全国中考数学压轴题解析汇编浙苏赣皖湘鄂省会.docx
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全国中考数学压轴题解析汇编浙苏赣皖湘鄂省会
【2013·杭州·22题】
（1）先求解下列两题：
①如图①，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；
②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B、C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数y=
（x＞0）的图象经过点B、D，求k的值。
（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？
请简单写出。
解：
（1）①∵在△ADE中，∠EDM=∠A+∠AED
∴∠AED=∠EDM-∠A
∵CD=DE
∴∠AED=∠DCE
∴∠DCE=∠EDM-∠A
∵在△ACD中，∠DCE=∠A+∠ADC
∴∠ADC=∠DCE-∠A
=∠EDM-2∠A
∵BC=CD
∴∠ADC=∠DBC
∴∠DBC=∠EDM-2∠A
∵在△ABC中，∠DBC=∠A+∠ACB
∴∠ACB=∠DBC-∠A
=∠EDM-3∠A
∵AB=BC
∴∠A=∠ACB
∴∠A=∠EDM-3∠A
∴∠A=
∠EDM
∵∠EDM=84°
∴∠A=21°
②∵点B在反比例函数图象上，且横坐标为3
∴可设点B的坐标为（3，
）
∵C的横坐标是3，且BC=2
∴点C的坐标为（3，
）
∵D的横坐标为1，且AC∥x轴
∴点D的坐标为（1，
）
∵点D在反比例函数图象上
∴1·（
）=k
∴k=3
（2）两小题的共同点是：
用已知的量通过一定的等量关系去表示未知的量，建立方程解答问题
【2013·杭州·23题】如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积为S1.
（1）求证：
∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，y=
。
①求y关于x的函数解读式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值。
解：
（1）过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H。
∵AC是正方形ABCD的对角线
∴∠HPC=∠HCP=45°
∵∠EPF=45°
∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90°
∵∠PHF=90°
∴∠CFP+∠HPF=90°
∴∠APE=∠CFP
（2）①∵P是正方形ABCD的对称中心，边长为4
∴PH=GP=2，AP=CP=2
∵CF=x∴S△PFC=
CF·PH=x
∴S2=2S△PFC=2x
∵∠APE=∠CFP，∠PAE=∠PCF=45°
∴△APE∽△CFP
∴
∴AE=
=
=
∴S△APE=
AE·GP=
∵S△ABC=
AB·BC=8
∴S四边形BFPE=S△ABC-S△APE-S△PFC=8-
-x
∴S1=2S四边形BFPE=16-
-2x
∴y=
=
∵点F在BC边上，点E在AB边上，且∠EPF=45°
∴2≤x≤4
∵y=
∴当
，即x=2时，y有最大值，最大值为1
②因为两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，要使其关于点P成中心对称，则两块阴影部分图形还要关于直线BD成轴对称，此时BE=BF
∴AE=CF
则
=x，得x=2
或-2
（舍去）
∴x=2
∴y=
=2
-2
【2013·南京·26题】已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a、m为常数，且a≠0）。
（1）求证：
不论a与m为何值，该函数与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。
①当△ABC的面积等于1时，求a的值；
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。
解：
（1）当y=0时，a（x-m）2-a（x-m）=0
∵a≠0
∴x2-（2m+1）x+m2+m=0
∵Δ=（2m+1）2-4（m2+m）
=4m2+4m+1-4m2-4m
=1＞0
∴方程a（x-m）2-a（x-m）=0恒有两个不相等的实数根
故，不论a与m为何值，该函数与x轴总有两个公共点
（2）由y=a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0
解得：
x=m或m+1
∴点A的坐标为（m，0）
点B的坐标为（m+1，0）
∴AB=m+1-m=1
①由y=a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m-
）2-
a得
顶点C的坐标为（m+
，-
a）
∵△ABC的面积等于1
∴
·1·|-
a|=1
∴a=±8
②∵当x=0时，y=am2+am
∴点D的坐标为（0，am2+am）
∴S△ABD=
·1·|am2+am|
=
|am2+am|
=
|a|·|m2+m|
由①可得S△ABC=
·1·|-
a|=
|a|
∵S△ABC=S△ABD
∴
|a|·|m2+m|=
|a|
∵a≠0
∴|m2+m|=
当m2+m=
时，m2+m-
=0
解得m=
或
当m2+m=-
时，m2+m+
=0
解得m=
∴m=
或
或
【2013·南京·27题】对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。
例如，如图①，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，因此△ABC与△A’B’C’互为顺相似；如图②，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC与△A’B’C’互为逆相似。
（1）根据图I、图II和图III满足的条件，可得到下列三对相似三角形：
①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ。
其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是（填写所有符合要求的序号）
（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与点A、B、C重合）。
过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC逆相似。
请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由。
解：
（1）根据定义，结合图形和条件可知，互为顺相似的是①②；互为逆相似的是③。
（2）由题意，分以下三种情况：
第一种情况：
当P在BC边上时，过点P能画出两条截线PQ1、PQ2，使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此时，△PQ1C、△PBQ2均与△ABC互为逆相似。
第二种情况：
当P在AC边上时，作∠CBM=∠A，BM交AC于M。
当点P位于AM上（不含M）时，过点P1能画出一条截线P1Q1，使∠AP1Q1=∠ABC，此时，△AP1Q1与△ABC互为逆相似。
当点P位于CM上时，过点P2能画出两条截线P2Q2、P2Q3，使∠CP2Q2=∠CBA，∠AP2Q3=∠CBA，此时，△CP2Q2、△AP2Q3均与△ABC互为逆相似。
第三种情况：
当P在AB边上时，作∠BCD=∠A，CD交AB于D，作∠ACE=∠B，CE交AB于E。
当P在AD上（不含D）时，过点P1能画出一条截线P1Q1，使∠AP1Q1=∠ACB，此时，△AQ1P1与△ABC互为逆相似。
当P在DE上时，过点P2能画出两条截线P2Q2、P2Q3，使∠AP2Q2=∠ACB，∠BP2Q3=∠ACB，此时，△AQ2P2、△Q3BP2均与△ABC互为逆相似。
当P在BE上（不含E）时，过点P3能画出一条截线P3Q4，使∠BP3Q4=∠ACB，此时，△Q4BP3与△ABC互为逆相似。
【2013·合肥·22题】某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到了一种成本20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表示。
销售量p（件）
p=50-x
销售单价q（元/件）
当1≤x≤20时，q=30+
x
当21≤x≤40时，q=20+
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）在40天中该网店第几天获得的利润最大？
最大利润是多少？
解：
（1）当1≤x≤20时，q=
解得x=10
当21≤x≤40时，q=
解得x=35
故，第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件。
（2）由题意得，y=p（q-20），则
当1≤x≤20时
y
当21≤x≤40时
y
∴利润y关于x的函数关系式为：
（3）当1≤x≤20时，
∴当x=15时，y有最大值为612.5
当21≤x≤40时，由y
知，y随x的增大而减小
∴当x=21时，y有最大值，此时最大值为
∵612.5＜725
∴在这40天中，第21天时获得的利润最大，最大利润为725元。
【2013·合肥·23题】我们把有不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”，如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，其中∠B=∠C
（1）在图1所示“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：
；
（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E,若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？
若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？
写出你的结论。
（不必说明理由）
解：
（1）如下图所示
（2）∵AE∥CD，AB∥ED
∴∠AEB=∠C，∠B=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
∴
∵∠B=∠C
∴∠AEB=∠B
∴AB=AE
∴
（3）当点E在四边形ABCD内部时，四边形ABCD是“准等腰梯形”。
理由如下：
过点E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H。
∵AE平分∠BAD
∴EF=EG
∵ED平分∠ADC
∴EG=EH
∴EF=EH
∵EB=EC
∴Rt△BFE≌Rt△CHE
∴∠FBE=∠HCE
∵EB=EC
∴∠EBC=∠ECB
∴∠FBE+∠EBC=∠HCE+∠ECB
∴∠ABC=∠DCB
∵AD不平行于BC
∴四边形ABCD是“准等腰梯形”
当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：
一、当点E在边BC上时，四边形ABCD为“准等腰梯形”
二、当点E在四边形ABCD的外部时，四边形ABCD为“准等腰梯形”
【2013·武汉·24题】已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G。
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：
；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：
当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得
成立？
并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，请直接写出
的值。
解：
（1）∵DE⊥CF，即∠DGF=90°
∴∠ADE+∠CFD=90°
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠CDF=90°
∴∠ADE+∠AED=90°
∴∠AED=∠CFD
∴△AED∽△DFC
∴
（2）当∠B+∠EGC=180°时，
成立。
证明如下：
∵∠CGD+∠EGC=180°
∴∠B=∠CGD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠CDF
∴∠CGD=∠CDF
∵∠DCG=∠FCD（公共角）
∴△CDG∽△CFD
∴
∵AB∥CD
∴∠A+∠B=180°
∴∠A=∠EGC
∵∠DGF=∠EGC（对顶角）
∴∠A=∠DGF
∴∠ADE=∠GDF（公共角）
∴△ADE∽△GDF
∴
∴
∴
（3）
=
。
解读如下：
连接AC、BD交于H。
由已知条件，易证AC⊥BD，AH=CH
∵在四边形AEGF中，∠BAD=90°，∠EGF=90°
∴∠AEG+∠AFG=180°
∵∠AEG+∠BED=180°
∴∠BED=∠AFG
易证∠EBD=∠FAC
∴△BED∽△FAC
∴
=
在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD=10，由面积相等AB·AD=BD·AH可求得AH=
，则AC=
∴
=10÷
=
【2013·武汉·25题】如图，点P是直线l：
y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点。
（1）若直线m的解读式为y=-
，求A、B两点的坐标；
（2）①若点P的坐标为（-2，t），当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；
②试证明：
对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA=AB成立。
（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标。
解：
（1）联立抛物线和直线m的解读式得
x2=-
，即2x2+x-3=0
解得x=1或
∵当x=1时，y=1；当x=
时，y=
∴点A坐标为（
，
），点B坐标为（1，1）
（2）①∵点P（-2，t）在直线l：
y=-2x-2上
∴t=2，即P（-2，2）
可设直线m的解读式为y=kx+2k+2
联立抛物线解读式有：
x2-kx-2k-3=0
设A（x1，x12），B（x2，x22），则x1+x2=k，x1x2=-2k-3
∵PA=AB∴2x1=x2-2
上述三式消去k和x2得，x12+4x1+3=0
解得x1=-1或-3
∴点A坐标为（-1，1）或（-3，9）
②设P（n，-2n-2），A（a，a2），过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为P’、A’、B’。
∵PA=AB∴AA’是梯形PP’B’B的中位线
∴P’A’=A’B’，2AA’=PP’+BB’
∴a-n=xB-a，2a2=-2n-2+yB
∴B（xB，yB）即（2a-n，2a2+2n+2）
代入抛物线解读式得：
2a2+2n+2=（2a-n）2=4a2+4an+n2
即2a2+4an+n2-2n-2=0
∵Δ=16n2-8（n2-2n-2）=8n2+16n+16=8（n+1）2+8＞0
∴对于任意的n，关于a的方程总有两个不相等的实数根，即对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到两个满足条件的点A。
（3）∵△AOB的外心在边AB上∴∠AOB=90°
过点A、B作x轴的垂线，垂足为E、F。
易证得△AEO∽△OFB，则
设A（r，r2），B（t，t2），其中r＜0，t＞0，则OE=-r，AF=r2，OF=t，BF=t2
∴-rt=r2t2，得rt=-1
设直线m的解读式为y=kx+b，，联立抛物线解读式可得x2-kx-b=0，由韦达定理得，rt=-b
∴b=1，则点D坐标为（0，1）
由直线l：
y=-2x-2得，点C坐标为（0，-2）
∴DC=3
∵∠BPC=∠OCP∴DP=DC=3
设点P坐标为（n，-2n-2），过点P作PK⊥y轴于K，则PK=|n|，DK=|-2n-3|
∵PK2+DK2=DP2=9
∴n2+（-2n-3）2=9，即5n2+12n=0
∴n=0（舍去）或
则-2n-2=-2×（
）-2=
∴点P坐标为（
，
）
【2013·长沙·25题】设a、b是任意两个不等实数，我们规定：
满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]。
对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：
当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”。
（1）反比例函数y=
是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？
请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解读式；
（3）若二次函数y=
是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a、b的值。
解：
（1）反比例函数y=
是闭区间[1，2013]上“闭函数”，理由如下：
∵当x=1时，y=2013；当x=2013时，y=1
且函数y=
在闭区间[1，2013]上，y随x的增大而减小
∴当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合“闭函数”定义，故是闭函数。
（2）分如下两种情况：
①当k＞0时，y随x的增大而增大
由题意知，当x=m时，y=km+b=m
当x=n时，y=kn+b=n
解此方程组得：
k=1，b=0
∴函数解读式为y=x
②当k＜0时，y随x的增大而减小
由题意知，当x=m时，y=km+b=n
当x=n时，y=kn+b=m
解此方程组得：
k=-1，b=m+n
∴函数解读式为y=-x+m+n
（3）由y=
=
知，二次函数开口向上，对称轴为x=2，最小值为
，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。
①当b≤2时，y随x的增大而减小，则
当x=a时，y=
=b……（i）
当x=b时，y=
=a……（ii）
（i）-（ii）并整理得：
（a-b）（a+b+1）=0
∵a≠b∴a+b+1=0……（iii）
解（i）（iii）方程组的得
或
∵a＜b∴
②当a＜2＜b时，此时，a=
，而由“闭函数”定义，对于b，则有如下两种可能：
即b=
=
＜2，故不可能
或
=b，即
解得b=
或
（舍去）
∴a=
，b=
③当a≥2时，y随x的增大而增大，则
当x=a时，y=
=a
当x=b时，y=
=b
即a、b是方程
的两个根
解得a=
＜2，b=
，故舍去
综上可得，
或
【2013·长沙·26题】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴、y轴交于点A、B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（垂足为M、N）分别与直线AB相交于点E、F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2.
（1）求∠OAB的度数；
（2）求证：
△AOF∽△BEO；
（3）当点E、F都在线段AB上时，由三条线段AE、EF、BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2。
试探究：
S1+S2是否存在最小值？
若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。
解：
（1）由y=-x+2知，
∵当x=0时，y=2∴B（0，2），即OB=2
∵当y=0时，x=2∴A（2，0），即OA=2
∵OA=OB∴△AOB是等腰直角三角形
∴∠OAB=45°
（2）∵EM∥OB∴
∵FN∥OA∴
∴AF·BE=
ON·
OM=2OM·ON
∵矩形PMON的面积为2∴OM·ON=2
∴AF·BE=4
∵OA·OB=4
∴AF·BE=OA·OB，即
∵∠OAF=∠EBO=45°
∴△AOF∽△BEO
（3）易证△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形
∵AM=EM=2-a∴AE2=2（2-a）2=2a2-8a+8
∵BN=FN=2-b∴BF2=2（2-b）2=2b2-8b+8
∵PF=PE=a+b-2
∴EF2=2（a+b-2）2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8
∵ab=2∴EF2=2a2+2b2-8a-8b+16
∵EF2=AE2+BF2
∴由线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆面积为：
S1=
EF2=
·2（a+b-2）2=
（a+b-2）2
∵S梯形OMPF=
（PF+OM）·PM
S△PEF=
PF·PE，S△OME=
OM·EM
∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME
=
（PF+OM）·PM-
PF·PE-
OM·EM
=
[PF·（PM-PE）+OM·（PM-EM）]
=
（PF·EM+OM·PE）
=
PE·（EM+OM）
=
（a+b-2）（2-a+a）
=a+b-2
∴S1+S2=
（a+b-2）2+（a+b-2）
设m=a+b-2，则S1+S2=
m2+m=
（m+
）2-
∵面积之和不可能为负数
∴当m＞-
时，S1+S2随m的增大而增大
∴当m最小时，S1+S2就最小
∵m=a+b-2=a+
-2=（
）2+2
-2
∴当
，即a=b=
时，m最小，最小值为2
-2
∴S1+S2的最小值=
（2
-2）2+2
-2
=2（3-2
）π+2
-2
【2013·南昌·24题】某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）：
①AF=AG=
AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME。
（2）数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？
请给出证明过程；
（3）类比探究：
（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状。
答：
（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使
（2）中的结论仍然成立，你认为应添加一个什么样的条件？
（限用题中字母表示）并说明理由。
解：
（1）正确结论为①②③。
（2）MD=ME。
证明如下：
过点D作DF⊥AB于F，连接FM；过点E作EG⊥AC于G，连接GM。
∵△ABD为等腰直角三角形，DF⊥AB
∴F为AB的中点，且DF=
AB
同理可证，G为AC的中点，且EG=
AC
∵M为BC的中点∴FM∥AC，且FM=
AC
同理可证，GM∥AB，GM=
AB
∵FM∥AC，GM∥AB
∴四边形AFMG是平行四边形
∴∠AFM=∠AGM
∵∠AFD=∠AGE=90°
∴∠DFM=∠MGE
∵FM=EG=
AC，DF=GM=
AB
∴△DFM≌△MGE∴MD=ME
（3）（i）△MED是等腰直角三角形。
证明方法与
（2）相同，得△DFM≌△MGE
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG
令DF与MG交于K，MG∥AB，DF⊥AB
则DF⊥MG，即∠MKD=90°
∴∠DME=90°
∴△MED是等腰直角三角形
（ii）当∠ABD=∠ACE时，结论MD=ME仍然成立。
取AB的中点F，连接DF，MF；取AC的中点G，连接EG，MG。
则DF=
AB，EG=
AC
与
（2）同理，DF=MG，FM=EG，∠BFM=∠CGM
∵BF=DF∴△BDF是等腰三角形
∵CG=EG∴△CEG是等腰三角形
∵∠ABD=∠ACE，即∠FBD=∠GCE
∴∠BFD=∠CGE
∵∠DFM=∠BFM-∠BFD
∠MGE=∠CGM-∠CGE
∴∠DFM=∠MGE
∴△DFM≌△MGE（SAS）∴MD=ME
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