1数列高考真题全国卷文科.docx
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1数列高考真题全国卷文科
数列（2011-2015全国卷文科）
一.等差数列、等比数列的基本概念与性质
（一）新课标卷
n1.（2012.全国新课标12）数列{}
a满足a1
（1）a2n1，则{an}的前60项和为
nnn
（）
（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830
2.（2012.全国新课标14）等比数列{a}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_____-2
n
（二）全国Ⅰ卷
1.（2013.全国1卷6）设首项为1，公比为
2
3
的等比数列{a}的前n项和为
n
S，则（）
n
（A）
S=2an-1（B）
n
S=3an-2（C）
n
S=4-3an（D）
n
S=3-2an
n
2（.2015.全国1卷7）已知{a}是公差为1的等差数列，
n
S为{a}的前n项和，若
nn
SS，
844
则
a（）
10
（A）
17
2
（B）
19
2
（C）10（D）12
3.（2015.全国1卷13）数列
a中a12,an12an,Sn为an的前n项和，若Sn126，
n
则n.6
（三）全国Ⅱ卷
1.（2014.全国2卷5）等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的
前n项和
S=（）
n
（A）nn1（B）nn1（C）
nn
2
1
（D）
nn
2
1
2.（2014.全国2卷16）数列
a满足
n
a
n
1
1
1
a
n
，
a=2，则a1=_________.
2
1
2
3.（2015.全国2卷5）设
S是等差数列{an}的前n项和，若a1a3a53，则S5（）
n
A．5B．7C．9D．11
1
4.（2015.全国2卷9）已知等比数列{a}满足a1，a3a54a41，则a2（）
n
4
1
_
A.2B.1C.
1
2
D.
1
8
二.数列综合
（一）新课标卷
1
3.（2011.全国新课标17）（本小题满分12分）已知等比数列{a}中，1
a，公比
n
3
1
q．
3
（I）Sn为{an}的前n项和，证明：
S
n
1
a
n
2
（II）设bnlog3a1log3a2log3an，求数列{bn}的通项公式．
1111
n
解：
（Ⅰ）因为.
a（）
n
n
333
S
n
1
3
（1
1
1
n
3
1
3
）
1
1
n
3
2
1an
所以,
S
n
2
（Ⅱ）
bnlog3a1log3a2log3a
n
（12n）
n（n1）
2
n（n1）
所以{bn}的通项公式为bn.
2
（二）全国Ⅰ卷
2.（2013.全国1卷17）（本小题满分12分）已知等差数列｛an｝的前n项和Sn满足S3=0，S5=-5.
（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）求数列
a
1
212n
na
1
的前n项和裂项相消
2
4.
（2014.全国1卷17）（本小题满分12分）已知
a是递增的等差数列，
n
a、
2
a是方程
4
2560
xx的根。
（I）求
a的通项公式；
n
（II）求数列
a
n
n
2
的前n项和.错位相减
【解析】：
（I）方程
2560
xx的两根为2,3,由题意得a22，a43，设数列an的
3
1
a
公差为d,，则，从而1
aa2d
，故d=
42
，
2
2
所以
a的通项公式为：
n
1
an1⋯⋯⋯⋯6分
n
2
（Ⅱ）设求数列
a
2
n
n
的前n项和为Sn,由（Ⅰ）知
an
n
nn
22
2
1
，
则：
345n1n2
S
n234nn1
22222
1345n1n2
S两式相减得
nnn34512
222222
3
13111n2311n2
S1
n34n1n2n1n2
2422224422
所以
n4
S2⋯⋯⋯12分
nn1
2
5.（2016全国卷1.17）.（本题满分12分）已知
a是公差为3的等差数列,数列bn满
n
1
b=1，b=，abbnb,.足1211nnnn
3
（I）求
a的通项公式；
n
（II）求
b的前n项和.公式
n
（II）由（I）和
b
n
abbnb,得b1,因此
n
nn1n1n
3
b是首项为1,公比为
n
1
3
的等比数列.
b的前n项和为Sn,则记
n
1
n
1（）
31
3.S
nn1
12231
3
2（2017新课标Ⅰ文数）（12分）
记Sn为等比数列an的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
（1）求an的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列
。
（三）全国Ⅱ卷
3.（2013.全国2卷17）（本小题满分12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，
a11，a13成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求a1＋a4＋a7＋⋯＋a3n
－2.
4
解：
（1）设{an}的公差为d.
由题意，
2
a＝a1a13，
1a13，
11
即（a1＋10d）
2
＝a1（a1＋12d）．
于是d（2a1＋25d）＝0.
又a1＝25，所以d＝0（舍去），d＝－2.
故an＝－2n＋27.
（2）令Sn＝a1＋a4＋a7＋⋯＋a3n－2.
由
（1）知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝
n
2
（a1＋a3n－2）＝
n
2
（－6n＋56）＝－3n2＋28n.
2＋28n.
6.（2016全国卷2.17）（本小题满分12分）
等差数列{
a}中，a3a44,a5a76.
n
（Ⅰ）求{
a}的通项公式；
n
（Ⅱ）设b[a]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如
nn
[0.9]=0,[2.6]=2.
试题解析：
（Ⅰ）设数列
a的公差为d，由题意有2a15d4,a15d3，解得
n
2
a1,d，
1
5
所以
a的通项公式为
n
2n3
a.
n
5
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
2n3
b，
n
5
当n1,2,3时，
2n3
12,b1；
n
5
当n4,5时，
2n3
23,b2；
n
5
当n6,7,8时，
2n3
34,b3；
n
5
当n9,10时，
2n3
45,b4，
n
5
所以数列
b的前10项和为1322334224.
n
5
6（2017新课标Ⅱ文）（12分）
已知等差数列{a}的前n项和为
n
S，等比数列{bn}的前n项和为Tn，
n
a11,b11,a2b22.
（1）若a3b35，求{bn}的通项公式；
（2）若
T321，求S3.
（三）全国III卷
（2016全国卷3.17）（本小题满分12分）
已知各项都为正数的数列
a满足a11，
n
2
a（2a1）a2a0.
nn1nn1
（I）求
a2,a3；
（II）求
a的通项公式.
n
试题解析：
（Ⅰ）由题意得
11
a2,a..........5分
3
24
考点：
1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．
（2017新课标Ⅲ文数）
设数列
a满足a13a2（2n1）an2n.
n
（1）求
a的通项公式；
n
（2）求数列
a
n
2n1
的前n项和.
6
7.
（2016北京15）.（本小题13分）
已知{a}是等差数列，{bn}是等差数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.
n
（1）求{a}的通项公式；
n
（2）设cnanbn，求数列{cn}的前n项和.分组
（II）由（I）知，a2n1，
n
n1
b3．
n
因此
n1
cab2n13．
nnn
从而数列cn的前n项和
n
S132n1133
n
1
nn12n113
213
n
231
n．
2
7
8.
（2016浙江.17本题满分15分）设数列{
a}的前n项和为
n
S.已知S2=4，an1=2Sn+1，
n
*
nN.
（I）求通项公式
a；
n
（II）求数列{2
an}的前n项和.分组法
n
2,n1
【答案】（I）
n1*
a3,nN；（II）2
Tnnn
3511
nn
n2,nN
2
*
.
8
9.
（天津18）（本小题满分13分）已知an是等比数列，前n项和为SnnN，且
112
aaa
123
S63
6
.
（Ⅰ）求
a的通项公式；
n
（Ⅱ）若对任意的,b
nN是log2an和log2an1的等差中项，求数列
n
1
n
2
b的前2n
n
项和.分组
试题解析：
（Ⅰ）解：
设数列{a}的公比为q，由已知有
n
1
a
1
1
aq
1
2
2
aq
1
，解之可得
66
a（1q）
a（12）
11
q2,q1，又由Sn63知q1，所以63
1q12
，解之得1
a，
1
所以
n1
a2.
n
（Ⅱ）解：
由题意得
111
n1n
bn（log2aloga）（log2log2）n，即数
n2n122
222
列{b}是首项为
n
1
2
，公差为1的等差数列.
nb2的前n项和为Tn，则设数列{
（1）}
n
2n（bb）
22222212n2
T2（bb）（bb）（bb）bbb2n
n12342n12n122n
2
4.（2016山东19）（本小题满分12分）
已知数列
a的前n项和
n
2
Snn，bn是等差数列，且anbnbn1.
38
n
（I）求数列
b的通项公式；
n
（II）令
n1
（a1）
n
c
nn
（b2）
n
.求数列cn的前n项和Tn.错位相减
【答案】（Ⅰ）b3n1
n;（Ⅱ）
Tn3n
n
2
2
9
试题解析：
（Ⅰ）由题意当n2时，16n5
annn，当n1时，a1S111；
SS
所以an6n5；设数列的公差为d，由
a
1
a
2
b
1
b
2
b
2
b
3
，即
11
17
2b
1
2b
1
d
3d
，解之得
b14,d3，所以bn3n1。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
n1
（6n6）n
1
cn3（n1）2，又Tnc1c2c3cn，即
n
（3n3）
234n
Tn3[223242（n1）2
1
]
345n2
，所以2Tn3[223242（n1）2]，以上两式两边相减得
n
4（21）
2n
（1）2]32
34n12n2
Tn3[22222（n1）2]3[4nn
21
n2
7（2017天津文）（本小题满分13分）
已知{a}为等差数列，前n项和为
n
*
SnN，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于
（）
n
0，
bbbaaSb.
2312,3421,11114
（Ⅰ）求{a}和{bn}的通项公式；
n
（Ⅱ）求数列
{anbn}的前n项和
2
*
（nN）.错位相减
10
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