考研数学二真题与解析.docx

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考研数学二真题与解析

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2014年考研数学二真题与解析

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当

时，若

，

均是比

高阶的无穷小，则

的可能取值范围是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【详解】

，是

阶无穷小，

是

阶无穷小，由题意可知

所以

的可能取值范围是

，应该选（B）．

2．下列曲线有渐近线的是

（A）

（B）

（C）

（D）

【详解】对于

，可知

且

，所以有斜渐近线

应该选（C）

3．设函数

具有二阶导数，

，则在

上（）

（A）当

时，

（B）当

时，

（C）当

时，

（D）当

时，

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间

上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然

就是联接

两点的直线方程．故当

时，曲线是凹的，也就是

，应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间

上凹凸的定义不熟悉的话，可令

，则

，且

，故当

时，曲线是凹的，从而

，即

，也就是

，应该选（D）

4．曲线

上对应于

的点处的曲率半径是（）

（Ａ）

（Ｂ）

　　（Ｃ）

　（Ｄ）

【详解】曲线在点

处的曲率公式

，曲率半径

．

本题中

，所以

，

，

对应于

的点处

，所以

，曲率半径

．

应该选（C）

5．设函数

，若

，则

（）

（Ａ）

　　　（Ｂ）

　　　　（Ｃ）

　　　　（Ｄ）

【详解】注意

（1）

，

（2）

．

由于

．所以可知

，

，

．

6．设

在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足

及

，则（）．

（A）

的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

（B）

的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）

的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

（D）

的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

【详解】

在平面有界闭区域D上连续，所以

在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点

，也就是

，在这个点处

，由条件，显然

，显然

不是极值点，当然也不是最值点，所以

的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．

所以应该选（A）．

7．行列式

等于

（A）

（B）

　　（C）

（D）

【详解】

应该选（B）．

8．设

是三维向量，则对任意的常数

，向量

，

线性无关是向量

线性无关的

（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件

【详解】若向量

线性无关，则

（

，

）

，对任意的常数

，矩阵

的秩都等于2，所以向量

，

一定线性无关．

而当

时，对任意的常数

，向量

，

线性无关，但

线性相关；故选择（A）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

9．

．

【详解】

．

10．设

为周期为4的可导奇函数，且

，则

．

【详解】当

时，

，由

可知

，即

；

为周期为4奇函数，故

．

11．设

是由方程

确定的函数，则

．

【详解】设

，

，当

时，

，

，

，所以

．

12．曲线

的极坐标方程为

，则

在点

处的切线方程为．

【详解】先把曲线方程化为参数方程

，于是在

处，

，

，则

在点

处的切线方程为

，即

13．一根长为1的细棒位于

轴的区间

上，若其线密度

，则该细棒的质心坐标

．

【详解】质心坐标

．

14．设二次型

的负惯性指数是1，则

的取值范围是．

【详解】由配方法可知

由于负惯性指数为1，故必须要求

，所以

的取值范围是

．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限

．

【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．

【详解】

16．（本题满分10分）

已知函数

满足微分方程

，且

，求

的极大值和极小值．

【详解】

解：

把方程化为标准形式得到

，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：

，由

得

，

即

．

令

，得

，且可知

；

当

时，可解得

，

，函数取得极大值

；

当

时，可解得

，

，函数取得极小值

．

17．（本题满分10分）

设平面区域

．计算

【详解】由对称性可得

18．（本题满分10分）

设函数

具有二阶连续导数，

满足

．若

，求

的表达式．

【详解】

设

，则

，

;

；

由条件

，

可知

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．

对应齐次方程的通解为：

其中

为任意常数．

对应非齐次方程特解可求得为

．

故非齐次方程通解为

．

将初始条件

代入，可得

．

所以

的表达式为

．

19．（本题满分10分）

设函数

在区间

上连续，且

单调增加，

，证明：

（1）

；

（2）

．

【详解】

（1）证明：

因为

，所以

．

即

．

（2）令

，

则可知

，且

，

因为

且

单调增加，

所以

．从而

，

也是

在

单调增加，则

，即得到

．

20．（本题满分11分）

设函数

，定义函数列

，

，

设

是曲线

，直线

所围图形的面积．求极限

．

【详解】

，

，

利用数学归纳法可得

，

．

21．（本题满分11分）

已知函数

满足

，且

，求曲线

所成的图形绕直线

旋转所成的旋转体的体积．

【详解】

由于函数

满足

，所以

，其中

为待定的连续函数．

又因为

，从而可知

，

得到

．

令

，可得

．且当

时，

．

曲线

所成的图形绕直线

旋转所成的旋转体的体积为

22．（本题满分11分）

设

，E为三阶单位矩阵．

（1）求方程组

的一个基础解系；

（2）求满足

的所有矩阵．

【详解】

（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：

，

得到方程组

同解方程组

得到

的一个基础解系

．

（2）显然B矩阵是一个

矩阵，设

对矩阵

进行进行初等行变换如下：

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为

，

，

，

即满足

的所有矩阵为

其中

为任意常数．

23．（本题满分11分）

证明

阶矩阵

与

相似．

【详解】证明：

设

，

．

分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：

，

所以A的

个特征值为

；

而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且

；

所以B的

个特征值也为

；

对于

重特征值

，由于矩阵

的秩显然为1，所以矩阵B对应

重特征值

的特征向量应该有

个线性无关，进一步矩阵B存在

个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且

从而可知

阶矩阵

与

相似．