届高三数学 章末综合测试题3函数基本初等函数Ⅰ 函数的应用.docx

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届高三数学章末综合测试题3函数基本初等函数Ⅰ函数的应用

2013届高三数学章末综合测试题（3）函数、基本初等函数（Ⅰ）、函数的应用

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．函数

的定义域是（）

A．[1，＋∞）　　　　　　B.

C.D.

解析：

要使函数有意义，只要

得0＜5x－4≤1，即＜x≤1.∴函数的定义域为.

答案：

D

2．设a＝20.3，b＝0.32，c＝logx（x2＋0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜cB．b＜a＜c

C．c＜b＜aD．b＜c＜a

解析：

∵a＝20.3＜21＝2，且a＝20.3＞20＝1，∴1＜a＜2.b＝0.32＜0.30＝1.

∵x＞1，∴c＝logx（x2＋0.3）＞logxx2＝2.∴c＞a＞b.

答案：

B

3．已知函数f（x）＝ln（x＋），若实数a，b满足f（a）＋f（b－1）＝0，则a＋b等于（　　）

A．－1B．0

C．1D．不确定

解析：

观察得f（x）在定义域内是增函数，而f（－x）＝ln（－x＋）＝ln＝－

f（x），∴f（x）是奇函数，则f（a）＝－f（b－1）＝f（1－b）．

∴a＝1－b，即a＋b＝1.

答案：

C

4．已知函数f（x）＝则不等式f（x）＞0的解集为（　　）

A．{x|0＜x＜1}B．{x|－1＜x≤0}

C．{x|－1＜x＜1}D．{x|x＞－1}

解析：

当x＞0时，由－log2x＞0，得log2x＜0，即0＜x＜1.

当x≤0时，由1－x2＞0，得－1＜x≤0.故不等式的解集为{x|－1＜x＜1}.

答案：

C

5．同时满足两个条件：

①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是（　　）

A．f（x）＝－x|x|B．f（x）＝x3

C．f（x）＝sinxD．f（x）＝

解析：

为奇函数的是A、B、C，排除D.A、B、C中在定义域内为减函数的只有A.

答案：

A

6．函数f（x）＝x与函数g（x）＝

在区间（－∞，0）上的单调性为（　　）

A．都是增函数

B．都是减函数

C．f（x）是增函数，g（x）是减函数

D．f（x）是减函数，g（x）是增函数

解析：

f（x）＝x在x∈（－∞，0）上为减函数，g（x）＝

在（－∞，0）上为增函数.

答案：

D

7．若x∈（e－1,1），a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则（　　）

A．a＜b＜cB．c＜a＜b

C．b＜a＜cD．b＜c＜a

解析：

a＝lnx，b＝2lnx＝lnx2，c＝ln3x.

∵x∈（e－1,1），∴x＞x2.故a＞b，排除A、B.

∵e－1＜x＜1，∴－1＜lnx＜ln1＝0.

∴lnx＜ln3x.∴a＜c.故b＜a＜c，选C.

答案：

C

8．已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，且在（－∞，0]上是增函数，若a＝f（log47），

，c＝f（0.2－0.6），则a、b、c的大小关系是（　　）

A．c＜b＜aB．b＜c＜a

C．c＜a＜bD．a＜b＜c

解析：

函数f（x）为偶函数，b＝f（log3）＝f（log23），c＝f（0.2－0.6）＝f（50.6）．∵50.6＞2＞log23＝log49＞log47，f（x）在（0，＋∞）上为减函数，∴f（50.6）＜f（log23）＜f（log47），即c＜b＜a.

答案：

A

9．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：

万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（　　）

A．45.606万元B．45.6万元

C．46.8万元D．46.806万元

解析：

设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15－x）辆，总利润

L＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2（15－x）＝－0.15x2＋3.06x＋30，

当x＝＝10.2时，L最大．

但由于x取整数，∴当x＝10时，能获得最大利润，

最大利润L＝－0.15×102＋3.06×10＋30＝45.6（万元）.

答案：

B

10．若f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x＋3）＝f（x），f

（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0,6）内解的个数的最小值是（　　）

A．5　　　　B．4　　　　

C．3　　　　D．2

解析：

f（5）＝f（2＋3）＝f

（2）＝0，又∵f（－2）＝f

（2）＝0，∴f（4）＝f

（1）＝f（－2）＝0，

∴在（0,6）内x＝1,2,4,5是方程f（x）＝0的根.

答案：

B

11．函数f（x）＝πx＋log2x的零点所在区间为（　　）

A．[0，]B．[，]

C．[，]D．[，1]

解析：

因为f（x）在定义域内为单调递增函数，而在四个选项中，只有f·f＜0，所以零点所在区间为.

答案：

C

12．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝3f（x），当x∈[0,2]时，f（x）＝x2－2x，则当x∈[－4，－2]时，f（x）的最小值是（　　）

A．－B．－

C.D．－1

解析：

f（x＋2）＝3f（x），

当x∈[0,2]时，f（x）＝x2－2x，当x＝1时，f（x）取得最小值．

所以当x∈[－4，－2]时，x＋4∈[0,2]，

所以当x＋4＝1时，f（x）有最小值，

即f（－3）＝f（－3＋2）＝f（－1）＝f

（1）＝－.

答案：

A

第Ⅱ卷　（非选择　共90分）

二、填空题：

本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．若函数f（x）＝ax2＋x＋1的值域为R，则函数g（x）＝x2＋ax＋1的值域为__________．

解析：

要使f（x）的值域为R，必有a＝0.于是g（x）＝x2＋1，值域为[1，＋∞）．

答案：

[1，＋∞）

14．若f（x）是幂函数，且满足＝3，则f＝__________.

解析：

设f（x）＝xα，则有＝3，解得2α＝3，α＝log23，

答案：

15．若方程x2＋（k－2）x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是__________．

解析：

设函数f（x）＝x2＋（k－2）x＋2k－1，结合图像可知，

即解得

故实数k的取值范围是.

答案：

16．设函数f（x）＝

若f（x）为奇函数，则当0＜x≤2时，g（x）的最大值是__________．

解析：

由于f（x）为奇函数，当－2≤x＜0时，f（x）＝2x有最小值为f（－2）＝2－2＝，故当0＜x≤2时，f（x）＝g（x）－log5（x＋）有最大值为f

（2）＝－，而当0＜x≤2时，y＝log5（x＋）为增函数，考虑到g（x）＝f（x）＋log5（x＋），结合当0＜x≤2时，f（x）与y＝log5（x＋）在x＝2时同时取到最大值，故[g（x）]max＝f

（2）＋log5（2＋）＝－＋1＝.

答案：

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．

17．（10分）已知函数f（x）＝（）x，x∈[－1,1]，函数g（x）＝f2（x）－2af（x）＋3的最小值为h（a），求h（a）．

解析：

∵x∈[－1,1]，∴x∈.

设t＝x，t∈，

则φ（t）＝t2－2at＋3＝（t－a）2＋3－a2，

当a＜时，g（x）min＝h（a）＝φ＝－；

当≤a≤3时，g（x）min＝h（a）＝φ（a）＝3－a2；

当a＞3时，g（x）min＝h（a）＝φ（3）＝12－6a.

∴h（a）＝

18．（12分）设直线x＝1是函数f（x）的图像的一条对称轴，对于任意x∈R，f（x＋2）＝－f（x），当－1≤x≤1时，f（x）＝x3.

（1）证明：

f（x）是奇函数；

（2）当x∈[3,7]时，求函数f（x）的解析式．

解析：

（1）∵x＝1是f（x）的图像的一条对称轴，

∴f（x＋2）＝f（－x）．

又∵f（x＋2）＝－f（x），

∴f（x）＝－f（x＋2）＝－f（－x），即f（－x）＝－f（x）．

∴f（x）是奇函数．

（2）∵f（x＋2）＝－f（x），

∴f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），

若x∈[3,5]，则（x－4）∈[－1,1]，

∴f（x－4）＝（x－4）3.

又∵f（x－4）＝f（x），

∴f（x）＝（x－4）3，x∈[3,5]．

若x∈（5,7]，则（x－4）∈（1,3]，f（x－4）＝f（x）．

由x＝1是f（x）的图像的一条对称轴，可知

f[2－（x－4）]＝f（x－4），

且2－（x－4）＝（6－x）∈[－1,1]，

故f（x）＝f（x－4）＝f（6－x）＝（6－x）3＝－（x－6）3，x∈（5,7]

综上，可知f（x）＝

19．（12分）已知函数f（x）＝－，常数a＞0.

（1）设m·n＞0，证明：

函数f（x）在[m，n]上单调递增；

（2）设0＜m＜n，且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n－m的最大值．

解析：

（1）任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，则

f（x1）－f（x2）＝·，

因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，且m·n＞0

所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），

故f（x）在[m，n]上单调递增．

（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）＝m，f（n）＝n，即m，n是方程－＝x的两个不相等的正根⇔a2x2－（2a2＋a）x＋1＝0有两个不相等的正根，

所以Δ＝（2a2＋a）2－4a2＞0，＞0⇒a＞.

∴n－m＝＝，a∈，∴a＝时，n－m取取最大值.

20．（12分）如图所示，图①是定义在R上的二次函数f（x）的部分图像，图②是函数g（x）＝loga（x＋b）的部分图像．

（1）分别求出函数f（x）和g（x）的解析式；

（2）如果函数y＝g（f（x））在区间[1，m）上单调递减，求m的取值范围．

解析：

（1）由题图①得，二次函数f（x）的顶点坐标为（1,2），

故可设函数f（x）＝a（x－1）2＋2.

又函数f（x）的图像过点（0,0），故a＝－2.

整理，得f（x）＝－2x2＋4x.

由题图②得，函数g（x）＝loga（x＋b）的图像过点（0,0）和（1,1），

故有∴

∴g（x）＝log2（x＋1）（x＞－1）．

（2）由

（1）得，y＝g（f（x））＝log2（－2x2＋4x＋1）是由y＝log2t和t＝－2x2＋4x＋1复合而成的函数，

而y＝log2t在定义域上单调递减，要使函数y＝g（f（x））在区间[1，m）上单调递减，必须t＝－2x2＋4x＋1在区间[1，m）上单调递减，且有t＞0恒成立．

由t＝0，得x＝.

又t的图像的对称轴为x＝1，

所以满足条件的m的取值范围为1＜m＜.

21．（12分）金融风暴对全球经济产生了影响，温总理在广东省调研时强调：

在当前的经济形势下，要大力扶持中小企业，使中小企业健康发展．为响应这一精神，某地方政府决定扶持一民营企业加大对A、B两种产品的生产．根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.（注：

利润与投资单位：

万元）

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：

怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？

（精确到1万元）

解析：

（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．

设f（x）＝k1x，g（x）＝k2.

由题图①知，f

（1）＝，所以k1＝.

又由题图②知，g（4）＝，所以k2＝.

从而f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）．

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入（10－x）万元．

设企业利润为y万元，

则y＝f（x）＋g（10－x）＝＋（0≤x≤10）．

令＝t，

则y＝＋t＝－（t－）2＋（0≤t≤）．

当t＝时，ymax＝≈4.此时x＝10－＝3.75.

故当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得的最大利润约为4万元．

22．（12分）已知函数f（x）＝（常数a＞0），且f

（1）＋f（3）＝－2.

（1）求a的值；

（2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与2的大小；

（3）设g（x）＝－m（x＋2）－2，是否存在实数m，使得y＝g（x）有零点？

若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解析：

（1）由f

（1）＋f（3）＝＋＝－2，

得a（a－2）＝0.

又a＞0，所以a＝2.

（2）由

（1）知，函数f（x）＝，

其定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）．

设x1，x2∈（－∞，2），且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）＝－

＝＜0，

即f（x1）＜f（x2），

故f（x）在区间（－∞，2）上是增函数．

同理，可得f（x）在区间（2，＋∞）上是增函数．

令h（x）＝＝＋2，

则函数h（x）在区间（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数．

当t∈时，f（t）＞f＝，h（t）＜h＝

（3）由

（1）得，g（x）＝－m（x＋2）－2.

函数g（x）的定义域为{x|x≥－2，且x≠2}．

故g（x）＝－m（x＋2）－2（x≥－2，且x≠2），

令t＝（t≥0），

所以g（x）＝0可转化为方程－mt2＋t－2＝0.

要使g（x）有零点，则方程－mt2＋t－2＝0必有正实数根，

当m＝0时，t＝2，＝2，∴x＝2，这与定义域不符．

当m＞0时，＞0，＞0，所以如果方程存在实数根，则必为正实数根，故只需使Δ＝1－8m≥0即可．

故m＞0时，满足条件的m的取值范围为0＜m≤，

当m＜0时，方程有一正根一负根，符合题意．

所以m的取值范围是（－∞，0）∪.