一元一次不等式.docx

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一元一次不等式

一元一次不等式

一、地位和作用

本章内容主要有一下四个方面：

不等式和它的基本性质、一元一次不等式及其解法、一元一次不等式组及其解法、用一元一次不等式（组）解决简单的实际问题。

本章的一元一次不等式是探究现实生活中数量关系的重要内容，应用不等式的基本性质解一元一次不等式是一项基本技能，也是以后学习一元二次方程、函数以及进一步学习不等式知识的基础。

一元一次不等式（组）也是一种基本的数学模型，在社会生产和人们的生活中有着广泛的应用。

因此，学习本章内容对于培养分析问题、解决问题的能力，体会数学的价值，以及学生的以后继续学习都具有重要意义。

二、教学目标

1、通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式组的意义，经历探索不等式的基本性质的过程。

2、了解不等式的解和解集的含义，会在数轴上表示不等式的解集。

3、会解一元一次不等式和一元一次不等式组，会用数轴确定一元一次不等式组的解集。

4、能根据具体问题中的数量关系，列处一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题。

三、重点、难点和关键

1、教学重点：

（1）不等式的解与不等式组的解集的意义，利用数轴表示不等式和不等式组的解集。

（2）不等式的三个基本性质，利用基本性质对不等式进行变形。

（3）一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。

（4）一元一次不等式组在实际问题中的简单应用。

2、教学难点：

（1）利用数轴表示不等式的解集。

（2）不等式的第3个性质及其应用。

（3）列处一元一次不等式组解决实际问题。

3、关键：

明确不等式与等式、一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系，会用数轴表示不等式的解集。

四、课时安排

6.1不等关系与不等式2课时

6.2一元一次不等式3课时

6.3一元一次不等式组2课时

回顾与总结1课时

共计8课时

第一课时

一、教学目标：

1、通过具体情景，感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。

2、了解不等式的意义，使学生经历实际问题中数量关系的分析和抽象过程，感受不等式和等式都是刻画现实世界中数量关系的模型，发展学生的符号感。

二、教材分析

本节开头给出的问题

（1）

（2）（3）用文字表述了不等关系，这些问题分别来源于天文、统计和几何图形。

其中，问题

（1）

（2）中的不等关系可以直接用符号语言表示，问题（3）是代数式之间的大小关系的比较，这种关系也可以用符号语言表示出来。

教学中，教师要引导学生思考教材中的三个问题，使学生认识现实世界中数量间的不等关系是大量存在的。

使学生感受不等关系可以符号化表示，从而体会不等式与方程、函数一样，也是刻画事物变化的模型。

教材中给出的不等式定义，其外延相当宽。

对于一元一次不等式的定义，不要求学生记忆，学生知道不等号的两边可以是代数式，可以是超越式，也可以是一个更加一般的数学式子。

设置“加油站”的目的，是扩展学生对不等关系和不等式的认识。

教师应引导学生正确理解“小于或等于”、“大于或等于”、“不大于”、“不小于”等数学术语和不等式x≤y、x≥y的含义。

对于加油站后面的4个问题，应引导学生通过思考和交流统一认识，以便进一步理解这些词语的含义及其符号表示，发展学生的符号感。

第二课时

一、教学目标：

经历不等式三条基本性质的探索过程，能利用不等式的三条基本性质对不等式进行简单的变形。

二、教材分析

不等式的基本性质是研究不等式的基础，是求解不等式的依据。

教材中安排试验与探究的目的，是引导学生从代数与几何两个方面探索不等式的基本性质。

通过对两个不等式5＞3，-4＜2两边分别都加上或减去2，同乘2，同乘-2，让学生尝试边观察，边探索边概括，以便在知识的发生过程中感受知识，在感受过程过程中理解知识，在理解过程中记忆知识。

对于不等式的基本性质1和2，教科书分别用比较线段的长和比较长方形面积的大小的实例，帮助学生从“量”的角度进一步探索，从“形”的角度加深理解。

然后让学生用语言叙述。

最后，通过小莹与小亮的话把文字语言转化为符号语言，从而完成基本性质的探索过程。

在实验与探究中，教师要引导学生开展观察、尝试、思考、概括、交流等活动，使学生认识不等式的基本性质。

可以引导学生把不等式性质2与性质3进行对比，把不等式的性质与等式的性质进行对比，以加深理解，防止知识之间的混淆。

在“＜”和“＞”的两种情况下，引导学生分别发现不等号方向的变化规律。

注意不等式的三个基本性质在表述上的区别。

基本性质1中提到了不等式的两边都加上（或减去）同一个整式的情况，而不等式的性质2和3中没有提及同乘（或除以）同一个整式。

这是因为，含有字母的整式的符号可能为正也可能为负，如果不等式的两边需要同乘（或除以）同一个恒为正的整式，则用性质2，如果需要同乘（同除以）同一个恒为负的整式时，则运用性质3，当同乘或同除的整式可能为正也可能为负时，应分类讨论。

例如，在不等式5＞4的两边同乘数a，那么会出现三种不同的结果：

若a＞0则5a＞4a,若a＜0则5a＜4a，若a＝0则5a＝4a。

例1是不等式性质的直接运用，也是下节解一元一次不等式的伏笔。

对于例1中的三个问题，教师应重视对每一个问题的分析过程，使学生能根据所给出的不等式的结构特点，想出如何将其化为x＞a或x＜a的形式的解题策略。

也就是说，不仅能说出不等式变形时依据不等式的哪条性质，而且要知道变形的目的是什么。

其中

（1）

（2）分别直接运用了基本性质

（1）（3）。

问题（3）有一定的难度，教材只给出一种解法，其中还运用了不等式“若a＜b,则b>a”的性质，这个性质可以向学生说明。

教师要引导学生阅读智趣园，这里运用了不等式的传递性（若a≥b,b≥c则a≥c）解释平时所说的“高个中的矮个”不低于“矮个中的高个”的结论。

通过智趣园的学习，不仅使学生学会进行比较和分析的方法，而且有助于增强学生对不等式学习的兴趣。

第三课时

一、教学目标

通过分析实际问题中数量之间的不等关系，抽象出不等式，认识不等式的解和解集的意义，能在数轴上表示出不等式的解集。

二、教材分析：

本节的教学重点是不等式的解和解集，教材首先以本章情境导航中的问题作为引例，引出不等式的解和解集的概念。

对于情境导航中的问题，要引导学生先分析问题中的已知量与未知量，以及量与量之间的不等关系，列出不等式，体会不等式和列方程的区别与联系。

对于不等式50x+2000≤3000的解，教师可以引导学生通过观察、尝试，探索出它的解集x≤20.要使学生理解使不等式成立的所有解都在x≤20的范围内，反之，在这个范围内的任一个实数，都能使不等式50x+2000≤3000成立。

由于一元一次方程以及其解集的概念对不等式的学习具有负迁移作用，学生对不等式解集的认识可能产生一定的困难。

为了帮助学生理解不等式解集的概念，教材列出了一些具体的数值进行说明。

一般说来，方程的解集是一个有限集，不等式的解集是一个无限集。

利用数轴表示不等式的解集，不仅有助于学生对不等式解集的理解，也有利于学生进一步感受数形结合思想的作用。

为了将不等式的解集直观地表示出来，老师应引导学生回忆数轴上点的对应关系、数轴上点的有序性、利用数轴可以比较实数的大小等相关知识，从而认识不等式的解集x≤20可以用数轴表示20的点和它左边的部分表示出来，并使学生进一步感受x≤20是指不大于20的任一实数，它是一个无限集。

同时应让学生明确x≤20与x＜20及其数轴表示的区别。

不等式的解集包括四种情况，教学中教师可利用课堂小结对四种情况加以总结：

（1）、x＞a

（2）x≥a（3）x＜a（4）x≤a。

教材给出了

（1）、（4）两种情况的具体例子，在练习2中给出了

（2）、（3）两种情况的例子，

第四课时

一、教学目标

了解一元一次不等式的意义，会解简单的一元一次不等式，会求某些一元一次不等式的特殊解（例如整数解）

二、教材分析

本节重点是探索一元一次不等式的一般解法及其在实际问题中的初步应用。

教材让学生观察三个不等式的实例，引导学生概括出它们的共同点，从而引出一元一次不等式的定义。

老师还要引导学生通过观察概括出一元一次不等式的概念，并与一元一次方程的概念进行对比。

教材目的通过例1、例2引导学生进行探索，概括出一元一次不等式的解法，并让学生体验一元一次不等式的解法与一元一次方程解法的异同，从而完善学生的认知结构。

运用数轴表示不等式的解集，不仅形象地表示出了解集的几何意义，同时也为下面的学习一元一次不等式组做准备。

在例1、例2的教学中，一定要明确不等式每一步变形分别依据不等式的哪个性质，在此基上引导学生思考一元一次不等式与一元一次方程解法的类似之处。

都有去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1等步骤。

同时也要引导学生思考解一元一次不等式与解一元一次方程的不同：

在解不等式时，如果不等式的两边同乘或除以一个负数，不等号的方向要改变，在解方程时就不存在改变方向的问题。

然后，引导学生总结出解一元一次不等式的步骤。

“挑战自我”’中问题是含参数的一元一次不等式问题，题目要求根据“不等式的解是正数”的条件，求出参数a的范围。

解决这个问题需要先把字母a看作已知数，解关于x的一元一次不等式，然后再解关于a的一元一次不等式。

第五课时

一、教学目标

能根据简单实际问题中的不等关系，列出一元一次不等式并求出不等式的解，体会一元一次不等式的应用价值，提高分析问题和解决问题的能力。

二、教材分析

例3取材于一个真实的故事，例4是商店打折销售问题，这两个例子都来自生活实际，学生比较熟悉。

解决例3与例4的关键，是根据题目中相关量之间的不等关系正确列出不等式，从而把问题转化为解一元一次不等式的问题。

教师应引导学生寻找问题中的不等关系，并用不等号正确地将问题中的不等关系表达出来，这是建立不等式模型的关键。

在此之前，学生已有利用一元一次方程、二元一次方程和一次函数解决应用问题的体验，教学中，应使学生体会不等式与已有经验的联系和区别。

在例3、例4后，可以让学生编制有关一元一次不等式的实际问题，以进一步培养学生的数学应用意识和创新意识。

在本节练习第1题和习题6.2A组第6题中还设计了根据问题的实际意义确定不等式解集的问题，从而积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。

第六课时

一、教学目标

1、经历实际问题中不等关系的分析和抽象过程，了解一元一次不等式组及其解集的意义，理解一元一次不等式组与一元一次不等式的区别和联系。

2、会利用数轴确定一元一次不等式组的解集。

二、教材分析

对于本节开头给出的问题情境，教师应引导学生进行探索，由问题中蕴含的两个不等量关系，分别列出两个不等式。

必须使学生认识到，x只满足其中的一个不等式是不够的，二者必须同时满足，从而给出一元一次不等式组的定义。

教材通过具体例子让学生认识一元一次不等式组的概念，但没有写出一元一次不等式组的严格定义。

一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成了一元一次不等式组。

这里，“几个”是不确定的数，只要不是一个就行。

但应注意这几个一元一次不等式必须是关于同一个未知数的不等式。

对于一元一次不等式组的定义，不要求学生记忆，只要求学生在具体问题中会辨认它们即可。

不等式组的解集是比较抽象的概念，应通过其数轴表示，帮助学生认识和理解。

教学中，应结合例题继续强调不等号≥和＞，≤和＜的意义以及它们在数轴上直观表示的区别。

怎样确定不等式组的解集是本节教学难点，求一个不等式组的解集，实际上就是求不等式组中各个不等式的解集的交集。

通过例1、例2的教学，应使学生明确一元一次不等式组的步骤：

首先分别解其中的每一个一元一次不等式，然后用数轴确定一元一次不等式组的解集。

一般来说，由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组解集有四种情况，即教材第175页练习1中所列的四种情况，教师可以引导学生明确这四种情况。

第七课时

一、教学目标

1、能根据简单的实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式组并求解。

2、进一步感受数形结合思想的作用，培养学生分析问题和解决问题的能力。

二、教材分析

例3的设计意图，是让学生感受不等式组在现实生活中的应用，经历利用一元一次不等式组解决实际问题的过程，增强用数学的意识。

例3是反映现代社会生活的一个实际应用题。

教师应引导学生确定问题中的已知条件和未知条件，分析各个理量之间的关系，并找出不等关系列出不等式组。

同时通过例3，进一步熟悉解不等式组的方法和步骤，引导学生进一步体会运用不等式解决实际问题的基本过程。

例3中解决问题的过程，蕴含着数学建模思想。

第八课时

教学中，有学生回顾与总结本章的内容，思考并解答教材中提出的问题，开展小组或全班交流。

经过讨论达成共识，师生共同构建本章内容的框架结构图。