初中函数知识点总结归纳.docx

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初中函数知识点总结归纳

函数知识点总结（掌握函数的定义、性质和图像）

（一）正比例函数和一次函数

1、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：

正比例函数一般形式y=kx（k不为零）

k不为零

x指数为1

b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

（1）解析式：

y=kx（k是常数，k≠0）

（2）必过点：

（0，0）、（1，k）

（3）走向：

k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

（4）增减性：

k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

（5）倾斜度：

|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

2、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：

一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）

k不为零

x指数为1

b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：

y=kx+b（k、b是常数，k

0）

（2）必过点：

（0，b）和（-

，0）

（3）走向：

k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限

直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限

直线经过第二、三、四象限

注：

y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k决定着直线的变化趋势

①k>0直线从左向右是向上的②k<0直线从左向右是向下的

2、b决定着直线与y轴的交点位置

①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交

（4）增减性：

k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：

|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移：

当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：

经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：

是先选取它与两坐标轴的交点：

（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

注：

对于y＝kx+b而言，图象共有以下四种情况：

1、k>0，b>02、k>0，b<03、k<0，b<04、k<0，b>0

4、直线y=kx＋b（k≠0）与坐标轴的交点．

（1）直线y=kx与x轴、y轴的交点都是（0，0）；

（2）直线y=kx＋b与x轴交点坐标为与y轴交点坐标为（0，b）．

5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

6、两条直线交点坐标的求法：

方法：

联立方程组求x、y

例题：

已知两直线y＝x+6与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？

7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两条直线平行：

k1=k2且b1

b2

（2）两直线相交：

k1

k2

（3）两直线重合：

k1=k2且b1=b2

平行于

轴（或重合）的直线记作

.特别地，

轴记作直线

8、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

9、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：

当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

10、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：

当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

11、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=

的图象相同.

（2）二元一次方程组

的解可以看作是两个一次函数y=

和y=

的图象交点.

12、函数应用问题（理论应用实际应用）

（1）利用图象解题通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.

（2）经营决策问题函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知题.

（二）反比例函数

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

取值范围：

　①k≠0;②在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

反比例函数的性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

　　2.k>0时，函数在x<0和x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0和x>0上同为增函数。

　　定义域为x≠0；值域为y≠0。

　　3.因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

　　4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2=|K|

5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。

　　7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2+4k·m≥（不小于）0。

（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）

　　8.反比例函数y=k/x的渐近线：

x轴与y轴。

　　9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.（第5点的同义不同表述）

　　10.反比例上一点m向x、y轴分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

　　11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

　12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

（三）二次函数

二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f（x）=ax^2+bx+c（a不为0）。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般式（已知图像上三点或三对

、

的值，通常选择一般式.）

　y=ax^2+bx+c（a≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b^2/4a）；

顶点式（已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.）

　　y=a（x+m）^2+k（a≠0,a、m、k为常数）或y=a（x-h）^2+k（a≠0,a、h、k为常数），顶点坐标为（-m，k）或（h,k）对称轴为x=-m或x=h，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式（已知图像与

轴的交点坐标

、

，通常选用交点式）

　　y=a（x-x1）（x-x2）[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]；

抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点

顶点

抛物线有一个顶点P，坐标为P（-b/2a，4ac-b^2/4a），当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

开口

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

（左同右异）

c的大小决定抛物线

与

轴交点的位置.

当

时，

，∴抛物线

与

轴有且只有一个交点（0，

）：

①

，抛物线经过原点;②

与

轴交于正半轴；③

与

轴交于负半轴.

直线与抛物线的交点

（1）

轴与抛物线

得交点为（0,

）.

（2）与

轴平行的直线

与抛物线

有且只有一个交点（

）.

（3）抛物线与

轴的交点

二次函数

的图像与

轴的两个交点的横坐标

、

，是对应一元二次方程

的两个实数根.抛物线与

轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点

抛物线与

轴相交；

②有一个交点（顶点在

轴上）

抛物线与

轴相切；

③没有交点

抛物线与

轴相离.

（4）平行于

轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为

，则横坐标是

的两个实数根.

（5）一次函数

的图像

与二次函数

的图像

的交点，由方程组

的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时

与

有两个交点;②方程组只有一组解时

与

只有一个交点；③方程组无解时

与

没有交点.

（6）抛物线与

轴两交点之间的距离：

若抛物线

与

轴两交点为

，由于

、

是方程

的两个根，故