（2）对a<0，b<0，若a/b>1，则ab；若a/b=1，则a=b。
说明：
（1）作差法是与0比较，作商法是与1比较。
（2）作差法适用于任意两个实数的大小比较。
而用作商法时，需分两正数比较和两负数比较两种情况。
三、算术平方根：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“
”读作“根号a”。
说明：
0的算术平方根是0，即
=0。
四、平方根：
一般地，如果一个数x的平方等于a即x²=a，那么这个数x和它的相反数—X就叫做a的平方根，也叫做二次方根。
平方根的性质：
一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
开平方：
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
五、立方根：
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。
立方根的性质：
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
开立方：
求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。
六、确定平方根或立方根的大致范围
有些数的平方根或立方根不是有理数，而是无理数，这些数都是开方开不尽的数，我们可以借助平方运算或立方运算，通过两边夹遭韵方法估计它们的值所在的范围，例如要估算√43的大小，要求误差小于O．1．首先找出43邻近的两个完全平方数，如36<43<49，则√36<√43<√49，即6<√43<7，由此可见√43的整数部分应是6，然后再由6.52=42.25，6.62=43.56得42.25<43<43.56，得6.5<√43<6.6，从而知√43的十分位上的数应为5，即√43≈6.5或6.6．
七、通过估算比较两个数的大小
对于含根号的数比较大小，一般可采用下列方法：
（1）先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；
（2）当符号相同时，把不含根号的数平方（或立方）和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，算术平方根（或立方根）越大；
（3）若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小．
八、涉及三种非负数的问题
非负数是正数和零的统称，初中数学学习中，常见的非负数有三种；实数的绝对值、实数的平方、非负实数的算术平方根，灵活运用它们值的大小或等于O的特性，对一些问题可找到很好的解决途径。
第三章图形的平移与旋转
一、平移：
平移是图形变换的一种基本形式．在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
（1）图形的平移是指整个图形在平面内的平行移动，包括图形上的每一条线、每个点，它由移动的方向和距离决定；
（2）确定一个图形平移后的位置的条件是：
平移的方向、平移的距离、图形原来的位置；
（3）图形的平移是图形的一种变换——平移变换，简称平移；
（4）平移前后图形的形状、大小都不发生变化。
平移的性质：
经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等．
（1）在图形的平移变换过程中，要注意图形上的点的对应关系，即要找准对应点，然后找出对应的线（线段）、角、边等；
（2）平移后的图形与原图形全等，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，对应点所连的线段既能反映图形平移的方向，也能表示平移的距离（线段的长度）。
平移作图的条件：
平移作图是常见的作图，根据平移的定义可知，要确定一个图形平移后的位置需要三个条件：
（1）图形原来的位置；
（2）平移的方向；
（3）平移的距离．三个条件必不可少，若缺少一个条件并不是无法作出平移后的图形，而是作出的图形不惟一。
平移作图的方法：
平移作图的一般步骤为：
（1）确定平移的方向和距离，并确定一组对应点；
（2）确定图形中的关键点，关键点一般为端点、转折点、交点等，如三角形的三个顶点为关键点，四边形的四个顶点为关键点，圆的关键点为圆心等；（3）利用第一组对应点和平移的性质确定图形中所有关键点的对应点，注意其方法不惟一；（4）按原图形的方式依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形，
利用平移设计图案的一般思路是：
（1）确定“基本图案”；
（2）把“基本图案”按一定方向、一定距离连续平移，完成图案的设计；
（3）设计的图案的主旨和含义要适当、明确，图案设计的自主性很强，同时为了美感和一定的目的要求，是有一定难度的。
二、旋转：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．
对图形旋转的概念，我们应从以下几个方面理解：
（1）旋转中心在旋转的过程中保持不动；
（2）图形的旋转是由旋转中心、旋转角和旋转方向来决定的；
（3）将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，意味着图形上每一点绕这个定点同时按相同的方向旋转相同的角度；
（4）这里“一个角度”指的是大于0°而小于360°的角；（5）图形的旋转不改变图形的形状、大小．
旋转的性质：
由旋转的概念可知旋转的性质为：
（1）旋转后的图形与原图形的大小和形状都一样；
（2）旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；
（3）图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。
平移与旋转的区别和联系：
联系：
平移和旋转都是在平面内进行的图形变换，变换前后的图形是全等的，对应线段相等、对应角相等、对应点的排列次序相同．
区别：
平移是在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，它应同时满足的条件是：
①有原图形；②平移的方向；③平移的距离。
而旋转是在平面内将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，它应同时满足的条件是：
①有原图形；②旋转中心；③旋转的方向；④旋转角度．
旋转作图满足的条件：
要确定一个图形旋转后的位置需要满足三个条件：
（1）图形原来的位置；
（2）旋转中心及旋转方向；
（3）旋转角．只有上述三个条件同时具备了，一个图形旋转后的位置才惟一确定。
旋转作图的步骤：
图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等，这既是旋转的基本规律，也是我们旋转作图的依据：
旋转作图的步骤：
（1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角；
（2）找出表示原图形的关键点；
（3）将原图形上的关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到这些关键点的对应点；
（4）按原图形的方式连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。
三、图形的三种基本变换：
到目前为止，我们主要学习了三种基本的图形变换：
平移、旋转、轴对称，三者既有区别，又有联系。
区别：
（1）运动方式不同．平移是沿某方向平行移动；旋转是绕一定点转动；轴对称是沿一条直线翻折；
（2）对应点的连线的性质不同，两个具有平移关系的图形对应点连接的线段平行且相等；两个具有旋转关系的图形对应点连接的线段没有特殊关系；两个成轴对称的图形的对应点连接的线段被对称轴垂直平分；
（3）三种变换所需条件不同．平移变换需要知道平移方向和平移距离；旋转变换需要知道旋转中心、蕨转方向和旋转角；轴对称变换需要知道对称轴．
联系：
三者都是平面内的图形变换，而且都不改变图形的大小和形状，只是改变图形的位置，每种变换需要满足的条件不同，其分析侧重点也不同。
一般有以下几种分析方法：
（1）平移变换。
分析每次平移变换的方向、距离，再分析平移变换的次数；
（2）旋转变换．分析每次旋转变换的旋转中心、旋转方向、旋转角，再分析旋转变换的次数；
（3）轴对称变换，确定对称轴进行轴对称变换；
（4）平移变换与旋转变换的组合，一般先进行旋转变换，再进行平移变换；
（5）旋转变换与轴对称变换的组合。
一般先进行旋转变换，再进行轴对称变换；
（6）轴对称变换与平移变换的组合，一般先进行轴对称变换，再进行平移变换，
四、图案的欣赏与分析：
欣赏与分析图案特别强调了两个方面：
一方面强调体会图案的艺术美和其反映的设计意义；另一方面通过分析图案的形成过程，意在思考图案的设计思路，也就是平移、旋转、轴对称及其组合是如何进行合理运用的．
对于较为复杂的图案的分析要运用“整体思想”，即从整个图案着手，分析图案的组成一共有几种“基本图案”，再从细处思考每种“基本图案”是怎样进行变换的．
五、简单图案设计的一般方法：
图案的设计是利用图形的基本变换来进行图案设计，图形的基本变换有轴对称、平移、旋转这三种基本形式，但较多的图形变换形式都是经过组合变化而成的．利用图形变换设计简单图案的一般方法是：
（1）确定设计图案的表达意图；
（2）分析设计图案所给定的基本图形；（3）对基本图形综合运用平移变换、旋转变换、轴对称变换，力求设计的图案内容清晰，寓意明确，
在进行图案设计时注意弄清设计的要求及设计的目的，只有在正确把握设计要求及设汁目的的前提一F，才能合理地进行图案设计，
六、图案分析的一般步骤：
（1）分割原图案，找出“基本图案”；
（2）确定“基本图案”运动的形式，简单图案的设计要求做到主题明确，具有较好的艺术效果，与环境能够和谐统一，能够运用平移、旋转或轴对称等图形运动形式．
第四章四边形性质探索
一、平行四边形：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的对角线：
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。
平行四边形的性质：
1、平行四边形的对边分别相等；
2、平行四边形的对角分别相等；
3、平行四边形的对角线互相平分。
说明：
（1）平行四边形的定义也是性质，即平行四边形的对边平行。
（2）平行四边形相邻的两个角（邻角）互补。
（3）平行四边形的两条对角线将其分成4个三角形，相对的两个三角形分别全等，且4个三角形面积相等。
平行线之间的距离：
若两条直线互相平行，则其中一条直线上的任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
平行四边形的判别：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义判定）
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
5、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
二、菱形：
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
1、菱形具有平行四边形的所有性质（即对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分）。
2、菱形的四条边都相等。
3、菱形的两条对角线互相垂直且平分每组对角。
说明：
菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的两条对称轴。
菱形的判别：
1、四条边都相等的四边形是菱形；
2、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
3、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
菱形的面积公式：
如果菱形的两条对角线长分别为a、b，则菱形的面积S=
a
b。
三、矩形：
有一内角是直角的平行四边形叫做矩形。
（也叫长方形）
矩形的性质：
1、矩形具有平行四边形的所有性质（即对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分）。
2、矩形的四个角都是直角。
3、矩形的对角线相等。
说明：
（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在直线是它的两条对称轴。
（2）由矩形性质可得直角三角形的一个重要性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判别：
1、三个角是直角的四边形是矩形；
2、一个角是直角的平行四边形是矩形；
3、对角线相等的平行四边形是矩形。
四、正方形：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的性质：
1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分。
说明：
1）正方形既可以看做特殊的菱形，也可以看做特殊的矩形，所以它具有菱形的所有性质（当然也具有平行四边形的所有性质）。
2）根据正方形四个角都是直角且对角线平分对角可知，正方形对角线与边的夹角为450。
3）正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线和对边中点连线所在直线是它的四条对称轴。
正方形的判定：
（1）有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）有一个角是直角的菱形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形。
五、梯形：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。
等腰梯形：
两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
等腰梯形的性质：
1、等腰梯形的两腰相等；
2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；
3、等腰梯形的对角线相等。
说明：
等腰梯形是轴对称图形，通过上、下底中点的直线是它的对称轴。
等腰梯形的判别：
1、两腰相等的梯形是等腰梯形；
2、在同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；
3、对角线相等的梯形是等腰梯形。
说明：
成轴对称图形的梯形是等腰梯形。
直角梯形：
一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
研究梯形问题的主要方法：
在研究有关梯形的问题时，常常通过添加辅助线，把梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决。
说明：
常用的梯形辅助线的添加方法：
（1）作两条高；
（2）作两条对角线；（3）平移一腰；（4）平移一条对角线；（5）延长两腰；（6）过一顶点和一腰中点作直线。
梯形的中位线：
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。
梯形的中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
说明：
设梯形的上底、下底、高的长度分别为a、b、h、l，则梯形的面积S=
（a+b）h=l
h。
梯形的一般梯形、等腰梯形、直角梯形的性质和判定方法：
一般梯形：
⑴一组对边平行，另一组对边不平行；
⑵中位线平行于底边，且等于两底和的一半；
⑶S=1/2（a+b）h，（其中：
a、b、h分别是梯形的上、下底的长和高）。
直角梯形的性质：
除一般梯形的性质外，还有：
一底角是直角。
六、平行四边形的面积：
（1）平行四边形的面积=底边长×高=ah（a是平行四边形的一边长，h是a边与其对边的距离）。
（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积相等。
（3）菱形的面积等于对角线乘积的一半
七、特殊的四边形的边、角、线关系
平行四边形：
边：
对边平行且相等；角：
对角相等；对角线：
两条对角线互相平分。
矩形：
边：
对边平行且相等；角：
四个角都是直角；对角线：
两条对角线互相平分且相等。
菱形：
边：
对边平行，四条边都相等；角：
对角相等；
对角线：
两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
正方形：
边：
对边平行，四条边都相等；角：
四个角都是直角；
对角线：
两条对角线互相平分且相等，每条对角线平分一组对角。
等腰梯形：
边：
两底平行，两腰相等；角：
同一底上的两个角相等；对角线：
两条对角线相等。
八、四边形和多边形的内角和、外角和：
四边形：
内角和等于360°；外角和等于360°，
九、三角形、梯形的中位线定理：
⑴三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半；
⑵梯形的中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
十、与平行四边形（包括矩形、菱形）相关的一些辅助线的作法：
⑴有平行线时，常作平行线构造平行四边形；
⑵有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；
⑶是矩形、菱形时，常用连结对角线的方法把四边形问题转化为三角形问题；垂直时，常可作垂线构造矩形。
十一、多边形：
在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
说明：
在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
多边形的边、顶点、内角和的含义与三角形相同。
N边形的内角和：
n边形的内角和等于（n-2）
1800。
正多边形：
在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。
多边形的外角：
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
多边形的外角和：
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
多边形的外角和：
多边形的外角和都等于3600。
多边形的对角线：
在多边形中，连结不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
说明：
（1）过n边形的一个顶点可作（n-3）条对角线（n
）。
（2）n边形的对角线的总条数为
n（n-3）（n
）。
十二、中心对称图形：
在平面内，一个图形绕某个点旋转1800，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
这个点叫做它的对称中心。
中心对称图形的性质：
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
十三、平面图形的镶嵌：
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．又称做平面图形的密铺．
用形状、大小完全相同的三角形可以镶嵌，因为三角形的内角和为180°，所以用6个形状、大小完全相同的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面．
用形状、大小完全相同的四边形也可以镶嵌，在用四边形镶嵌的图案中，可以观察到：
每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角．四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°，
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