D.若x1>x2,则f(x1)>f(x2)
解析:
选A 根据演绎推理的特点知,演绎推理是一种由一般到特殊的推理,所以函数y=x3是增函数的大前提应是增函数的定义.
2.数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是( )
A.an=3n-2 B.an=n2
C.an=3n-1D.an=4n-3
解析:
选B 求得a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.
3.在平面直角坐标系内,方程+=1表示在x,y轴上的截距分别为a,b的直线,拓展到空间直角坐标系内,在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为( )
A.++=1B.++=1
C.++=1D.ax+by+cz=1
解析:
选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证.
4.(山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
解析:
选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.
5.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10=( )
A.18B.24
C.60D.90
解析:
选C 由a=a3a7得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),即2a1+3d=0.再由S8=8a1+d=32,得2a1+7d=8,则d=2,a1=-3.所以S10=10a1+d=60,选C.
6.已知结论:
“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则=2”.若把该结论推广到空间,则有结论:
“在棱长都相等的四面体ABCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”,则=( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选C 如图,设正四面体的棱长为1,则易知其高AM=,此时易知点O即为正四面体内切球的球心,设其半径为r,利用等积法有4××r=××⇒r=,故AO=AM-MO=-=,故AO∶OM=∶=3.
7.图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是 .
解析:
分别观察正方体的个数为:
1,1+5,1+5+9,…
归纳可知,第n个叠放图形中共有n层,构成了以1为首项,以4为公差的等差数列,
所以Sn=n+[n(n-1)×4]÷2=2n2-n,
所以S7=2×72-7=91.
答案:
91
8.对于命题:
若O是线段AB上一点,则|
|·
+|
|·
=0,将它类比到平面的情形是:
若O是△ABC内一点,则S△OBC·
+S△OCA·
+S△OBA·
=0,将它类比到空间的情形应该是:
若O是四面体ABCD内一点,则________________________________________________________________________.
解析:
根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,由线段类比到平面,平面类比到空间,由线段长类比为三角形面积,三角形面积再类比成四面体的体积,故可以类比为VOBCD·
+VOACD·
+VOABD·
+VOABC·
=0.
答案:
VOBCD·
+VOACD·
+VOABD·
+VOABC·
=0
9.(全国卷Ⅰ)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是______.
解析:
法一:
由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;
若丙的卡片上的数字是1和3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和2,不满足甲的说法.
故甲的卡片上的数字是1和3.
法二:
因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.
答案:
1和3
10.设函数f(x)=exlnx+,证明:
f(x)>1.
证明:
由题意知f(x)>1等价于xlnx>xe-x-.
设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx.
所以当x∈时,g′(x)<0;
当x∈时,g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减,在上单调递增,
从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.
设函数h(x)=xe-x-,则h′(x)=e-x(1-x).
所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h
(1)=-.
综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.
11.下面(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图.
(1)数出每个平面图的顶点数、边数、区域数,并将相应结果填入下表:
顶点数
边数
区域数
(a)
4
6
3
(b)
12
(c)
6
(d)
15
(2)观察上表,若记一个平面图的顶点数、边数、区域数分别为E,F,G,试推断E,F,G之间的等量关系;
(3)现已知某个平面图有2016个顶点,且围成2016个区域,试根据以上关系确定该平面图的边数.
解:
(1)
顶点数
边数
区域数
(a)
4
6
3
(b)
8
12
5
(c)
6
9
4
(d)
10
15
6
(2)E+G-F=1.
(3)边数F=E+G-1=2016+2016-1=4031.
12.△ABC是以B为直角顶点的直角三角形,AB=1,BC=2,D为BC的中点.直线l过点A且垂直于平面ABC,P是l上异于A的点(如右图).
(1)证明:
P在l上运动时,恒有∠BPD<∠BAD;
(2)证明:
P在l上运动时,∠CPD<∠CAD并不恒成立.
证明:
(1)由PA⊥平面ABC和CB⊥AB得CB⊥PB,
于是tan∠BPD=<=tan∠BAD,
而这两个角都是锐角,
∴∠BPD<∠BAD.
(2)∵∠CPD,∠CAD都是锐角,
∴∠CPD<∠CAD⇒cos∠CPD>cos∠CAD.
要证cos∠CPD>cos∠CAD不恒成立,
也就是只要证明存在点P,
使得cos∠CPD≤cos∠CAD成立.
令PA=x≠0,在Rt△PAB中,PB=,
在Rt△PBD中,PD==,
在Rt△PBC中,PC=,
在△PCD中,由余弦定理可得
cos∠CPD=,
在△ADC中,同理可求得cos∠CAD=,
故只要证明不等式
≤有非零解,
而上述不等式可化为x2≤3,显然有非零解,
故P在l上运动时,∠CPD<∠CAD并不恒成立.