届高三数学一轮复习导学案教师讲义第5章第1讲 平面向量的概念及线性运算.docx

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届高三数学一轮复习导学案教师讲义第5章第1讲平面向量的概念及线性运算

第5章平面向量

知识点

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平面向量的实际背景及基本概念

了解向量的实际背景.

理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.

向量的线性运算

掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

了解向量线性运算的性质及其几何意义.

平面向量的基本定理及坐标表示

了解平面向量的基本定理及其意义.

掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

平面向量的数量积及向量的应用

理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

第1讲　平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

（1）向量：

既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

（2）零向量：

长度为0的向量，其方向是任意的．

（3）单位向量：

长度等于1个单位的向量．

（4）平行向量：

方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：

0与任一向量共线．

（5）相等向量：

长度相等且方向相同的向量．

（6）相反向量：

长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

交换律：

a＋b＝b＋a；

结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；

当λ<0时，λa与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝（λμ）a；

（λ＋μ）a＝λa＋μa；

λ（a＋b）＝λa＋λb

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（　　）

（2）零向量与任意向量平行．（　　）

（3）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　　）

（4）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（　　）

（5）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（　　）

（6）在△ABC中，D是BC的中点，则＝（＋）．（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×　（5）√　（6）√

给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是（　　）

A．①　　　　　　　　B．③

C．①③D．①②

答案：

A

（教材习题改编）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是（　　）

A．＝B．与共线

C．与是相反向量D．＝||

解析：

选D.根据向量的概念可知选D.

对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A．若a＋b＝0，则a＝－b，故a∥b；反之，a∥ba＋b＝0.

（教材习题改编）如图，▱ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为（　　）

A．a＋b　　　　　　B．a－b

C．－a－bD．－a＋b

解析：

选D.＝＝（b－a）＝－a＋b，故选D.

（教材习题改编）化简：

（1）（＋）＋＋＝________．

（2）＋＋－＝________．

解析：

（1）（＋）＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝.

（2）＋＋－＝＋＝0.

答案：

（1）　

（2）0

平面向量的有关概念

[典例引领]

给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中真命题的序号是________．

【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．

②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．

③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．

④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．

⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填③.

【答案】　③

辨析向量有关概念的五个关键点

（1）向量定义的关键是方向和长度．

（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等．

（4）单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．

（5）零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．　

[通关练习]

1．判断下列四个命题：

①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选A．只有④正确．

2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

平面向量的线性运算（高频考点）

平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：

（1）向量的线性运算；

（2）根据向量线性运算求参数．

[典例引领]

角度一　向量的线性运算

（1）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（　　）

A．＝－＋　B．＝－

C．＝＋D．＝－

（2）在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则（　　）

A．＝＋B．＝＋

C．＝＋D．＝＋

【解析】　

（1）法一：

因为＝3，所以＝，

所以＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋.故选A．

法二：

因为＝3，所以－＝3（－），

所以＝－＋.故选A．

（2）在四边形ABCD中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，所以＝＝（－）＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故选B．

【答案】　

（1）A　

（2）B

角度二　根据向量线性运算求参数

（1）设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2（λ1、λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

（2）在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若＝x＋（1－x），则x的取值范围是________．

【解析】　

（1）＝＋＝＋＝＋（＋）＝－＋，

所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

（2）设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y（－）＝－y＋（1＋y）.

因为＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合）．

所以y∈，

因为＝x＋（1－x），

所以x＝－y，所以x∈.

【答案】　

（1）　

（2）

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

（1）向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

（2）求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

（3）求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

[注意]　注意应用初中平面几何的知识如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等，可以简化运算．

[通关练习]

1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝（　　）

A．　　　　　　　　B．

C．D．

解析：

选A．＋＝（＋）＋（＋）＝（＋）＝，故选A．

2.如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD的n（n∈N且n≥2）等分点中最靠近点D的点，线段AE的延长线交CD于点F，若＝x＋，则x＝________（用含有n的代数式表示）．

解析：

依题意与图形得＝＝（n∈N且n≥2），所以＝，所以＝＋＝＋，又因为＝x＋，所以x＝.

答案：

平面向量共线定理的应用

[典例引领]

（1）已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为（　　）

A．λ＋μ＝2　　　　　　B．λ－μ＝1

C．λμ＝－1D．λμ＝1

（2）如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为（　　）

A．B．

C．D．

【解析】　

（1）因为A、B、C三点共线，所以∥，

设＝m（m≠0），所以所以λμ＝1，故选D.

（2）注意到N，P，B三点共线，因此＝m＋＝m＋，从而m＋＝1⇒m＝.故选B．

【答案】　

（1）D　

（2）B

共线向量定理的3个应用

（1）证明向量共线：

对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb（b≠0），则a与b共线．

（2）证明三点共线：

若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．

（3）求参数的值：

利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．

[注意]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．　

[通关练习]

1.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为（　　）

A．B．

C．D．

解析：

选A．因为＝，＝，

所以＝，＝2.

由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋，

所以＝λ＝λ（＋）＝λ＝λ＋2λ，

由E，F，K三点共线，可得λ＝，故选A．

2．已知非零向量e1，e2不共线．

（1）如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3（e1－e2），

求证：

A、B、D三点共线；

（2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

解：

（1）证明：

因为＝e1＋e2，

＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5（e1＋e2）＝5，

所以与共线，

且有公共点B，

所以A、B、D三点共线．

（2）因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，

所以存在λ，

使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），

则（k－λ）e1＝（λk－1）e2.

由于e1与e2不共线，

只能有

所以k＝±1.

向量线性运算的三要素

向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．

向量线性运算的常见结论

（1）在△ABC中，D是BC的中点，则＝（＋）；

（2）O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0；

（3）四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2.

（4）对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y（x，y∈R），则P，A，B共线⇔x＋y＝1.

解决向量的概念问题的注意点

（1）不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；

（2）考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性；

（3）注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．　　　

1．如图，向量a－b等于（　　）

A．－4e1－2e2　　　　　　　B．－2e1－4e2

C．e1－3e2D．3e1－e2

解析：

选C．由题图可知a－b＝e1－3e2.故选C．

2．（2017·高考全国卷Ⅱ）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则（　　）

A．a⊥bB．|a|＝|b|

C．a∥bD．|a|>|b|

解析：

选A．依题意得（a＋b）2－（a－b）2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A．

3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b（k∈R），d＝a－b，如果c∥d，那么（　　）

A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向

解析：

选D.由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ（a－b），（λ－k）a＝（λ＋1）b.因为a，b不共线，所以所以k＝λ＝－1，所以c与d反向，故选D.

4.如图所示，已知向量＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是（　　）

A．c＝b－aB．c＝2b－a

C．c＝2a－bD．c＝a－b

解析：

选A．由＝2得＋＝2（＋），即2＝－＋3，所以＝－，即c＝b－a.故选A．

5．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝（　　）

A．a－b　　　　　　　　B．a－b

C．a＋bD．a＋b

解析：

选D.连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.

6．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：

①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.

其中正确命题的个数为________．

解析：

＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；

＝＋＝a＋b，故②正确；

＝（＋）＝（－a＋b）＝－a＋b，故③正确；

所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．

所以正确命题为②③④.

答案：

3

7．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．

解析：

因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2.

答案：

2

8．如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为________．

解析：

取AC的中点D，连接OD，则＋＝2，所以＝－，所以O是AC边上的中线BD的中点，所以S△ABC＝2S△OAC，所以△ABC与△AOC面积之比为2.

答案：

2

9.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.

解：

＝（＋）＝a＋b.

＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－）＝＋＝a＋b.

10．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n（m，n∈R）．

（1）若m＋n＝1，求证：

A，P，B三点共线；

（2）若A，P，B三点共线，求证：

m＋n＝1.

证明：

（1）若m＋n＝1，则＝m＋（1－m）＝＋m（－），

所以－＝m（－），

即＝m，

所以与共线．

又因为与有公共点B，所以A，P，B三点共线．

（2）若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，

所以－＝λ（－）．

又＝m＋n.

故有m＋（n－1）＝λ－λ，

即（m－λ）＋（n＋λ－1）＝0.

因为O，A，B不共线，所以，不共线，

所以所以m＋n＝1.

结论得证．

1．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝2，则＝（　　）

A．b－aB．b－a

C．b－aD．b＋a

解析：

选C．因为＝－＝＋－，所以＝＋－＝－＋－＝－＝b－a，故选C．

2.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于（　　）

A．B．

C．D．2

解析：

选B．因为＝λ＋μ＝λ（＋）＋μ（＋）＝λ＋μ（－＋）＝（λ－μ）＋，所以解得λ＋μ＝.故选B．

3．（2018·江西吉安模拟）设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与（　　）

A．反向平行B．同向平行

C．互相垂直D．既不平行也不垂直

解析：

选A．由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋（＋＋）＝＋＝－，故＋＋与反向平行．

4．已知点P、Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0，2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________．

解析：

由条件＋＝0知＝－＝，所以点P是边AC的中点，又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是与边BC平行的中位线，所以||＝||，故λ＝.

答案：

5.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，求实数m的值．

解：

由N是OD的中点得＝＋＝＋（＋）＝＋，又因为A，N，E三点共线，故＝λ，即m＋＝λ，所以解得故实数m＝.