湖南省长郡中学届高三月考试题五数学文试题Word版含答案.docx

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湖南省长郡中学届高三月考试题五数学文试题Word版含答案

炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（五）

数学（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．每题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）

1．已知为实数集，集合，则（）

A．B．C．D．

2．若的平均数为3，标准差为4，且，，则新数据的平均数和标准差分别为（）

A．-912B．-936C．336D．-312

3．已知直角梯形中，，，，，，点在梯形内，那么为钝角的概率为（）

A．B．C．D．

4．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数（）

A．1B．-1C．2D．-2

5．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的范围是（）

A．B．C．D．

6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A．B．C．D．5

7．变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）

A．B．C．D．

8．函数的大致图象是（）

A．B．C．D．

9．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）

A．B．C．D．

10．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）

A．B．C．0D．

11．在中，角的对边分别为，且，则角的最大值是（）

A．B．C．D．

12．设点，，点在双曲线上，则使的面积为3的点的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）

13．已知，，则与的夹角的余弦值为．

14．是长、宽、高分别为12，3，4的长方体外接球表面上一动点，则到长方体各个面所在平面的距离的最大值是．

15．设函数的定义域为，如果，，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为．给出下列四个函数：

①；②；③；④．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是．

16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知函数的图象过点，且点在函数的图象上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，若数列的前项和为，求证：

．

18．如图，已知是直角梯形，，，，，平面．

（Ⅰ）上是否存在点使平面，若存在，指出的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）证明：

；

（Ⅲ）若，求点到平面的距离．

19．博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．

（Ⅰ）试求受奖励的分数线；

（Ⅱ）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率．

20．已知为坐标原点，，是椭圆上的点，且，设动点满足．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求三角形面积的最大值．

21．已知函数．

（Ⅰ）若为的极值点，求的值；

（Ⅱ）若在单调递增，求的取值范围．

（Ⅲ）当时，方程有实数根，求的最大值．

请考生在（22）～（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆，圆．

（Ⅰ）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）；

（Ⅱ）求出与的公共弦的参数方程．

23．选修4-5：

不等式选讲

已知函数，

（Ⅰ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若关于的一次二次方程有实根，求实数的取值范围．

试卷答案

一、选择题

1-5:

ADABA6-10:

BDBDA11、12：

AA

二、填空题

13．14．15．③16．

三、解答题

17．【解析】（Ⅰ）∵函数的图象过点，

∴，．

又点在函数的图象上，

从而，

即．

（Ⅱ）证明：

由，，得，

，

则，

两式相减得：

，

∴，

∴，

∵，∴．

18．【解析】证明：

当为中点时满足题意

（Ⅰ）取的中点为，连结．

∵，，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

即．

∵平面，

∴平面．

∵分别是的中点，∴，

∵平面，

∴平面．

∵，

∴平面平面．

∵平面，

∴平面．

（Ⅱ）由已知易得，．

∵，

∴，即．

又∵平面，平面，

∴．

∵，

∴平面

∵平面，

∴．

（Ⅲ）由已知得，所以．

又，则，由得，

∵，

∴到平面的距离为．

19．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为，竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在之间，设受奖励分数线为，则，解得，故受奖励分数线为86．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在的人数为8，分数在的人数为12，利用分层抽样，可知分数在的抽取2人，分数在的抽取3人，设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，所有的可能情况有，，，，，，，，，，满足条件的情况有，，，所求的概率为．

20．【解析】（Ⅰ）设点，，，

则由，得，

即，，因为点在椭圆上，

所以，，

故

，

因为，

所以动点的轨迹的方程为．

（Ⅱ）将曲线与直线联立：

，消得：

，

∵直线与曲线交于两点，设，，

∴，又∵，得，

，，

∴，

∵点到直线的距离，

∴

，当时等号成立，满足（*）

∴三角形面积的最大值为．

21．【解析】（Ⅰ），求导，，

由为的极值点，则，即，解得：

，

当时，，

从而为函数的极值点，成立，

∴的值为0；

（Ⅱ）在单调递增，则，

则在区间上恒成立，

①当时，在区间上恒成立，

∴在区间上单调递增，故符合题意；

②当时，由的定义域可知：

，

若，则不满足条件在区间上恒成立，

则，

则，对区间上恒成立，

令，其对称轴为，

由，则，

从而在区间上恒成立，

只需要即可，

由，解得：

，

由，则，

综上所述，的取值范围为；

（Ⅲ）当时，方程，转化成，

即，令，

则在上有解，

令，，

求导，

当时，，故在上单调递增；

当时，，故在上单调递减；

在上的最大值为，

此时，，

当时，方程有实数根，则的最大值为0．

22．【解析】（Ⅰ）由，，

得圆的极坐标方程为，

圆，即的极坐标方程为，

解，得：

，，

故圆的交点坐标为，．

注：

极坐标系下，点的表示不唯一．

（Ⅱ）由，得圆的交点的直角坐标，，

故的公共弦的参数方程为，．

23．【解析】（Ⅰ）因为，

所以，即，

所以实数的取值范围为；

（Ⅱ），

即，

所以不等式等价于

或或，

所以，或，或，

所以实数的取值范围是．