九年级数学圆周角和圆的内接四边形人教版知识精讲.docx

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九年级数学圆周角和圆的内接四边形人教版知识精讲

九年级数学圆周角和圆的内接四边形人教版

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

圆周角和圆的内接四边形

主要内容包括：

（1）圆周角定理及其推论的运用。

（2）圆内接四边形的性质及其运用。

【典型例题】

例1.如图：

AB、DE、AC、DF为⊙O的弦，已知AB⊥DE于H，AC⊥DF于G。

分析：

从要证的结论入手，要证两条弧等在圆中可证圆心角等、弦等、弦心距等、圆周角等，在图形上并没有相应的圆心角、弦、弦心距、圆周角等，但观察到所对的圆周角已有了，并且这两个圆周角可以证出相等，故可以得证。

证明：

设AC、ED交于点M

在△DMG和△AMH中，

例2.如图：

弦AB∥CD，AC与BD的延长线相交于P点。

求证：

PC＝PD

分析：

由PC＝PD可知要证∠PCD＝∠PDC即可。

而∠PCD与∠PDC是圆的内接四边形ABDC的两个外角，利用圆的内接四边形性质可转移成只要证∠A＝∠B即可，显然可利用圆中有关的知识得以解决。

证明：

∵AB∥CD

又∵∠PCD、∠PDC是圆内接四边形ABDC的外角

例3.如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的圆交BC于D，交AB于E，若∠BAC＝50°，求的度数。

解法一：

解法二：

连结OE、OD

解法三：

连结CE

∵AC是⊙O的直径

∴∠AEC＝90°

又∵∠A＝50°，∴∠ACE＝40°

解法四：

连结AD

∵AC是⊙O的直径

∴∠ADC＝90°

∴AD⊥BC

又∵AB＝AC

例4.如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，CF⊥AD于E交AB于F。

求证：

AC2＝AF·AB

分析：

从AC2＝AF·AB可知，只需证△ACF∽△ABC即可。

从△ACF与△ABC的位置关系看，有一个公共角∠BAC，只要证∠AFC＝∠ACB或∠ACF＝∠B即可。

解法一：

延长CF交⊙O于M

∵AD是⊙O的直径，AD⊥CM

∴∠ACF＝∠ABC

又∵∠CAF＝∠BAC

∴△ACF∽△BAC

解法二：

连结BD

∵AD是⊙O的直径

∴∠ABD＝90°，又∵FE⊥AD

∴∠ABD＝∠AEF＝90°

又∵∠EAF＝∠BAD

∴∠AFE＝∠D

∴∠D＝∠ACB

∴∠AFC＝∠ACB

又∵∠CAF＝∠BAC

∴△ACF∽△BAC

解法三：

连结CD

∵AD是⊙O的直径

∴∠ACD＝90°

又∵CE⊥AD

∴∠AEC＝90°

∴∠ACE＋∠CAE＝90°

又∵∠ADC＋∠CAE＝90°

∴∠ACE＝∠ADC

∴∠ADC＝∠ABC

∴∠ABC＝∠ACF

又∵∠CAF＝∠BAC

∴△ACF∽△ABC

［归纳］

（1）三种解法实际上都体现了一种重要的数学思想转化，把非圆周角转化为圆周角，从而沟通和另一个圆周角的关系。

（2）在圆中常见的两种基本图形，一是垂径，二是直径所对的圆周角是直角。

这也为我们作辅助线提供了依据。

例5.

点，且AF交BC于E，若AB＝6，AC＝8，求CD、DE，及EF的长。

分析：

从图形的已知条件出发很容易知道AD是Rt△ABC斜边BC上的高，故由射影定理可求出BD、CD、AD、OD等线段的长，但对于DE、EF的长却不能由此求出，

相似关系求解即可。

解：

连结OF

∵BC是⊙O的直径

∴∠BAC＝90°

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：

又∵AB＝6，AC＝8

∴BC＝10

∴OB＝OC＝OF＝5

∵AD⊥BC

∴AD是Rt△ABC中斜边BC上的高

又∵AB＝6，BC＝10

∴∠FOC＝∠FOB＝90°

又∵∠ADE＝90°

∴AD∥OF

在Rt△OEF中，由勾股定理可知：

【模拟试题】

一.选择题。

1.已知点O是的外心，∠A＝，则∠BOC＝________。

A.B.

C.D.

2.在⊙O中，∠AOB＝100°，C是劣弧上一点，则∠ACB＝________。

A.80°B.100°C.130°D.260°

3.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD⊥OC于C，交AB延长线于D，若的度数是40°，则∠D＝_________。

A.20°B.30°C.40°D.50°

4.如图，AD为⊙O的直径，弦AB、AC所夹的角被AD平分，下列结论不成立的是_______________。

A.B.

C.AD⊥BCD.AB⊥AC

5.圆内接四边形ABCD中，∠A：

∠C＝1：

5，则∠A＝________。

A.30°B.36°C.60°D.150°

6.内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠BOD＝38°，则∠A＝_______。

A.19°B.38°或142°

C.38°D.19°或161°

7.下列四边形中必有一个外接圆的是_________。

A.平行四边形B.梯形C.等腰梯形D.菱形

8.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，若的度数是80°，的度数是60°，则∠AEC＝__________。

A.80°B.70°C.60°D.50°

二.填空题。

1.如下图AB为⊙O的直径，C、D在⊙O上，若∠ACD＝40°，则∠BOD＝______。

2.圆内接四边形ABCD中，∠A：

∠B：

∠C＝2：

4：

7，则∠D＝________。

3.圆内接四边形ABCD中，AC垂直平分BD，∠BAC＝20°，则∠BCD的度数为____________。

4.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若AB⊥CD于E，则与的度数之和是__________。

5.中，∠O＝90°，以OB为半径的⊙O分别交AB、AO于C、D，∠A＝28°，则的度数是__________。

三.解答题。

1.已知⊙O内的弦AD、CB的延长线交于E点，AB与CD交于F点，∠E＝36°，∠AFC＝80°，求：

的度数。

2.已知：

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，过C、E、D三点作圆交AE于G，CD与AE交于F点。

求证：

AG＝FG

3.如图：

中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，△ABD的外接圆交BC于E。

求证：

AD＝CE

4.如图，圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1。

求AB和CD的长。

【试题答案】

一.选择题。

1.C2.C3.D4.D5.A6.B7.C8.B

二.填空题。

1.100°2.100°3.140°4.180°5.34°

三.解答题。

1.解：

设∠A的度数为x°

∠ADF是△DCE的外角

又∵∠AFC是△ADF的外角

的度数为

的度数为

的度数为116°、44°

2.连结DG，则∠GDC＝∠GEC

又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠GEC＝90°

∵CD⊥AB，∴∠ADG＋∠GDC＝90°

∴∠CAE＝∠ADG

又∵AE平分∠CAB

∴∠CAE＝∠GAD

∴∠GAD＝∠ADG

∴AG＝GD

∵∠DFA与∠FAD互余，∠CEA与∠CAE互余，∠FAD＝∠CAE

∴∠DFA＝∠CEA

∴∠DFA＝∠GDC

∴GD＝GF

∴AG＝GF

3.连结DE

∵BD平分∠ABC

∴ABD＝∠EBD

又∵四边形ABED内接于圆

∴∠EDC＝∠ABC

又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C

∴∠EDC＝∠C

∴DE＝CE

又∵AD＝DE

∴AD＝CE

4.延长AB、DC相交于E点

∵∠ADC＝90°，∠A＝60°

∴∠E＝90°－60°＝30°

∴AE＝2AD＝2×2＝4

∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠EBC＝∠D＝90°

在Rt△BEC中，∵∠E＝30°，BC＝1

∴CE＝2BC＝2×1＝2