运动的合成与分解 教案3.docx
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运动的合成与分解教案3
高一物理运动的合成与分解
［教材习题研讨］
1.解析：
速度分解的图示如图6－2－5.
图6－2－5
炮弹速度v的竖直分速度
vy=vsin60°=800×m/s=693m/s.
炮弹速度v的水平分速度
vx=vcos60°=800×m/s=400m/s.
答案：
水平分速度为693m/s,竖直分速度为400m/s.
方法点拨
速度分解遵循平行四边形定则.
2.解析：
据题意，无风时跳伞员着地的速度为v1，风的作用使他获得向东的速度为v2，有风时跳伞员着地的速度是v1和v2的合速度v，如图6－2－6所示.
图6－2－6
v==m/s=6.4m/s.
设竖直方向间的夹角为θ,则tanθ==0.8,θ=38.7°.
答案：
着地速度为6.4m/s.
←运动员的实际运动即为合运动.
3.解析：
如图6－2－7所示，因为炮弹有与船相同的由西向东的速度v1，击中目标时的速度v为v1与炮弹射出速度v2的合速度，所以射击方向（即v2的方向）应偏西一些.
图6－2－7
答案：
射击方向应该偏西一些.
←炮弹的实际运动为合运动，其方向指向目标.
4.解答：
如图6－2－8所示，A、B、C、D各点分别表示蜡块在t等于1s、2s、3s、4s时的位置.
图6－2－8
［教材优化全析］
（一）在直角坐标系中研究蜡块的运动
1.建立直角坐标系
运动开始时蜡块的位置为原点，水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向.
2.蜡块的位置
如图6－2－1所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右移动的速度设为vx.从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示
x=vxt y=vyt
图6－2－1
全析提示
用坐标来描绘物体的位置变化，是最准确的做法.
3.蜡块的运动轨迹
由以上两式可得：
y=
因为vy、vx都是常量，故y=代表的是一条过原点的直线.
蜡块的实际运动可以看成是水平的匀速运动和竖直的匀速运动合成的.
（二）运动的合成与分解
1.合运动与分运动
合运动就是物体的实际运动.一个运动又可以看作物体同时参与了几个运动，这几个运动就是物体实际运动的分运动，物体的实际运动（合运动）的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.
上例中蜡块的实际运动就是合运动.
2.运动的合成与分解
包括位移、速度、加速度的合成与分解，它们与力的合成与分解一样都遵守平行四边形定则：
由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成，则已知合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解.
研究运动的合成和分解，目的在于把一些复杂的运动简化为比较简单的直线运动，这样就可应用已经掌握的有关直线运动的规律，来确定一些复杂的曲线运动.
例如水平扔出的铅球做曲线运动，比较复杂，根据运动的合成与分解知识，可以把它分解为简单的运动以便于研究.
3.合运动和分运动的关系
（1）等时性：
合运动与分运动经历的时间相等.
例如，小船过河时，一方面小船随水流向下游运动；另一方面，小船相对水向对岸划行.当小船在下游某处到达对岸时，这两个分运动也同时结束.
（2）独立性：
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响.
例如，小船过河时，如果水流速度变大，只影响小船向下游的分运动，不影响小船的过河时间，即不影响向对岸划行的速度.
（3）等效性：
各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果.
要点提练
小船过河问题是典型的运动分解问题.理解小船过河的过程同时参与了两种运动，一是小船相对水的运动（即在静水中的运动），一是小船随水流的运动（水冲船的运动，可以认为船速等于水速），船的实际运动为合运动.
4.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们都是矢量，所以都遵循平行四边形定则.
（1）两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减.例如，竖直抛体运动看成是水平方向的匀速运动（v0t）和自由落体运动（gt2）的合成，下抛时，vt=v0+gt，x=v0t+gt2.上抛时，vt=v0－gt，x=v0t－gt2.
（2）不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图6－2－2所示：
图6－2－2
（3）两分运动垂直或正交分解后的合成
全析提示
一般情况下，研究上抛运动时，取向上为正，故a=－g；研究下抛运动时，取向下为正，故a=g.
a合=，x合=，x合=
5.互成角度的两个分运动的合运动的几种可能情况
（1）两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动.
（2）一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动.
要点提练
这几个方程仅适用于两个分运动互相垂直的情况.
（3）两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动.合运动的方向，即两个加速度合成的方向.
（4）两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动.当两个分运动的初速度的合速度方向，与两分运动的合加速度方向在同一直线上时，合运动为匀变速直线运动，否则，是匀变速曲线运动.
6.运动的分解是运动合成的逆过程
分解原则：
根据运动的实际效果分解或正交分解.
全析提示
理解并记住这几个结论，以便应用.
运动的合成与分解
［学习目标导航］
1.在一个具体问题中知道什么是合运动，什么是分运动.知道合运动和分运动是同时发生的，并且互不影响.
2.知道什么是运动的合成，什么是运动的分解.理解运动的合成与分解遵循平行四边形定则.
3.会用作图法和直角三角形知识解有关位移、速度的合成与分解问题.
4.培养对实验的观察能力和理论联系实际的能力.
学习提示
本节重点和难点是理解运动的合成与分解的思想与方法.
［自主学习互动］
1.曲线运动中速度的 是时刻改变的.质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向是沿曲线上这一点的 .因而做曲线运动的物体速度的方向 ，所以，曲线运动是一种 运动.
答案：
方向切线方向不断改变变速.
2.物体所受 的方向跟它的 不在同一直线上时，物体就做曲线运动.此时，加速度的方向与速度方向 同一直线上.
答案：
合力速度不在
3.矢量的合成与分解遵守 定则.
答案：
平行四边形
知识链接
通过运动的分解可以把复杂的运动，如曲线运动，分解成简单的运动来处理.这是处理复杂运动的一种很有效的方法.
●规律总结
合运动、分运动、运动的合成与分解
1.合运动与分运动
合运动指实际发生的运动，可以看成同时参入的几个运动的合效果.其中，同时参入的每一个运动，叫做分运动.
2.运动的合成与分解
由几个分运动求合运动叫做运动的合成；由合运动求分运动叫做运动的分解.
3.运动合成、分解的具体内容：
加速度、速度、位移的合成与分解.
4.合运动与分运动的关系
（1）等时性：
合运动与分运动经历的时间相等，它们在同一时间内发生.在上面提出的问题中，小船渡河用的时间，既可由合运动求解，又可以由分运动求解，即t=、t=、t=；
（2）等效性：
各分运动合成起来与合运动具有完全相同的效果.例如，一个以速度v做匀速运动的物体，可以看成v1、v2两个匀速运动的合运动，也可以看成v1′、v2′两个匀速运动的合运动.如图6-2-6；
图6-2-6
（3）独立性：
一个物体同时参入的几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响.如小船渡河时，所用的时间由垂直于河岸的分运动决定，即t=（v⊥表示垂直于河岸的速度分量），与水的流速没有关系，这就说明了顺流而下的分运动并没有影响垂直于河岸方向的另一个分运动.
运动合成与分解的方法与原则
1.将一个合运动分解为两个分运动的原则
（1）等效性原则：
这是检验对合运动分解是否正确的基本原则;
（2）解题方便的原则：
一个具体的运动，往往有多种分解方式，到底如何分解，应从所要解决的问题入手，解决问题最方便的方式就是最佳分解方式；
关于运动的分解，有正交分解和任意分解等不同的分解方式，无论哪一种分解方式，只要分运动被确定，然后作出加速度、速度、位移的平行四边形，剩下的问题就是利用数学知识解三角形，获得问题的解.
2.确立合运动轨迹的方法是建立轨迹方程
只要建立起两个分运动的运动学方程，如x=x（t）,y=y（t），消去参数t便得到在直角坐标系下的轨迹方程.如：
两个匀速直线运动x=vxt,y=vyt,消去时间t，得到y=x=kx（k=）,显然是一条直线的方程.
3.对“同时性”“分运动的独立性”和合运动的轨迹的理解
（1）分运动和合运动在同一过程中发生，并不是物体参入了一个分运动后又参入另一个分运动，因此合运动与分运动具有同时性;
（2）关于运动的独立性，确切的含义应该是：
每个分运动由在分运动方向上的合外力和初始条件决定.在将合运动分解时，物体受的合外力应作相应的分解.力的作用效果不能重叠使用.例如，将斜向上抛出的物体所做的匀变速曲线运动进行分解，若认为物体在竖直方向做自由落体运动，那么，在其他方向只能认为是匀速直线运动，否则，重力产生的效果就不只是产生重力加速度了，不符合事实；
（3）两个直线运动的合运动，不一定是直线运动.如两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动；两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动；两个初速度不为零的匀加速直线运动的合运动，可能是匀加速直线运动，也可能是匀加速曲线运动.
运动的合成与分解
●合作讨论
1.运动的合成与分解的具体内容是什么？
我的思路：
从描写机械运动的物理量入手思考：
因为分运动、合运动都要运用描写机械运动的物理量来描写它们的运动规律.所谓合成与分解的内容就是将与合运动或分运动对应的物理量进行合成或分解，从而明确每一种运动的规律和原因.
2.为什么要对运动合成或分解？
合运动与分运动的关系是什么？
我的思路：
（1）从人们研究机械运动的目的出发，从认识和解决实际问题的方法着眼思考：
人们研究机械运动的目的就是为了揭示或发现物体运动的规律，从中找出认识事物本质的方法和解决实际问题的方法.再结合一些具体事例便可体会到关于对运动合成或分解的具体意义.
（2）理解合运动和分运动的关系，要从合运动与分运动在时间上的关系、合运动与分运动在效果上的关系以及分运动与分运动之间的关系上思考.
3.怎样理解两个分运动各自独立互不影响？
我的思路：
从物体运动的原因，即力的独立作用原理出发，认识分运动的独立性.哪个方向的合外力和这个方向上的初始条件共同决定物体在该方向上的运动.如果在该方向上受力情况和初速度有确定的规律和确定的关系，那么物体在这一方向上的运动也随之确定.
●思维过程
1.对运动合成或分解的意义的理解：
（1）将复杂的运动化为简单的运动，将曲线运动化为直线运动来研究，便于发现运动的规律；
（2）便于运用已有的知识和方法简捷地解决问题；（3）对运动进行合成或分解是解决或认识问题的手段，而不是目的.
2.运动合成与分解的内容是：
（1）对描写机械运动的物理量——位移、速度、加速度和力进行合成分解；
（2）明确合运动与分运动的性质.
3.对运动合成或分解依据的运算法则：
矢量运算法则，即平行四边形法则.
4.运动分解的原则：
（1）等效性原则，两个分运动的效果与实际的合运动完全等效，可以互相替代；
（2）符合实际的原则，根据实际分运动的效果将合运动分解；（3）解题方便的原则，在不违背等效性原则的前提下，根据解题的需要灵活分解.
【例1】关于运动的合成与分解，以下说法正确的是（）
A.由两个分运动求合运动，合运动是唯一确定的
B.由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法
C.物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动
D.任何形式的运动，都可以用几个分运动代替
思路：
从运动合成或分解的法则——平行四边形法则出发思考，明确运动分解的意义、方法，可作出正确的判断.
答案：
ABD
【例2】一条河宽1000m，河水由西向东流，流速是2m/s，一船在静水中速度为1.5m/s，要将船从南岸划到北岸，求：
（1）若船头与正西方向成30°角，船渡河需要多长时间？
到达对岸时，船在下游多远处？
（2）要使船到达对岸所需时间最短，船头应与河岸成多大夹角，最短时间为多少？
思路：
从分运动与合运动等时性以及各分运动的独立性出发，可以明确渡河用的时间由垂直于河岸方向上的分运动决定，求出垂直于河岸的分速度vy，结合题中给的在vy方向上的位移y，可以求出渡河时间.河的宽度y=1000m是确定的，显然，当vy最大时，渡河时间最短.
答案：
（1）渡河需要1333s，船在下游934m处.
（2）船头应与河成41°31′角，最短时间是1007s.
●新题解答
【例3】关于运动的合成与分解，以下说法正确的是（）
A.一个匀加速直线运动，可以分解为两个匀加速直线运动
B.一个匀减速运动，可以分解为方向相反的匀速运动和初速度为零的匀加速直线运动
C.一个在三维空间中运动的物体，它的运动可以分解为在一个平面内的运动和在某一方向上的直线运动
D.一个静止的物体，它的运动可以分解为两个方向相反的匀速直线运动
解析：
A.如图6-2-1，人站在匀加速直线运动的扶梯上以加速度a斜向上运动，人的运动可以分解为水平方向以ax=acosθ做匀加速运动；竖直方向以ay=asinθ做加速运动，任一时刻的速度vx=vcosθ，vy=vsinθ.显然这样的两个分运动合成起来一定是人的实际运动，A正确.
图6-2-1
B.匀速运动v不变，s=vt;初速度为零的匀加速运动vt=at,s=at2.当一个物体同时参入方向相反的两个运动时，任一时刻速度vt=v0-at,s=v0t-at2,显然这是一个匀减速直线运动，B正确.
C.杂技演员在一个可以升降的平台上骑独轮车做圆周运动，这个杂技演员的运动可以看成在水平面上的曲线运动和在竖直方向的直线运动的合成，C正确.
D.只要两个相反方向的直线运动的速度大小总相等，物体一定保持静止状态，D正确.
点评：
本题旨在考查对分运动与合运动关系的理解，针对实际问题如何将一个合运动分解为两个分运动，如何判断两个分运动与合运动的等效性.
答案：
ABCD
【例4】如图6-2-2所示，货车正在以a1=0.1m/s2的加速度启动.同时，一只壁虎以v2=0.2m/s的速度在货车壁上向上匀速爬行.试求：
图6-2-2
（1）经过2s时，地面上的人看到壁虎的速度大小和方向；
（2）经过2s的时间壁虎相对于地发生的位移；
（3）壁虎做直线运动还是曲线运动？
解析：
（1）壁虎同时参入了相对于车向上的匀速运动和随车一起向左的匀加速直线运动.经过2s时，壁虎向上运动的速度vy=v2=0.2m/s，随车运动的速度vx=v1=a1t=0.2m/s,如图6-2-3所示，壁虎运动的合速度在t=2s末，大小为v==m/s=0.2m/s,tanα===1,壁虎速度方向在该时刻与水平方向成45°角.
图6-2-3图6-2-4图6-2-5
（2）如图6-2-4，在汽车启动后2s这段时间内，壁虎的水平位移x=at2=0.2m,竖直位移y=vyt=0.4m，壁虎相对地面发生的位移s==0.45m，与水平方向所成的角θ=arctan2.
（3）由上面分析知x=at2=0.05t2,y=0.2t,消去时间t，得x=1.25y2，是一条如图6-2-5所示的抛物线，所以壁虎做曲线运动，或者用初速度与加速度方向垂直的关系，也可以判断出壁虎的运动轨迹是曲线.
点评：
本题的作用主要是考查学生对“由分运动求合运动”的法则掌握的熟练程度，以及对“分运动所构成的合运动”的情景的理解.
答案：
（1）0.28m/s,与水平方向成45°角；
（2）0.45m，与水平方向所成的角是arctan2;
（3）壁虎做曲线运动，轨迹是一条抛物线:
x=1.25y2.
［典型例题探究］
【例1】设一条河宽L，水流速度为v1,船在静水中的速度为v2.那么：
图6－2－3
（1）怎样渡河时间最短？
最短时间是多少？
解析：
（1）如图6－2－3甲所示，设船头斜向上游与河岸成θ角，这时船速在y方向的速度分量为v2y=v2sinθ，渡河所需时间为：
t=.
可以看出：
在L与v2一定时，t随sinθ的增大而减小；当θ=90°时，sinθ=1（最大），所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且为.
答案：
船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且为；
（2）若v1＜v2,怎样渡河航程最短？
解析：
（2）如图6－2－3乙所示，为了使船渡河的航程最短，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，这时船头指向上游，并与河岸成一定的角度θ，则有：
cosθ=，
所以θ=cos－1（）
因为0≤cosθ≤1，所以只有在v1＜v2时，船才有可能垂直河岸渡河.
答案：
当船头指向上游且与河岸成夹角θ=cos－1（）时，船垂直河岸渡河.
（3）若v1＞v2,怎样渡河船漂下的距离最短？
解析：
当v1＞v2，则不论船向如何，总被水流冲向下游.如图6－2－3丙所示，设船头（v2）与河岸成θ角，合速度v与河岸成α角，可以看出：
α角越大，船漂下的距离x越短.那么，在什么条件下α角最大呢？
以v1的箭尾为圆心，以v2的大小为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大.根据cosθ=得船头与河岸的夹角应为：
θ=cos－1（）
船漂的最短距离由得
xmin=·L.
答案：
当船头与河岸成夹角θ=cos－1（）时，船漂的距离最短
xmin=·L.
规律发现
由于运动的独立性原理，水流方向沿河岸，与过河时间无关，过河时间只与船的实际速度沿垂直河岸方向的分量有关.因此要船最短时间过河，船头应垂直指向对岸，但船的航线并不垂直指向对岸.
总之，对于船过河这类问题，一般记住两个结论：
①要使过河时间最短，则垂直河岸方向的分速度须最大；②要能垂直到达对岸，则合速度须垂直河岸.
【例2】在一无风的雨天，雨滴竖直下落至地表的速度v1=8m/s，一辆汽车以v2=6m/s的速度匀速行驶.求车上的人看到雨滴的速度大小与方向.
解析：
如图6－2－4所示，当观察者处于汽车上时，观察到雨滴同时参与两个分运动，一是竖直下落运动，二是朝向汽车的运动.此运动的速度v2′与v2大小相等、方向相反，所以雨滴相对汽车的速度v为v1、v2的合速度.
图6－2－4
v==m/s=10m/s
设v与竖直方向的夹角为α.
则tanα=
所以α≈37°.
答案：
10m/s与竖直方向夹角为37°偏向后
找出合运动，然后利用合运动与分运动的关系求解即可.
●变式练习
1.小船在静水中的速度是v0，现小船要渡过一河流，渡河时小船向对岸垂直划行，已知河中心附近流速增大，由于河水流速的变化，渡河时间将（）
A.增大B.减小C.不变D.不能确定
答案：
C
2.某人站在自动扶梯上，经t1时间从一楼升到二楼，如果自动扶梯不动，人沿着扶梯从一楼走到二楼的时间为t2.现使自动扶梯正常运动，人也以原有速度沿扶梯向上走，则从一楼到二楼的时间为（）
A.t2-t1B.t1t2/（t2-t1）C.t1t2/（t1+t2）D.
答案：
C
3.在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2,战士救人的地点A离岸最近处O点的距离为d.如果战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（）
A.B.0C.D.
答案：
D
4.站在以ω=5rad/s绕竖直轴转动的平台上的人，距转轴2m，他用玩具枪水平射击轴上的目标，子弹射出时的速度为20m/s.若要击中目标，瞄准的方向应与该处的线速度方向成_____夹角，子弹射出后经_____s击中目标（取两位有效数字）.
答案：
120°0.12
5.玻璃生产线上，宽9m的成型玻璃板以2m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚石刀的走刀速度是10m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚石刀的切割轨道应如何控制？
切割一次的时间有多长？
答案：
.0.9s
6.一架飞机沿仰角30°方向斜向上做匀加速直线运动，初速度是100m/s，加速度是10m/s2,经过4s后，飞机在竖直方向上上升多少？
答案：
240m
7.雨滴以8m/s的速度竖直下落，雨中骑自行车的人感到雨点与竖直方向成30°角迎面打来，那么骑自行车的人的速度大小为多少？
答案：
m/s
［知识应用自测］
1.关于两个分运动的合成，下列的论述正确的是（）
A.两匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
B.两个直线运动的合运动一定是直线运动
C.合运动的速度一定大于两个分运动的速度
D.合运动的位移大小可能小于分运动的位移大小
解析：
A项中a=0，合速度恒定，所以A对.两个直线运动合成后a与v有夹角，则物体做曲线运动，B错.由平行四边形定则画图可知C错，D对.
答案：
AD
思路导引
←考查合运动与分运动的关系.
2.如果两个分运动的速度大小相等，且为定值，则下列论述中正确的是（）
A.当两个分速度夹角为零度时，合速度最大
B.当两个分速度夹角为90°时，合速度最大
C.当两个分速度夹角为120°时，合速度大小与每个分速度大小相等
D.当两个分速度夹角为120°时，合速度大小一定小于分速度大小
解析：
由平行四边形定则将v1、v2合成可知A、C对.
答案：
AC
←平行四边形定则的应用.
3.某人站在自动扶梯上，经过t1时间从一楼升到二楼，如果自动扶梯不运动，人沿着扶梯从一楼走到二楼的时间为t2.现使自动扶梯正常运动，人也保持原有速度沿扶梯向上走，则人从一楼到二楼的时间是（）
A.t2－t1B.C.D.
解析：
扶梯运动的速度，v1=,人运动的速度v2=，所求情况下的速度v3=v1+v2,所以t==.
答案：
C
←两次位移相同，且第三次时人的实际运动速度为两个分速度之和.
4.小船在静水中速度是v，今小船要过河，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至河中央时，水流速度增大，则渡河时间将（）
A.增大B.减少C.不变D.不能断定
解析：
沿河方向的速度对垂直方向的运动没有影响，所以C正确.
答案：
C
←考查对分运动之间关系的理解.
5.竖直上抛运动，可以看作向上的匀速运动和自由落体运动的合运动，则下列论述正确的是（）
A.当两个分运动的合速度为零时，物体上升到最高点
B.当两个分运动的合位移为零时，物体上升到最高点
C.当向上的匀速运动的速度大于向下的自由落体分运动的速度时，物体向上运动
D.当物体向上的匀速运动的速度小于向下的自由落体分运动的速度时，物体一定在抛出点的下方
解析：
合运动是物体的实际运动，v合=0,则物体在最高点，v合向上,物体向上运动，反之向下运动，s合=0，物体在抛出点，s合＜0,物体在抛出点下方.
答案：
AC
←考查合运动与分运动的关系.
6.降落伞在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时，某跳伞员着地速度是4m/s,现在由于有水平向东的风的影响，跳伞员着地的速度变为5m/s.那么，
（1）跳伞员着地时速度的方向怎样？
解析：
见第
（2）小题解析
答案：
与竖直方向成37°角
（2）风速为多少？
解析：
如图6－2－9所示，跳伞运动员落地速度应是降落速度4m/s与风速v的合速度，所以v风=v合2－v降2=3m/s.
v合与竖直向下的方向夹角为
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