴S四边形DGBH＝S△BDH+S△GDB＝S△ABD，

∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，

∴S△ABD＝

S△ABC，

∴S四边形DGBH＝

S△ABC＝4cm2，

∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，

（3）当三角板DEF旋转至图2所示时，

（1）的结论仍然成立，如图2，连接BD，

∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，

∴∠BDG＝90°﹣∠CDG，∠CDH＝90°﹣∠CDG，

∴∠BDG＝∠CDH，

∵等腰直角三角形ABC，

∴∠DBC＝∠BCD＝45°，

∴∠DBG＝∠DCH＝135°，

∴在△DBG和△DCH中，

，

∴△DBG≌△DCH（ASA），

∴BG＝CH．

3、.【分析】

（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；

（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；

②由①可知BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．

【解答】解：

（1）BG＝AE．

理由：

如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，BD＝CD，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°．

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE＝DG．

在△BDG和△ADE中，

，

∴△ADE≌△BDG（SAS），

∴BG＝AE．

故答案为：

BG＝AE；

（2）①成立BG＝AE．理由：

如图2，连接AD，

∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，

∴AD＝BD，AD⊥BC，

∴∠ADG+∠GDB＝90°．

∵四边形EFGD为正方形，

∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，

∴∠ADG+∠ADE＝90°，

∴∠BDG＝∠ADE．

在△BDG和△ADE中，

，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG＝AE；

②∵BG＝AE，

∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE．

∵BC＝DE＝4，

∴BG＝2+4＝6．

∴AE＝6．

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF＝

＝

，

∴AF＝2

．

4、【解答】证明：

（1）①如图2：

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMA＝∠CNM＝90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC边中点，

∴BP＝CP，

在△BPM和△CPE中，

，

∴△BPM≌△CPE，（ASA）

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM＝PE∴PM＝

ME，

∴在Rt△MNE中，PN＝

ME，

∴PM＝PN；

（2）成立，如图3．

延长MP与NC的延长线相交于点E，

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，

∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC中点，

∴BP＝CP，

在△BPM和△CPE中，

，

∴△BPM≌△CPE，（ASA）

∴PM＝PE，

∴PM＝

ME，

则Rt△MNE中，PN＝

ME，

∴PM＝PN．

5、【解答】解：

（1）∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE．

在△ACE和△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD（SAS）；

∴∠ACE＝∠ABD＝45°，

∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；

故答案为：

90；

（2）①不发生变化．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°

∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC

∴∠BAD＝∠CAE，在△ACE和△ABD中

∴△ACE≌△ABD（SAS）

∴∠ACE＝∠ABD＝45°

∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°

∴∠BCE的度数不变，为90°；

②117

4

6、【解答】解：

（1）90°．

理由：

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B＝∠ACE．

∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，

∴∠BCE＝∠B+∠ACB，又∵∠BAC＝90°

∴∠BCE＝90°；

（2）①α+β＝180°，

理由：

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B＝∠ACE．

∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．

∴∠B+∠ACB＝β，

∵α+∠B+∠ACB＝180°，

∴α+β＝180°；

②当点D在射线BC上时，α+β＝180°；理由：

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，

∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，

∴α+β＝180°；

当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．理由：

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAB＝∠EAC，

∵在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，

∴∠BAC＝∠BCE，即α＝β．

7、【解答】解：

如图，连接CD，假设AE＝x，可得EC＝8﹣x．

∵正方形DEFH的边长为1米，即DE＝1米，

∴DC2＝DE2+EC2＝1+（8﹣x）2，

AE2+BC2＝x2+16，

∵DC2＝AE2+BC2，

∴1+（8﹣x）2＝x2+16，解得：

x＝

，

所以，当AE＝

米时，有DC2＝AE2+BC2．故答案是：

．

8、【解答】解：

（1）因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，所以①是“智慧三角形”．故答案为①

（2）用刻度尺分别量取AC、BC的中点D、D′．点D、D′即为所求．

（3）

结论：

△AEF是“智慧三角形“．

理由如下：

如图，设正方形的边长为4a

∵E是BC的中点

∴BE＝EC＝2a，

∵CF＝CD

∴FC＝a，DF＝4a﹣a＝3a，

在Rt△ABE中，AE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2在Rt△ECF中，EF2＝（2a）2+a2＝5a2

在Rt△ADF中，AF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2

∴AE2+EF2＝AF2

∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°

∵直角三角形斜边AF上的中线等于AF的一半

∴△AEF为“智慧三角形”．

（4）

如图3中，

①当点P在线段AB上，点Q在线段BC上时，若∠PQB＝90°，则BP＝2BQ，

∴5﹣t＝4t，解得t＝1．

若∠BPQ＝90°，则BQ＝2PB，

∴2t＝2（5﹣t）

∴t＝

．

②当点Q在线段AC上时，不存在“智慧三角形”．

③当点P在线段BC上，点Q在线段AB上时，若∠PQB＝90°，则BP＝2BQ，

∴t﹣5＝2（15﹣2t），

∴t＝7，

若∠QPB＝90°，则BQ＝2PB，

∴15﹣2t＝2（t﹣5），

∴t＝

，

综上所述，满足条件的t的值为1或

或

或7．故答案为1或或或7．