五年级下册数学最大公因数与最小公倍数.docx

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五年级下册数学最大公因数与最小公倍数

最大公约数与最小公倍数

①几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如：

12和30的公约数有：

1、2、3、6；12和30的最大公约数是6。

求最大公约数的一般方法：

分解质因数法。

例如18和24，18=2×3×3，24=2×2×2×3，共有的质因数2和3，所以它们的最大公约数2×3=6最大公约数性质：

两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

例如：

36和24的最大公约数是12两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。

例如36和48的最大公约数是12互质数：

如果两个数的公约数只有1，那么这两个数叫做互质数（或互素数），或者说这两个数互质。

注意：

区分质数、质因数和互质数的含义。

①两个质数一定是互质数。

例如，2与7、13与19。

②一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。

例如，3与10、5与26。

③1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。

如1和9908。

④相邻的两个自然数是互质数。

如15与16。

⑤相邻的两个奇数是互质数。

如49与51。

⑥大数是质数的两个数是互质数。

如97与88。

⑦小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。

如7和16。

⑧两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两

个数是互质数。

如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，

这两个数为互质数。

⑨两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，

这两个数是互质数。

如85和78。

85－78＝7，7不是78的约数，这两个数是互质

数。

⑩两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“1”）的所有质因数，

都不是小数的约数，这两个数是互质数。

如462与221，462÷221＝2……20。

②几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：

12和812的倍数有12、24、36、48、60、72……，8的倍数有8、16、24、32、40、48、56、64、72……可知，12和8的公倍数有24、48、72……，12和8的最小公倍数是24。

两个数的公倍数的个数是无限的，最小的一个被称为它们的最小公倍数，两个数没有最大公倍数。

求最小公倍数的一般方法：

分解质因数法。

例如15和21，15=5×3，21=3×7，共有的质因数3，21独有的质因数是7、15独有的质因数是5，所以它们的最小公倍数3×5×7=105。

最小公倍数的性质：

两个数的最小公倍数和最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

例如：

4和10两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

例如：

150是15和25的一个公倍数。

求最大公约数的方法

①分解质因数法：

先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．

例如：

，

，所以

；

②短除法：

先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：

，所以

；

求最小公倍数的方法：

①分解质因数的方法；

例如：

，

，所以

；

②短除法

例如：

，所以

；

③

．

最大公约数与最小公倍数的常用性质

1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果

为

、

的最大公约数，且

，

，那么

互质，所以

、

的最小公倍数为

，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①

，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是

、

、

、

及最小公倍数的约数．

2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即

，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a）奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：

，210就是5、6、7的最小公倍数

b）偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：

，而6,7,8的最小公倍数为

性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

【例1】AB都是自然数，如果A÷B=5，a和b的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

【例2】如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

【例3】数a和数b是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（）倍。

【例4】甲=A×B×C×D，乙=A×B×D×D，甲和乙的最大公约数是（），甲和乙的最小公倍数是（）。

【例5】A＝2×3×a，B＝2×a×7，已知A、B的最大公约数是6，那么a=（　　）；A和B的最小公倍数是（　　）。

【巩固】甲

，乙

，甲和乙的最大公因数是（）×（）＝（），

甲和乙的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）。

【巩固】A=2×2×3×7，B=2×2×2×7，A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

【例6】三个连续自然数的和是30，这三个自然数分别是（），这三个数的

最大公约数是（），最小公倍数是（）。

【巩固】三个连续偶数的和是48，这三个偶数分别是（），这三个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

【例7】两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

【巩固】两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

【例8】两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？

【例9】甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地

点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？

【巩固】一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每

秒行6米，丙每秒行5米。

至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？

【巩固】甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，

丙每秒跑3米。

若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？

【例10】一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。

要堆成正方体至少需要这样的砖头多

少块？

【巩固】用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样

的长方体多少块？

【巩固】有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽

可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？

【例11】一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体

小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？

【例12】有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。

这个自然数最小是多少？

【巩固】一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒

棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？

【巩固】有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。

这批树苗数

在150至200之间，求共有多少棵树苗。

【例13】学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11

人一行也余2人。

六年级最少多少人？

【巩固】一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。

这袋糖至少有

多少块？

【例14】有一批水果，总数在1000个以内。

如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果

每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。

这批水果共有多少个？

【巩固】有一批乒乓球，总数在1000个以内。

4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个

装一袋最后都剩下一个。

这批乒乓球到底有多少个？

【例15】从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距

50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少

根不必移动？

【巩固】插一排红旗共26面。

原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。

如果起点一

面不移动，还可以有几面不移动？

【巩固】一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。

原来每隔2米植一棵树，由于

小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。

如果两端不算，中间有几棵不必移动？

1、三个连续奇数的和是21，这三个奇数分别是（），这三个数的最大公约数

是（），最小公倍数是（）。

2、三个连续自然数的和是21，这三个数的最小公倍数是（）。

3、所有自然数的公约数为（），0以外所有偶数的的最大公约数是（）。

4、如果m、n都是非0的自然数，m÷7＝n，m和n的最大公因数是（　　）。

5、N是7的倍数，写出前一个和后一个7的倍数是（）和（）

6、把自然数a和b分解质因数得到：

a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a和b的最小公倍数是2310，那么m=（）。

7、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？

8、两个数的最大公约数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？

9、求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。

10、已知两个数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。

11、已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。

12、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。

这个数最小是多少？

13、五

（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。

请你算一算，五

（1）班有多少位同学？

14、有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。

这批水果至少有多少个？

15、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？

16、有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。

现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？

17、学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级最多有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？

18、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？

19、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

20、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？

21、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。

有一天，他们三人恰好在图书馆相会。

问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？

22、一张长方形的张，长7分米5厘米、宽6分米。

现在要把它裁   成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？

如果要使裁得的正方形面积最大，可裁多少块？

23、有一个长方体大块，长60厘米，宽40厘米，高24厘米，如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？