公务员考试排列组合专题数量关系之抽屉原理.docx
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公务员考试排列组合专题数量关系之抽屉原理
（公务员考试排列组合专题）数量关系之抽屉原理
排列组合问题是公务员考试当中经常考察的一种题型，也是很多考生理解的不是很清晰的一类题型，所以通过几篇文章详细分析一下排列组合问题的解题思路和解题方法，希望对考生的备考有所帮助。
解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、排列和组合的概念
排列：
从n个不同元素中，任取m个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合：
从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
二、七大解题策略
1.特殊优先法 特殊元素，优先处理;特殊位置，优先考虑。
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：
先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例：
从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）
（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种 正确答案：
【B】
解析：
由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是"特殊"位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4,1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A（5,3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有C（4,1）×A（5,3）=240种，所以选B。
2.科学分类法 问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。
对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。
同时明确分类后的各种情况符合加法原理，要做相加运算。
例：
某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有（）种。
A.84B.98C.112D.140 正确答案【D】
解析：
按要求：
甲、乙不能同时参加分成以下几类：
a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C（8，5）=56种;
b.乙参加，甲不参加，同（a）有56种;
c.甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C（8，6）=28种。
故共有56+56+28=140种。
3.间接法 即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。
为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数.
例：
从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法?
A.240B.310C.720D.1080 正确答案【B】
解析：
此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。
4.捆绑法 所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。
注意：
其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。
例：
5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法?
A.240B.320C.450D.480 正确答案【B】
解析：
采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A（6，6）=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：
A（6，6）×A（3，3）=320（种）。
5.插空法 所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。
注意：
a.首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。
b.将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置。
c.对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为"相邻问题捆绑法，不邻问题插空法"。
例：
若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少排队方法?
A.9B.12C.15D.20 正确答案【B】
解析：
先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A（3，3）×A（2，2）=12种。
6.插板法 所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略。
注意：
其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。
例:
将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法?
A.24B.28C.32D.48 正确答案【B】
解析：
解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。
因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以将8个球排成一排，然后用两个板插到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。
其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。
因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是 C（8，2）=28种。
（注：
板也是无区别的）
7.选"一"法，类似除法 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
这里的"选一"是说：
和所求"相似"的排列方法有很多，我们只取其中的一种。
例：
五人排队甲在乙前面的排法有几种?
A.60B.120C.150D.180 正确答案【A】
解析：
五个人的安排方式有5!
=120种，其中包括甲在乙前面和甲在乙后面两种情形（这里没有提到甲乙相邻不相邻，可以不去考虑），题目要求之前甲在乙前面一种情况，所以答案是A（5,5）÷A（2,2）=60种。
以上方法是解决排列组合问题经常用的，注意理解掌握。
最后，行测中数量关系的题目部分难度比较大，答题耗时比较多，希望考试调整好答题的心态和答题顺序，在备考过程中掌握好技巧和方法，提高答题的效率。
一、合理分类与准确分步法（利用计数原理）
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（）
A．120种B．96种C．78种D．72种
分析：
由题意可先安排甲，并按其分类讨论：
1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。
二、特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：
先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）
（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种
分析：
由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有种不同的选法，所以不同的选派方案共有=240种，选B。
三、插空法、捆绑法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
例3、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
分析：
先将其余四人排好有A=24种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有C=10种方法，这样共有24*10=240种不同排法。
对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理的一般含义为：
“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
”
知鸟教育人事考试网的老师指出，抽屉原理最常见的形式：
（1）把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
反证法：
如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k（k≥1），这不可能。
（2）把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
反证法：
若每个抽屉至多放进m个物体，那么n个抽屉至多放进mn个物体，与题设不符，故不可能。
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例题1.（2007年中央第49题）
从一副完整的扑克牌中，至少抽出（ ）张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。
A.21B.22C.23D.24
【解析】本题要考虑大小王，每种花色的牌各抽到5张时，只需再抽到任何花色的一张牌，即可符合要求，再加上大小王，即5×4+2+1=23，可知至少要抽出23张牌。
故选C。
例题2.（2004年中央（B类）第48题）
有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒?
（ ）
A.3B.4
C.5D.6
【解析】因为有4种颜色的珠子，要想摸出的珠子有两粒颜色相同则必须在摸出珠子的数量多于颜色种类的情况下才可以，即至少摸出5粒，故选C。
【基本原理】
加法原理：
完成一件事,有N种不同的途径，而每种途径又有多种可能方法。
那么，完成这件事就需要把这些种可能的做法加起来； 乘法原理：
完成一件事需要n个步骤，每一步分别有m1，m2，…，mn种做法。
那么完成这件事就需要:
：
m1×m2×…×mn种不同方法。
【排列和组合的区别】
组合是从n个不同的元素种选出m个元素,有多少种不同的选法。
只是把m个元素选出来,而不考虑选出来的这些元素的顺序；而排列不光要选出来,还要把选出来的元素按顺序排上,也就是要考虑选出元素的顺序。
所以从这个角度上说,组合数一定不大于排列数。
【特殊解题方法】
解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法:
插空法，插板法。
以下逐个说明:
（一）.插空法
这类问题一般具有以下特点：
题目中有相对位置不变的元素,不妨称之为固定元素,也有相对位置有变化的元素,称之为活动元素,而要求我们做的就是把这些活动元素插到固定元素形成的空中。
举例说明:
例题1：
一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？
（2008国家行测）A.20 B.12 C.6 D.4
解法1：
这里的“固定元素”有3个，“活动元素”有两个，但需要注意的是,活动元素本身的顺序问题，在此题中：
1）.当两个新节目挨着的时候：
把这两个挨着的新节目看成一个（相当于把它们捆在一起,注意:
捆在一起的这两个节目本身也有顺序）放到“固定元素”形成的空中，有:
C41×2=8种方法。
2）.当两个节目不挨着的时候：
此时变成一个排列问题,即从四个空中任意选出两个按顺序放两个不同的节目,有：
P42=12种方法。
综上所述，共有12+8=20种。
解法2：
分部解决。
1）可以先插入一个节目，有4种办法； 2）然后再插入另一个节目，这时第一次插入的节目也变成“固定元素”故共有5个空可供选择； 应用乘法原理：
4×5=20种
例题2.小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
A.54 B.64 C.57 D.37
解法一：
列表解题，第四个数=第一个数＋第二个数。
台阶
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
走法
0
1
1
1
2
2
3
4
5
7
9
12
16
21
28
37
解法二：
插空法解题:
考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
2）有1次走三级台阶。
（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：
相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有C61=6种走法；
（b）两次三级不挨着时：
相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有C62=15种走法。
4）有3次（不可能）
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有C51+C52=15种走法；
6）有5次（不可能）故总共有：
1+6+15+15=37种。
（二）.插板法:
一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱（一般只要求不等于零），只对分成的份数有要求。
举例说明:
例题1. 把20台电脑分给18个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法?
解析:
此题的想法即是插板思想:
在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板,这样即把其分成18份,那么共有:
C1917=C192=171种。
Eg2。
有10片药，每天至少吃1粒，直到吃完，共有多少种不同吃法？
解法1：
1天吃完：
有C90=1种； 2天吃完：
有C91=9种； …… 10天吃完：
有C99=1种；故共有：
C90+C91+…+C99=（1+1）9=512种。
解法2：
10台电脑内部9个空，每个孔都可以选择插板或者不插板，即每个孔有两种选择，共有9个空，共有29=512种。
这里只讨论了排列组合中相对比较特殊的两种方法，至于其它问题可参见中公网的其它书籍，这里不再赘述。
【排列组合在其他题型中的应用】
例题．学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
A.52 B.36 C.28 D.12
解法一：
本题实际上是想把1152分解成两个数的积，则1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12种不同的拼法。
解法二：
（用排列组合知识求解）
由1152=27×32，那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成两部分，当分配好时，那么长方形的长和宽也就固定了。
具体地：
1）当2个3在一起的时候，有8种分配方法（从后面有0个2一直到7个2）；2）当两个3不在一起时，有4种分配方法，分别是一个3后有0，1，2，3个2。
故共有8+4=12种。
解法三：
若1152=27×32，那么1152的所有乘积为1152因数的个数为（7+1）×（2+1）=24个，每两个一组，故共有24÷2=12组。
错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：
n个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？
所以称之为“错位”问题。
大数学家欧拉（Euler）等都有所研究。
下面先给出一道错位排列题目，让考友有直观感觉。
例1．五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是说5个全部放错）一共有多少种放法？
【解析】：
直接求5个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。
小球数/小盒数全错位排列
10 21（即2、1） 32（即3、1、2和2、3、1） 49
544 6265
当小球数/小盒数为1~3时，比较简单，而当为4~6时，略显复杂，考友只需要记下这几个数字即可（其实0，1，2，9，44，265是一个有规律的数字推理题，请各位想想是什么？
）由上述分析可得，5个小球的全错位排列为44种。
上述是最原始的全错位排列，但在实际公务员考题中，会有一些“变异”。
例2．五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？
【解析】：
做此类题目时通常分为两步：
第一步，从五个瓶子中选出三个，共有种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有2种贴法。
则恰好贴错三个瓶子的情况有种。
【拓展】：
想这样一个问题：
五个瓶子中，恰好贴错三个是不是就是恰好贴对两个呢？
答案是肯定的，是。
那么能不能这样考虑呢？
第一步，从五个瓶子中选出二个瓶子，共有种选法；第二步，将两个瓶子全部贴对，只有1种方法，那么恰好贴对两个瓶子的方法有种。
问题出来了，为什么从贴错的角度考虑是20种贴法，而从贴对的角度考虑是10种贴法呢。
在此明确告知，后者的解题过程是错误的，请考友想想为什么？
【王永恒提示】：
在处理错位排列问题时，无论问恰好贴错还是问恰好贴对，都要从贴错的角度去考虑，这样处理问题简单且不易出错。
排列组合问题是公务员考试当中经常考察的一种题型，也是很多考生理解的不是很清晰的一类题型，所以通过几篇文章详细分析一下排列组合问题的解题思路和解题方法，希望对考生的备考有所帮助。
解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、合理分类与准确分步法（利用计数原理）
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 （ ）
A．120种 B．96种 C．78种 D．72种
分析：
由题意可先安排甲，并按其分类讨论：
1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。
二、特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：
先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
（A） 280种 （B）240种 （C）180种 （D）96种
分析：
由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有种不同的选法，所以不同的选派方案共有=240种，选B。
三、插空法、捆绑法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
例3、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
分析：
先将其余四人排好有A=24种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有C=10种方法，这样共有24*10=240种不同排法。
对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。
例4、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
分析：
先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，则整体有种不同的排法，然后对4幅油画和5幅国画内部进行全排，有种不同的排法，所以不同的陈列方式有种，选D。
排列组合问题是公务员考试当中必考题型，题量一般在一到两道，近年国考这部分题型的难度逐渐在加大，解题方法也越来越多样化，所以在掌握了基本方法原理的基础上，还要求我们熟悉主要解题思想。
那首先什么排列、组合呢?
排列：
从n个不同元素中，任取m个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合：
从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。
下面通过例题逐个掌握：
一、相邻问题---捆绑法不邻问题---插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
【例题1】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法?
A.20B.12C.6D.4
【答案】A。
【解析】首先，从题中之3个节目固定，固有四个空。
所以一、两个新节目相邻的的时候：
把它们捆在一起，看成一个节目，此时注意：
捆在一起的这两个节目本身也有
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