《空间向量的应用距离》教学设计.docx

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《空间向量的应用距离》教学设计

《空间向量的应用—距离》教学设计

一、教学内容解析

本节课是参照新课标高中数学人教B版数学选修2-1第三章空间量与立体几何3.2.5距离一节．它是空间向量及其运算之后，将其方法在立体几何中的应用，属于概念性知识和程序性知识．本课虽篇幅不长，但从学生的角度讲仍占有较高的地位，是对以往所学知识的梳理、归纳和提升，使学生从另一个视角认识空间向量的应用．通过观察，思考，动手操作可使其深刻理解数学源于生活，应用于生活，进而产生浓厚的数学学习兴趣，体会综合几何法和向量方法各自的优势，在学习的过程中深刻体会类比思想、化归思想等数学思想方法，让学生初步形成数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等学科核心素养．这部分知识的学习，不仅对学生核心素养的形成起到巨大的促进作用，更让学生深刻体会程序化思想，以及寻找一些问题的通性通法。

教学重点：

四种距离的概念，点到平面距离的求法．

二、教学目标设置

课程目标：

在必修课程学习的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何图形中图形的位置关系和度量关系。

单元目标：

本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何法的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。

课堂目标：

通过本小节的教学，是学生达到以下要求：

（1）理解图形F1与图形F2的距离的概念；

（2）掌握四种距离的概念，会解决一些简单的距离问题．

（3）学生能够独立用向量方法解决四类距离问题

（4）学生能够利用数学抽象的方法发现生活中的距离问题；利用类比的方法总结并推广向量基本定理；利用化归的方法由点到平面的距离的向量解法推广到求直线与它平行平面、两平行平面的距离．

三、学生学情分析

教学主体——学生是普通高中二年级学生，已经掌握了立体几何初步以及空间向量与立体几何的基本内容．学生已经具有一定的观察、类比、化归、直观想象和逻辑推理的能力，具有初步的抽象思维和科学探究能力．学生在学习生活中可能已经遇到过求图形距离的相关事例，但对于空间向量求距离仍是比较陌生的．通过教师引导可以将学生已学过的空间向量知识应用到求解几何图形的距离上来，这是学生在老师的帮助下搭建图形距离与空间向量体系的桥梁。

高中二年级学生正处于高中学习的关键时期，新课程实施中，要求他们对数学选修课程做出较好理解，并将影响到他们人生发展方向．本节教学内容既有数学基础知识，又联系实际生活，学生通过观察体验、几何直观、逻辑推理及试验探究过程可以体会空间向量的应用，体会数学的发现美，简洁美，有助于学生提高学科素养．

教学难点：

向量法求点到平面的距离．学生已经掌握了求法向量的一般方法，并且能够熟练运用。

而本节课的难点在于理解参考向量与法向量的关系是如何决定点到平面距离的。

在公式的得出上需要教师下大力气引导学生独立完成。

四、教学策略分析

先由引例出发，创设情境，激发学生对图形间的距离问题的研究兴趣，学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，唤起思维上的活动，在讲授新课部分，通过结合多媒体教学、实际操作、软件辅助、小组讨论以及一系列的课堂探究活动，加深学生对图形间距离的认识，引导学生从实例中感悟图形间的距离，体会引入图形间距离的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率．最后通过课堂例题来巩固学生对四种距离的定义和计算公式的掌握．对不同认知的同学给予充分的关注，倾听他们的想法，指导思维上的不足，提供相应的学习机会，让他们在这堂课中有巨大的收获。

五、教学过程设计

课堂教学过程

创

设

情境

‘

引

入

课

题

多媒体

学生活动

教师活动

设计意图

一、创设情境导入新课

ppt:

问题情境：

问题1：

下面我给出一个场景，大家找找里面蕴藏哪些距离问题，这些问题又可以抽象为哪些数学模型？

问题2：

进一步追问，图中又有哪些图形与图形的距离呢？

问题3：

如何定义图形间的距离？

问题4：

试在手中的几何体中确定两个点，并寻找一种方法求出两点之间的距离。

问题5：

结合例1，探讨平行六面体的体对角线怎么求？

问题6：

如何表示未知向量

？

根据什么？

问题7：

结合平行向量基本定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理，对比讨论，围绕以下四个方面你能得出哪些结论？

1.未知向量的维度

2.已知基底的个数

3.基底所满足的条件

4.在其他学科的应用

学生：

大胆尝试，给出答案．

学生：

提出猜想，等待确定答案．

学生：

根据直观感知，大胆说出自己的答案。

学生：

动手操作，直观感知几何体，结合以往所学，寻找方法。

学生：

通过观察，和尝试感悟综合几何法与向量方法的局限性。

学生：

把

、

、

，看做一组基底，线性表示

。

根据空间向量基本定理。

学生：

小组讨论，分享讨论结果。

教师：

引导学生发现问题，提出问题．

教师：

引导学生注意图形间的距离和平面间距离的区别．

教师：

根据学生的提问从物理数学两个视角距离，引导学生刻画图形间的距离。

教师：

引导学生体会综合几何法和向量方法各自的优势所在，帮助学生梳理综合几何法和向量方法。

教师：

通过Geogebra软件演示平行六面体，并作出辅助线，让学生清晰认识综合几何法和空间向量坐标法的局限性。

教师：

引导学生用已知向量表示未知向量。

体会“基”的思想。

教师：

引导学生体会“基”的思想。

总结提升向量基本定理的地位和作用。

设置一个情境，以学生为主体，通过观察发现并提出问题．首先在学生的思维里呈现距离的概念．并体会如何从生活中的问题抽象到数学模型．

将生活中的实例抽象成具体的数学模型，初步形成图形间的距离的概念，体会数学中发现问题和提出问题的过程与方法．

这个过程让学生深刻体会数学源于生活，用最贴近生活的实例，引导学生建立严密的概念。

动手操作帮助学生积累基本操作经验，建立图形直观。

多方面引导学生认识平行六面体，体会综合几何法和向量方法的区别。

体会基本定理的重要性，着重引导学生体会“基”的思想

体会基本定理的重要性，着重引导学生体会“基”的思想。

活动探究

，

归纳新知

二、学习任务1：

归纳四种距离的定义和计算公式

ppt：

归纳：

如何定义点到平面的距离

形成概念：

点到平面的距离的定义

方法探究：

如何用向量方法求点到平面的距离

概念延伸：

如何定义直线与它平行平面的距离

如何利用空间向量法求距离

如何定义两平行平面的距离

利用空间向量法求距离

学生：

根据图形与图形的距离的定义概括出点到平面距离的定义。

学生：

观察法向量和参考向量的关系，并得到结论。

学生：

对比观察，将这类问题化归为点到平面的距离，再化归为点到点的距离。

教师：

根据学生回答情况分析进行引导，进而让学生尝试归纳出点到平面距离的定义，步入新课．

教师：

引导学生观察法向量和参考向量的关系，并得出参考向量在法向量方向上的投影。

教师：

引导学生给出直线与它平行平面的距离、两平行平面的距离的定义，体会其中转化为两点间距离的化归思想。

让学生充分体会概念的形成过程，同事感悟“计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离”这句话的含义。

通过多组参考向量和法向量的作图，引导学生直观感知投影的威力。

让学生充分体会化归的思想。

三、课堂教学目标检测，学习任务2：

空间向量的应用

例题讲解：

例1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，求AC1的长．

例2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．

学生：

综合几何法与向量坐标法两次尝试未果，转向空间向量基本定理。

学生：

独立完成本题．

教师：

分析综合几何法和向量坐标法的难点所在，加以引导学生转向利用已知向量表示未知向量．

教师：

利用软件投屏，让全体同学帮助批改，注意书写过程。

通过相互讨论，加强学生间的交流与合作．本题能让学生充分体会“基”的思想以及向量法的优越性。

通过学生的批改，让他们注意到一些过程的必要性，以及如何用数学的语言表达世界。

四、课堂小结

请同学们总结求距离问题的程序。

学生：

总结所学知识．

教师：

分析数学思想方法，从中引导学生体会通性通法以及程序思想，总结所学．

进一步达到学习目标，总结本节课所用到的数学思想方法，是本课的升华．

课后作业

五、课后作业

复习本节所学内容

完成书后测试题

牢固掌握基础知识，熟练基本技能。

板书设计

距离

1.图形与图形的距离

2.点到平面的距离

3.直线与它的平行平面的距离

4.两平行平面的距离

教学反思

六、课堂教学目标检测

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．

解　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则G（0,0,2），

E（4，－2,0），F（2，－4,0），B（4,0,0），∴

＝（4，－2，－2），

＝（2，－4，－2），

＝（0，－2,0）．

设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z）．由

得

∴x＝－y，z＝－3y.取y＝1，则n＝（－1,1，－3）．

∴点B到平面EFG的距离d＝

＝

＝

.

班级47人，满分人数（12分）

错误原因分析：

修正方案：