一线三等角型相似三角形.docx
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一线三等角型相似三角形
第七讲一线三等角型相似三角形
例1如图，等边△ABC中，边长为6,D是BC上动点，/EDI=60°
（1）求证：
△BD0ACFD
（2）当BD=1,FC=3时，求BE
例2：
（1）在ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点
P不与点C、点B重合），且保持■APQ=/ABC.
1若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；
2
若BP二x，CQ二y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
备用图备用图
（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与
点C、点B重合），且保持■APQ=90.当CQ=1时，求出线段BP的长.例3：
已知在梯形ABCD中，AD//BGAD（1）如图8,P为AD上的一点，满足/BPC=/A.
1求证；△ABMADPC
2求AP的长.
APD
BC
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点AD不重合），且满足/BPE=ZA,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q那么
1当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
2当CE=1时，写出AP的长.
AD
例4：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB二CD二BC=6,AD=3•点M为边BC的中点，以M为顶点作.EMF=/B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F，联结EF•
（1）求证：
△MEFBEM;
（2）若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
（3）
若EF_CD，求BE的长.
相关练习:
1、如图，在△ABC中,AB=AC=8,BC=10,D是BC边上的一个动点，点E在AC
边上，且.ADE•
求证：
△ABBADCE
如果BD=x,AE=y，求y与x的函数解析式，并写出自变量
当点D是BC的中点时，试说明厶ADE是什么三角形，并说明理由.
2、如图，已知在厶ABC中，AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点，B[=2,E是BC上一动点,联结DE并作NDEF=NB，射线EF交线段AC于F.
（1）求证：
△DBE^AECF
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF,如果△DEF-与^DBE相似，求FC的长.
3、已知在梯形ABCDKAD//BCAD（1）如图，P为BC上的一点，且BF=2•求证：
△BEF^ACPD
（2）如果点F在BC边上移动（点F与点BC不重合），且满足/EFf=ZC,PF交直线CD于点F,冋时交直线AD于点M那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x,DF=y，求y关于x的函数解析式，并
写出函数的定义域；
D
②当SDMF
E
9
Sbep时，求BP的长.
4:
A
E
A
D
B'
P
C
B
C
（第25题图）
（备用图）
4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF-1，点E是射线BA上一
动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N,
（1）写出图中与BEF相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设BE=x,MN二y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
（4）若AE=1，试求GMN的面积.
一线三直角型相似三角形备用图
例1、已知矩形ABCD中，CD=2AD=3点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点
P作PE_CP，交边AB于点E,设PD=x,AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
BC
AC2
例2、在ABC中，.C=90°,AC=4,BC=3,0是AB上的一点，且型=2，点P是
AB5
AC上的一个动点，PQ_CP交线段BC于点Q,（不与点B,C重合），设AP二x,CQ二y，
试求y关于x的函数关系，并写出定义域。
【练习1】
3
在直角MBC中，NC=90°,AB=5,tanB=—，点D是BC的中点，点E是AB边上的动
4
点，DF_DE交射线AC于点F
（1）、求AC和BC的长
（2）、当EF//BC时，求BE的长。
（3）
、连结EF,当也DEF和AABC相似时，求BE的长。
F
D
【练习2】
在直角三角形ABC中，.C=90°,AB=BC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动
点，（与A,C不重合），DF_DE,DF与射线BC相交于点F.
（1）、当点D是边AB的中点时，求证：
DE=DF
（2）、当型，求匹的值
DBDF
AD1
（3）、当AC=BC=6,——=—,设AE=x,BF=y,求y关于x的函数关系式，并写出DB2
定义域
3
【练习4】］如图，在:
ABC中，.C=90,AC=6,tanB,D是BC边的中点，
4
E为AB边上的一个动点，作.DEF=90,EF交射线BC于点F•设BE=x,BED的面积为y.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）
如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积•
【练习5】、（2009年黄浦一模25）
4如图,在梯形ABC中，ABCD,AB二2,AD二4,tanC
3
■ADC=/DAB=900,P是腰BC上一个动点（不含点B、C）,作PQ_AP交CD于点
Q.（图1）
⑴求BC的长与梯形ABCD的面积；
（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）
（3）设BP二x,CQ二y,试求y关于x的函数解析式，并写出定义域.
相似三角形作业3
1、如图AB//CD//EF,则图中相似三角形的对数为（）
A、1对B、2对C、3对D4对
AB
2、如图，DE与BC不平行，当一=时，
AC
AABC与AADE相似。
3、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE±BC于E,AF丄CD于F.
⑴AABE与AADF相似吗？
说明理由.
⑵AAEF与AABC相似吗？
说说你的理由.
4、.如图，D为AABC内一点，E为AABC外一点，且/1=Z2,Z3=74.
（1）AABD与ACBE相似吗？
请说明理由⑵AABC与ADBE相似吗？
请说明理由
5、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线
都在同一平面内，回答下列问题：
（1）图中共有个三角形•
（2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？
如果有，就把它们
6、如图，AB丄BC,DCLBC,垂足分别为BC,且AB=8
在点P使厶ABP与△DCP相似？
若有，有几个?
并求出此时BP的长，若没有，请说明理由。
7、已知：
如图,CE是RtAABC的斜边AB上的高，BG丄AP.
求证:
ce2=ed-ep.
8、.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,DA_AB,CD=2,AB=3,AD=7，在AD
上能否找到一点P,使三角形PAB和三角形PCD相似？
若能，共有几个符合条件的点P?
并求相应PD的长。
若不能，说明理由。
9、如图：
AB是等腰直角三角形ABC的斜边，点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN
将厶MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为P,
①当P是边AB中点时，求证:
PACM
PB一CN
PACM
②当p不是边AB中点时，矿而是否仍成立？
请证明你的结论;
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