专题12 平面向量二.docx

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专题12平面向量二

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号：

年级：

辅导科目：

数学课时数：

课题

平面向量

（二）

教学目的

教学内容

第三节平面向量的数量积

（一）高考目标

考纲解读

1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

考向预测

1．平面向量数量积的运算、模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题．

2．数量积的几何运算与数量积的坐标运算及其几何意义，及数量积的变形应用均为常规应用，也是考查重点．关注数形结合思想的应用．

（二）课前自主预习

知识梳理

1．两个向量的夹角

（1）定义

已知两个向量a和b，作

＝a，

＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

（2）范围

向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝.

（3）向量垂直

如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作a⊥b.

2．平面向量的数量积

（1）已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积（或内积），记作.

规定：

零向量与任一向量的数量积为.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是.

（2）向量的投影

定义：

设θ为a与b的夹角，则（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影．

（3）平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影的乘积．

3．平面向量数量积的重要性质

（1）e·a＝a·e＝；

（2）非零向量a，b，a⊥b⇔；

（3）当a与b同向时，a·b＝，当a与b反向时，a·b＝,a·a＝，|a|＝

（4）cosθ＝

（5）|a·b||a||b|.

4．平面向量数量积满足的运算律

（1）a·b＝（交换律）；

（2）（λa）·b=＝（λ为实数）；

（3）（a＋b）·c＝.

5.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量

，

，则

=

（1）若

=

则

=或

=

（2）设

，

，则A、B两点间的距离

=

=

（3）设

，

，则

（4）向量

与

的夹角为

，则cos

=

（三）基础自测

1．（2010·安徽）设向量a＝（1,0），b＝（，），则下列结论中正确的是（　　）

A．|a|＝|b|　　　　B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b

[答案]　C

[解析]　a－b＝（，－）

∴（a－b）·b＝（，－）·（，）＝0.

即a－b与b垂直，故选C.

2．（2010·新课标）a，b为平面向量，已知a＝（4,3），2a＋b＝（3,18），则a，b夹角的余弦值等于（　　）

A.B．－C.D．－

[答案]　C

[解析]　本题考查了平面向量的坐标运算和数量积的坐标运算，在解决问题时需要先设出向量坐标，然后求得参数，该题较为简单．

由题可知，设b＝（x，y），则2a＋b＝（8＋x,6＋y）＝（3,18），所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝（－5,12），

所以cos〈a，b〉＝＝，故选C.

3．已知下列各式：

①a2＝|a|2　②＝　③（a·b）2＝a2·b2　④（a－b）2＝a2－2a·b＋b2

其中正确的有________个．（　　）

A．1B．2C．3D．4

[答案]　B

[解析]　①正确．②错，∵＝＝，∴②错．③错．④正确，∴选B.

4．已知两单位向量a，b的夹角为60°，则两向量p＝2a＋b与q＝－3a＋2b的夹角为（　　）

A．60°　　　B．120°　　　C．30°　　　D．150°

[答案]　B

[分析]　本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法．

[解析]　p·q＝（2a＋b）·（－3a＋2b）＝－6a2＋ab＋2b2

＝－6a2＋|a|·|b|·cos60°＋2b2＝－，

|p|＝|2a＋b|＝＝

＝＝，

|q|＝|－3a＋2b|＝＝

＝＝，

而cos〈p，q〉＝＝－.即p与q的夹角为120°.

5．（2010·江西文）已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是____________．

[答案]　1

[解析]　本题考查了向量的投影问题，l＝＝|b|·cos60°＝1，属概念性考查．

6．（08·天津）如图，在平行四边形ABCD中，＝（1,2），＝（－3,2），则·＝________.

[答案]　3

[解析]　＝（＋）＝（－1,2），

∴·＝－1＋4＝3.

7．已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．

[解析]　∵设a与b的夹角为θ，则θ∈，

∴a·b>0且a，b不同向．

由a·b>0，得|i|2－2λ|j|2>0得λ<.

当a，b同向时，

由a＝kb（k>0），得λ＝－2.

∴λ的取值范围为λ<且λ≠－2.

（四）典型例题

1.命题方向：

数量积的运算

[例1]　

（1）已知等边三角形ABC的边长为1，求：

①·＋·＋·；②|－2|；

③（2－）·（3＋2）．

（2）若a＝（3，－4），b＝（2,1），求（a－2b）·（2a＋3b）和|a＋2b|.

[分析]　利用向量数量积的定义、运算律及模的求法求解，注意两向量夹角的定义．

[解析]　

（1）①·＋·＋·

＝||||·cosA＋||||·cos（180°－B）＋||||·cosC

＝cos60°＋cos120°＋cos60°＝－＋＝.

②|－2|＝

＝＝＝＝.

③（2－）·（3＋2）＝62＋4·－3·－2·

＝6＋4×cos120°－3×cos60°－2×cos60°＝6－2－－1＝.

（2）∵a－2b＝（3，－4）－2（2,1）＝（－1，－6）

2a＋3b＝2（3，－4）＋3（2,1）＝（12，－5）

∴（a－2b）（2a＋3b）＝（－1，－6）·（12，－5）＝－1×12＋（－6）×（－5）＝18.

|a＋2b|＝＝＝＝.

[点评]　

1.向量的数量积是向量与向量之间的一种运算，但运算结果却是一个数量．

2．两个向量的夹角必须是起点相同时，所得几何图形的角，对于首尾相接时，应是几何图形内角的补角，如本例中与夹角是∠B的补角，而不是∠B，这点应特别注意，否则会出现错误．

3．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择．

4．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：

（1）|a|2＝a2＝a·a；

（2）|a±b|2＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；

（3）若a＝（x，y），则|a|＝.

跟踪练习1：

已知向量a＝，b＝，且x∈.

（1）求a·b及|a＋b|；

（2）若f（x）＝a·b－|a＋b|，求f（x）的最大值和最小值．

[分析]　利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a＋b|时注意x的取值范围．

[解析]　

（1）a·b＝cosxcos－sinxsin＝cos2x，

|a＋b|＝＝＝2|cosx|，

∵x∈，∴cosx>0，

∴|a＋b|＝2cosx.

（2）f（x）＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝22－.

∵x∈，∴≤cosx≤1，

∴当cosx＝时，f（x）取得最小值－；

当cosx＝1时，f（x）取得最大值－1.

[点评]　与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.

2.命题方向：

模与垂直问题

[例2]　已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.

（1）计算|a＋b|，|4a－2b|；

（2）当k为何值时，（a＋2b）⊥（ka－b）?

[分析]　

（1）利用公式|a|＝和|a＋b|＝求解；

（2）利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求k.

[解析]　由已知，a·b＝4×8×＝－16.

（1）∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×（－16）＋64＝48，

∴|a＋b|＝4.

∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×（－16）＋4×64＝3×162，

∴|4a－2b|＝16.

（2）若（a＋2b）⊥（ka－b），则（a＋2b）·（ka－b）＝0，

∴ka2＋（2k－1）a·b－2b2＝0，

即16k－16（2k－1）－2×64＝0，∴k＝－7.

[点评]　1.当a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

2．当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.

跟踪练习2

已知向量m＝（1,1），向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1.

（1）求向量n；

（2）设向量a＝（1,0），向量b＝，若n·a＝0，试求|n＋b|的取值范围．

[解析]　

（1）设n＝（x，y），由已知得

，即

解得或∴n＝（－1,0）或（0，－1）．

（2）∵a＝（1,0），n·a＝0，∴n＝（0，－1），

n＋b＝＝，

故|n＋b|2＝cos2x＋cos2=＋

＝1＋＝1＋

＝1＋＝1＋＝1＋cos，

∴≤|n＋b|2≤，故≤|n＋b|≤.

3.命题方向：

平面向量的夹角问题

[例3]　已知a，b都是非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．

[分析]　由公式cos＝可知，求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积．

本题中|a|＝|b|＝|a－b|的充分利用是求数量积的关键，考虑怎样对条件进行转化．

[解析]　方法一：

由|a|＝|b|＝|a－b|得|a|2＝|b|2，|b|2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝a2.

而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝2|a|2＋2×|a|2＝3|a|2，所以|a＋b|＝|a|.

设a与a＋b的夹角为θ，则

cosθ＝＝＝，

由于0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.

方法二：

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），由|a|＝|b|＝|a－b|得，|a|2＝|b|2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，

所以x12＋y12＝x22＋y22＝x12＋y12＋x22＋y22－2x1x2－2y1y2，

即x1x2＋y1y2＝（x12＋y12），

所以|a＋b|2＝（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝x12＋y12＋x22＋y22＋2x1x2＋2y1y2＝3（x12＋y12），

故|a＋b|＝.设a与a＋b的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝，

由于0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.

[点评]　

1.求向量的夹角时要注意：

（1）向量的数量积不满足结合律；

（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．

2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．

3．若已知a与b的坐标，则可直接利用公式

cosθ＝来求夹角．

跟踪练习3：

（2009·全国卷Ⅰ）设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝（　　）

A．150°　　　B．120°　　C．60°　　D．30°

[答案]　B

[解析]　本题主要考查向量运算的几何意义．

∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c

∴如图所示就是符合的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．∴〈a，b〉＝120°.

（五）思想方法点拨

1．两个向量的数量积

（1）数量积概念的理解

①两个向量的数量积是一个数量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，结果可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定．计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件．

②两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”．

③b在a上的投影是一个数量，它可正，可负，也可以等于0.

（2）对数量积运算律的理解

①当a≠0时，由a·b＝0不一定推出b＝0，这是因为对任一个与a垂直的向量b，都有a·b＝0.

当a≠0时，a·b＝a·c也不一定推出b＝c，因为由a·b＝a·c，得a·（b－c）＝0，即a与（b－c）垂直．也就是向量的数量积运算不满足消去律．

②对于实数a，b，c，有（a·b）c＝a（b·c），但对于向量来说，（a·b）·c与a·（b·c）不一定相等，这是因为（a·b）·c表示一个与c共线的向量，而a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以（a·b）·c与a·（b·c）不一定相等．

2．向量的应用

（1）向量在几何中的应用

①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件．

a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0（b≠0）．

②证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

③求夹角问题．

利用夹角公式：

cosθ＝＝.

④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|＝＝

或|AB|＝||＝.

（2）向量在物理中的应用

①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；

②向量在速度的分解与合成中的应用．

（六）课后强化作业

一、选择题

1．（2010·湖南理）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于（　　）

A．－16B．－8C．8D．16

[答案]　D

[解析]　因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝（＋）·＝（）2＋·＝16.

2．（2010·广东文）若向量a＝（1,1），b＝（2,5），c＝（3，x），满足条件（8a－b）·c＝30，则x＝（　　）

A．6B．5C．4D．3

[答案]　C

[解析]　本题考查了向量的基本坐标运算及内积定义，把向量问题转化为坐标问题，（8a－b）·c＝18＋3x＝30.

x＝4.故选C.

3．（2009·重庆理）已知|a|＝1，|b|＝6，a·（b－a）＝2，则向量a与b的夹角是（　　）

A.B.C.D.

[答案]　C

[解析]　考查向量的运算以及两个向量夹角的求法．

a（b－a）＝a·b－a2＝|a|·|b|cos〈a，b〉－|a|2＝6cos〈a，b〉－1＝2，∴cos〈a，b〉＝，

故a与b的夹角为.

4．（2009·辽宁理）平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2,0），|b|＝1，则|a＋2b|＝（　　）

A.B．2C．4D．12

[答案]　B

[解析]　考查向量的数量积的定义及性质．

∵a＝（2,0），∴|a|＝2，

|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×2×1×cos60°＝12，

∴|a＋2b|＝2，∴选B.

5．（2009·全国Ⅰ理）已知a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则（a－c）·（b－c）的最小值为（　　）

A．－2B.－2C．－1D．1－

[答案]　D

[解析]　本题考查数量积的运算．

（a－c）·（b－c）＝a·b－a·c－c·b＋c2＝0－（a＋b）·c＋1＝1－（a＋b）·c

＝1－|a＋b|·|c|cos〈a＋b，c〉＝1－·1·cos〈a＋b，c〉

∴最小值为1－，即a＋b与c同向共线时取得最小值．

6．在△ABC中，·＝3，△ABC的面积S∈，则与夹角的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

[答案]　B

[解析]　∵sin〈，〉＝sin〈，〉，

∴S＝||·||sin〈，〉∈①

又·＝||||cos〈，〉＝3，

∴||||＝.②

∴将②代入①得tan〈，〉∈，

又两向量夹角的范围为[0，π]．

∴〈，〉∈，故选B.

7．（2010·北京理）a、b为非零向量，“a⊥b”是“函数f（x）＝（xa＋b）·（xb－a）为一次函数”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　f（x）＝（xa＋b）·（xb－a）＝（a·b）x2＋（|b|2－|a|2）x－a·b，若a⊥b，则有a·b＝0，如果同时有|b|＝|a|，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，则a·b＝0，因此可得a⊥b，故该条件必要．

8．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则（　　）

A．a⊥eB．a⊥（a－e）

C．e⊥（a－e）D．（a＋e）⊥（a－e）

[答案]　C

[解析]　由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，

∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，

即Δ＝4（a·e）2－8a·e＋4≤0恒成立．

∴（a·e－1）2≤0恒成立，

而（a·e－1）2≥0，∴a·e－1＝0.

即a·e＝1＝e2，∴e·（a－e）＝0，

即e⊥（a－e）．

二、填空题

9．已知A（，0），B（0,1），坐标原点O在直线AB上的射影为点C，则·＝________.

[答案]　

[解析]　由射影定理求出||＝，与成角60°，

∴·＝||·||·cos60°＝××＝.

10．（2010·江西理）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.

[答案]　

[解析]　|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝1－2×1×2×cos60°＋4＝3，则|a－b|＝，

11．已知向量m＝（sinθ，2cosθ），n＝，当θ∈[0，π]时，函数f（θ）＝m·n的值域为________．

[答案]　[－1,2]

[解析]　由f（θ）＝m·n，得f（θ）＝sinθ－cosθ＝2sin，

∵θ∈[0，π]，∴θ－∈，

∴f（θ）的值域为[－1,2]．

三、解答题

12．（2009·江苏）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ）

（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；

（2）求|b＋c|的最大值；

（3）若tanαtanβ＝16，求证：

a∥b.

[解析]　本题主要考查了向量的平行、垂直和向量的模；考查了三角函数公式和学生的运算能力．

（1）∵a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），

c＝（cosβ，－4sinβ）

由a与b－2c垂直，得a（b－2c）＝a·b－2a·c＝0

4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，tan（α＋β）＝2.

（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ）

|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，

最大值为32，∴|b＋c|的最大值为4.

（3）由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ

即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b.

13．已知向量＝（cosx，sinx），＝（－sinx，sinx），定义函数f（x）＝·.

（1）求f（x）的最小正周期和最大值及相应的x值；

（2）当⊥时，求x的值．

[解析]　

（1）f（x）＝·＝－sinxcosx＋sin2x＝－sin2x＋（1－cos2x）

＝－＝－sin，∴周期T＝π.

由2x＋＝2kπ－得x＝kπ－（k∈Z），

∴当x＝kπ－（k∈Z）时，f（x）取最大值＋.

（2）当⊥时，f（x）＝0，即－sin＝0.

解得x＝kπ或kπ＋，k∈Z.

[点评]　向量知识与三角、数列、不等式、解析几何、函数等的结合是高考命题的主要方向，向量平行或垂直的条件是结合的主要方面．

14．在平行四边形ABCD中，A（1,1），＝（6,0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.

（1）若＝（3,5），求点C的坐标．

（2）当||＝||时，求点P的轨迹．

[解析]　

（1）设点C的坐标为（x0，y0）．

∵＝＋＝（3,5）＋（6,0）＝（9,5），

即（x0－1，y0－1）＝（9,5），∴x0＝10，y0＝6，即点C的坐标为（10,6）．

（2）设P（x，y），则

＝－＝（x－1，y－1）－（6,0）＝（x－7，y－1），

＝＋＝＋3＝＋3（－）

＝3－＝（3（x－1），3（y－1））－（6,0）＝（3x－9,3y－3）．

∵||＝||，∴平行四边形ABCD为菱形，

∴⊥，∴（x－7）（3x－9）＋（y－1）（3y－3）＝0，

∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0　（y≠1）．

故点P的轨迹是以（5,1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y＝1的两个交点．

15．已知向量a＝（x2，x＋1），b＝（1－x，t）．若函数f（x）＝a·b在区间（－1,1）上是增函数，求t的取值范围．

[分析]　先求出f（x）的表达式，然后利用导数与函数单调性的关系及增函数的性质求解，注意x的取值范围．

[解析]　因为f（x）＝a·b＝x2（1－x）＋t（x＋1）＝－x3＋x2＋tx＋t，所以f′（x）＝－3x2＋2x＋t.

若f（x）在（－1,1）上是增函数，

则在（－1,1）上f′（x）≥0，

所以f′（x）≥0⇔⇔⇔t≥5.

而当t≥5时，f′（x）在（－1,1）上满足f′（x）>0，

即若f（x）在（－1,1）上是增函数，则t的取值范围为[5，＋∞）．

第四节平面向量的应用举例

（一）高考目标

考纲解读

1．会用向量的方法解决简单的平面几何问题．

2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

考向预测

1．以向量为载体考查平面几何、三角函数、解析几何等问题是高考考查的热点与重点．

2．题目多以解答题形式出现，此时注意两个问题，一个是数形结合思想、函数与方程思想的应用，另一个是实际问题，要考虑实际的背景及其意义．

（二）课前自主预习

知识梳理

1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的平行、垂直和距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系．

2．向量在三角中的应用

（1）以向量为载体研究三角函数中的最值、单调性、周期等三角函数性质问题．

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系．

3．向量与解析几何

直线与向量平行的条件：

（1）设直线l的倾斜角为α，斜率为k，若向量a＝（a1，a2）平行于l，则可得k＝tanα＝.

（2）如果直线l的斜率k＝

，则向量（a1，a2）一定与该直线

（3）设直线l的一般方程为Ax＋By＋C