精品第二十七章《相似三角形》精品全章导学案.docx

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精品第二十七章《相似三角形》精品全章导学案

九年级下数学NO：

1主备人：

李勤审核人：

银波授课人：

第周星期第组学生预习评价：

整理评价

27.1.图形的相似

（一）

一、学习目标

1.理解并掌握两个图形相似的概念．2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比．

二、课堂引入

1．

（1）请同学们先观察第27章章头图，他们的形状、大小有什么关系．

（2）相似图形概念：

______________________________________________

（3）让同学们再举几个相似图形的例子．

2．两条线段的比：

两条线段的比，就是__________________________________．

3．成比例线段：

对于四条线段a,b,c,d，如果其中____________________________相等，如

（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

【注意】

（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；

（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作

或a:

b=c:

d；（4）若四条线段满足

，则有ad=bc．

三、例题讲解

例1（补充：

选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）

例2（补充）一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？

（1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？

（2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？

例3（补充）已知：

一张地图的比例尺是1:

32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？

分析：

根据比例尺=

，可求出北京到上海的实际距离．

解：

答：

北京到上海的实际距离大约是___________km．

四、课堂小结

五．当堂检测

1．观察下列图形，指出哪些是相似图形：

相似图形：

_____和______

_____和______

_____和______。

2．下列说法正确的是（）

A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.

B．商店新买来的一副三角板是相似的.

C．所有的课本都是相似的.

D．国旗的五角星都是相似的.

3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，

（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm；

（大）长是_______cm，宽是_______cm；

（2）（小）

；（大）

．

（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？

4、填空题

形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。

4．在比例尺是1:

8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？

5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？

九年级下数学NO：

2主备人：

李勤审核人：

银波授课人：

第周星期第组学生预习评价：

整理评价

27.1图形的相似

（二）

一、教学目标

1．知道相似多边形的主要特征，即：

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．

二、重点、难点

1．重点：

相似多边形的主要特征与识别．

2．难点：

运用相似多边形的特征进行相关的计算．

三、探索新知

1、观察图片，体会相似图形性质

（1）图27.1-4

（1）中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？

对应边又有什么关系呢？

（2）对于图27.1-4

（2）中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？

（3）什么叫成比例线段？

2、如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．

问题：

对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．

3．【结论】：

（1）相似多边形的特征：

相似多边形的对应角______，对应边的比_______．

反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：

在⊿ABC和⊿A1B1C1中

若

，

则⊿ABC和⊿A1B1C1相似

（2）相似比：

相似多边形________的比称为相似比．

问题：

相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？

结论：

相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．

四、例题讲解

例1.已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:

B1C1:

C1D1:

D1A1=7:

8:

11:

14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．

分析：

因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．

解：

例2（选择题）下列说法正确的是（）

A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似

C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似

五、课堂练习

1．在比例尺为1﹕10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离．

2．如图所示的两个五边形相似，求未知边

、

、

、

的长度．

3．（选择题）△ABC与△DEF相似，且相似比是

，则△DEF与△ABC与的相似比是（）．

A．

B．

C．

D．

4．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（）

（1）两个半径不相等的圆；

（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；

（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．

A．3个B．4个C．5个D．6个

5．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？

6．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．

7．如图，一个矩形ABCD的长AD=acm，宽AB=bcm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:

b的值．（

:

1）

九年级下数学NO：

3主备人：

李勤审核人：

银波授课人：

第周星期第组学生预习评价：

整理评价

27.2.1相似三角形的判定

（一）

教学目的:

（1）会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△

;

（2）知道当△ABC与△

的相似比为k时，△

与△ABC的相似比为1/k．

（3）理解掌握平行线分线段成比例定理

重点、难点

教学重点:

理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．

教学难点:

掌握平行线分线段成比例定理应用．

一、知识链接

1、相似多边形的主要特征是什么？

2、相似三角形有什么性质？

二合作探究

1．在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．

在△ABC与△A′B′C′中，

如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且

．

我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，

则有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,且

．

2．问题：

如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？

明确：

（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。

（2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△

;

（3）当△ABC与△

的相似比为k时，△

与△ABC的相似比为1/k．

活动1：

（1）如图27.2-1）,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.分别量度l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?

任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?

（2）问题，AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF．强调“对应线段的比是否相等”

（3）归纳总结：

平行线分线段成比例定理：

三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。

应重点关注：

平行线分线段成比例定理中相比线段同线；

练习1：

如图，若AB=3cm，BC=5cm，EK=4cm，写出

=_____=_____，

____=______。

求FK的长?

4）活动2平行线分线段成比例定理推论

1、如图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，所得的对应线段的比会相等吗？

依据是什么？

2、如果把图2中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，所得的对应线段的比会相等吗？

依据是什么？

3、归纳总结：

平行线分线段成比例定理推论：

_______________.

三.练习巩固

1如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

四、当堂检测

1．如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．

九年级下数学NO：

4主备人：

李勤审核人：

银波授课人：

第周星期第组学生预习评价：

整理评价

27.2.1相似三角形的判定

（二）

一、学习目标

1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程．

2．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．

二、重点、难点

1．重点：

相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．

2．难点：

三角形相似的预备定理的应用．

三知识链接

（1）相似多边形的主要特征是什么？

（2）平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？

四、探索新知．

1问题：

如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？

边呢？

2思考:

如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E。

（1）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？

为什么？

（2）△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？

由“DE∥BC”的条件可得到哪些线段的比相等？

（3）根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？

（作辅助线EF∥AB）

你能证明AE:

AC=DE:

BC吗？

（4）写出△ABC∽△ADE的证明过程。

（5）、归纳总结：

判定三角形相似的（预备）定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。

五、例题讲解

例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．

（1）写出对应边的比例式；

（2）写出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．

解：

六、课后检测

1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）

A．两个直角三角形B．两个钝角三角形C．两个等腰三角形D．两个等边三角形

2、如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:

EA=2:

3，EF=4，求CD的长．

3．如图，DE∥BC，

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:

BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

4、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．（设网球是直线运动）

九年级下数学NO：

5主备人：

李勤审核人：

银波授课人：

第周星期第组学生预习评价：

整理评价

27.2.1相似三角形的判定（三）

学习目标:

（1）初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．

（2）能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．

学习重点:

掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。

学习难点:

（1）三角形相似的条件归纳、证明；

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．

一.知识链接

（1）两个三角形全等有哪些判定方法？

（2）我们学习过哪些判定三角形相似的方法？

（3）相似三角形与全等三角形有怎样的关系？

二、探索新知

探究：

任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？

这两个三角形相似吗？

与同学交流一下，看看是否有同样的结论。

（1）问题：

怎样证明这个命题是正确的呢？

（2）探求证明方法．（已知、求证、证明）

如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，

，求证△ABC∽△A′B′C′

证明：

4【归纳】三角形相似的判定方法1

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

5、探讨问题：

可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？

（画图，自主展开探究活动）

6、【归纳】

三角形相似的判定方法2：

两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．

三、例题讲解

例1根据下列条件，判断

与

是否相似，并说明理由：

（1）

（2）

四当堂检测

1．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：

△ABC∽△DEF．

2．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：

△ABC∽△AED．

3．已知：

如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，求证：

△ADC∽△CDP．

九年级下数学NO：

6主备人：

李勤审核人：

银波授课人：

第周星期第组学生预习评价：

整理评价

27.2.1相似三角形的判定（四）

一、学习目标

1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．

2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．

二、重点、难点

1．重点：

三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”

2．难点：

三角形相似的判定方法3的运用．

三、知识链接

（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？

（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？

说说你的理由．

（3）如

（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？

（4）【归纳】

三角形相似的判定方法3

如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

四、例题讲解

例1：

如图，

与

都是

的内接三角形，

和

相交与点

找出图中的一对相似三角形，并说明理由。

例3：

如图，在

和

中，

求证：

∽

五：

当堂检测

1．已知：

如图，∠1=∠2=∠3，求证：

△ABC∽△ADE．

2、已知：

如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．

（1）求证：

AC•BC=BE•CD；

（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．

3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°求证：

AD·AB=AE·AC

九年级下数学NO：

7主备人：

李勤审核人：

银波授课人：

第周星期第组学生预习评价：

整理评价

27.2.3相似三角形的周长与面积

学习目的:

1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。

2、理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

3、能用三角形的性质解决简单的问题．

重点、难点

1．重点：

相似三角形的性质与运用．

2．难点：

相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．

一.知识链接

1．问题：

已知：

∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？

问：

两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？

二、探索新知

1．思考：

（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？

我们知道，如果△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为k，即

因此AB=kA′B′,BC=kB′C′,CA=kC′A′，从而

由此我们得到：

相似三角形周长的比等于相似比.

（2）如果两个三角形相似，它们的对应边上的高线、中线，对应角的平分线之间有什么关系？

写出推导过程。

（3）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？

写出推导过程。

（4）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？

2、结论——相似三角形的性质：

性质1相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比等于相似比。

即：

如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，那么

．

性质2相似三角形面积的比等于相似比的平方．

即：

如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，那么

．

相似多边形的性质1．相似多边形周长的比等于相似比．

相似多边形的性质2．相似多边形面积的比等于相似比的平方．

三、例题讲解

例1如图在ΔABC和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是12

，求ΔDEF的周长和面积。

四、课堂练习

1．填空：

（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．

（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为________．

（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．

（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．

五、当堂检测

1、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,P为AB上一点,Q为BC上一点,且PQ⊥AB,若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的

AB=5cm,PB=2cm,求△ABC的面积.

4．已知：

如图，△ABC中，DE∥BC，

（1）若

，①求

的值；②求

的值；③若

，求△ADE的面积；

（2）若

，

，过点E作EF∥AB交BC于F，求□BFED的面积；

（3）若

，

，过点E作EF∥AB交BC于F，求□BFED的面积．

九年级下数学NO：

8主备人：

李勤审核人：

银波授课人：

第周星期第组学生预习评价：

整理评价

27.2.2相似三角形应用举例

（一）

教学目的:

1进一步巩固相似三角形的知识．

2能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

重点、难点

1．重点：

运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．

2．难点：

灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

一、知识链接

1、判断两三角形相似有哪些方法?

2、相似三角形有什么性质？

二、.探索新知

1、测量旗杆的高度

操作：

在旗杆影子的顶部立一根标杆，借助太阳光线构造相似三角形，旗杆AB的影长

米，标杆高

米，其影长

米，求AB：

分析：

∵太阳光线是平行的

∴∠____________＝∠____________

又∵∠____________＝∠____________＝90°

∴△____________∽△____________

∴__________________，即AB=__________

三、例题讲解

例4：

据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．

如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？

）

分析：

根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．

解：

巩固练习1

在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米?

（在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）

例5、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．

四、当堂检测

1、如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB。

2、如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离（即河宽），你有什么方法？

方案一：

先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

九年级下数学NO：

9主备人：

李勤审核人：

银波授课人：

第周星期第组学生预习评价：

整理评价

27.2.2相似三角形应用举例

（二）

学习目的:

1．进一步巩固相似三角形的知识．

2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

重点、难点

1．重点：

运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度