完整word版全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导第十三讲联赛训练之平面图形立体图形空间向量.docx
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完整word版全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导第十三讲联赛训练之平面图形立体图形空间向量
全国高中数学联赛金牌教练员讲座
兰州一中数学组
第十三讲：
联赛训练之平面图形立体图形空间向量
一,基础知识导引
<一>,直线，平面之间的平行与垂直的证明方法
1,运用定义证明（有时要用反证法）；2,运用平行关系证明；
3,运用垂直关系证明；4,建立空间直角坐标系，运用空间向量证明.
例如,在证明：
直线a直线b时•可以这样考虑
（1）,运用定义证明直线a与b所成的角为900;
（2）,运用三垂线定理或其逆定理；
（3）,运用若a平面，b,则ab”；⑷，运用"若b//c且ac,则ab”;
vv
⑸,建立空间直角坐标系，证明ab0.
<二>,空间中的角和距离的计算
1,求异面直线所成的角
（1）,（平移法）过P作a'//a,b'//b,则a'与b'的夹角就是a与b的夹角；
（2）,证明ab（或a//b）,则a与b的夹角为900（或00）；
（3）,求；与b所成的角（［0,］）,再化为异面直线a与b所成的角（（0,2〕）.
2,求直线与平面所成的角
（1）,（定义法）若直线a在平面内的射影是直线b,则a与b的夹角就是a与的夹角；
（2）,证明a
（或a//）,则a与的夹角为900（或0°）；
3,求二面角
（1）,（直接计算）在二面角
AB的半平面内任取一点PAB,过P作AB的垂线,
交AB于C,再过P作的垂线，垂足为D,连结CD,则CDAB，故PCD为所求的二面角
（2）,（面积射影定理）设二面角AB的大小为（900），平面内一个平面图形F
的面积为S,F在内的射影图形的面积为S2,则cos$.（当为钝角时取“”）.
S
AB
（3）,（异面直线上两点的距离公式）:
EF2d2m2n22mncos，其中是二面角
的平面角,EA在半平面内且EAAB于点A,BF在半平面内且FB
AB于B,而ABd,EAm,FBn.
CSA,ASB，又二面角
（4）,（三面角的余弦定理）,三面角SABC中,BSC
uvuv
（5）,（法向量法）平面的法向量n,与平面的法向量n2所成的角为，则所求的二面角为
（同类）或（异类）.
4,求两点A,B间距离
uuv
（1）,构造三角形进行计算；
（2）,导面直线上两点间的距离公式；（3）,求AB.
5,求点到直线的距离
（1）,构造三角形进行计算；
（2）,转化为求两平行红色之间的距离.
6,求点到平面的距离
（1）,直接计算从点到平面所引垂线段的长度；
（2）,转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离；
3/
（3）,（体积法）转化为求一个棱锥的高h，其中V为棱锥体积,S为底面面积，h为底面上的高.（4）,在
S
uuv
平面上取一点A,求AP与平面的法向量n的夹角的余弦cos，则点P到平面
的距离为dAPcos.
7,求异面直线的距离
（1）（定义法）求异面直线公垂线段的长；
（2）（体积法）转化为求几何体的高；
（3）（转化法）转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离；
（4）（最值法）构造异面直线上两点间距离的函数，然后求函数的最小值；
（5）（射影法）如果两异面直线a,b在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线I,
则a与b的距离等于P到I的距离；（6）（公式法）d2EF2m2n22mncos
8,求平行的线线，线面，面面之间的距离的方法，通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.
＜三〉，多面体与旋转体
1,柱体（棱柱和圆柱）
（1）侧面积S侧cl（c为直截面周长,l为侧棱或母线长）
（2）体积VSh（S为底面积,h为高）
2,锥体（棱锥与圆锥）
1''
（1）正棱锥的侧面积S侧ch（c为底面周长，h为斜高）
（2）圆锥的侧面积：
S侧rl
2
1__
（r为底面周长,l为母线长）（3）锥体的体积:
V-Sh（S为底面面积，h为高）.
3
3,锥体的平行于底面的截面性质
h^'V
h1
24_3
4,球的表面积:
S4R;球的体积:
VR.
3
2,解题思想与方法导引
1,正四面体的内切球和外接球的半径之比为
A,1:
2
B,1:
3
C,1:
4
D,1:
9
2,由曲线X2
4y,x2
4y,x
4,x
4围成的图形绕
y轴旋转一周所得的几何体的体
积为V满足
22
xy
16,x2
（y2）2
4,x2（y
2
2）4的点（x,y）组成的图形绕
1,空间想象能力；2,数形结合能力；3,平几与立几间的相互转化；4,向量法
3,习题导引
<一>,选择题
y轴旋转一周所得的几何体的体积为V2，则
12
A,V|V2B,V]V2C,V|V2D,V12V2
23
3,如右图，底面半径r1,被过A,D两点的倾斜平面所截，截面是离心
率为二的椭圆，若圆柱母线截后最短处AB1，则截面以下部分的
2
几何体体积是
A,—B,2C,
2
D,（1
4,在四面体ABCD中，设AB
1，CD^，直线AB与CD的距离为2,夹角为E，则四
面体ABCD
的体积等于
1
B,—
2
1
C,-
3
5,三个圆柱侧面两两相切，且它们的轴也两两相互垂直那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是
，如果每个圆柱底面半径都是1,
A,21
C,亠
2
D,亠
4
6,四面体ABCD的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为M「M2,M3,M4,M5,M6,共10个
点，任取4个点，则这4个点不共面的概率是
572447
A,—B,C,D,——
7103570
<二>,填空题
7,正方体ABCDa'b'c'd'的棱长为a,则异面直线CD'与BD间的距离等于
8,正四棱锥SABCD中，ASB450,二面角ASBC为且cosm
（m,
2）的长方体盒子
n为整数）,则mn.
9,在正三棱锥PABC中,ABa,PA2a,过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面
ADE的周长最小时，Sade,P到截面ADE的距离为.
10,空间四个球，它们的半径分别是2,2,3,3•每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这
四个球都相切，则这个小球的半径等于.
11,三个1212的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B两
片，如图，把这六片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体,则这个
多面体的体积为•
12,直三棱柱ABGABC中，平面ABC平面ABBjA，且AC=
J3aa，则ac与平面abc所成的角的取值范围是<三>,解答题
13,如图，直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,连接AB1,BC1,
CA1若AB1BC1,求证：
AB1CA1
14,如图，设SABCD是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥K是棱SC的中点，过AK作平面与线段SB,SD分别交于M,N（M,N可以是线段的端点）.试求四棱锥SAMKN的体积V的最大值与最小值.
15,有一个mnp的长方体盒子，另有一个（m2）（n2）（p
其中m,n,p均为正整数（mnp）,并且前者的体积是后者一半，求p的最大值.
四,解题导引
2^"/32\/62
1,B设棱长为a,外接球的半径为R,内切球的半径为r,则R2（a）2（aR）2
33
解得R6a,r6a6a6a,有r：
r=i：
3.
43412
222
2,C设A（0,a）（a0）,则过A的两个截面都是圆环，面积分别是（4x）（44a）和
2222222（XiX2）{（4a）[2（a2）]}（44a）汙是VJ
cJ2厂212
3,B在椭圆中br1,又，得a.2,所求的体积V11（12）2
a22
4,B过C作CE//AB,以CDE为底面,BC为侧棱作棱柱ABFECD，则所求四面体的体
-CECDsinECD,ab与CD2
1-.3311
-21.3，因此V—V2—.
22232
5,A三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线，而异面直线的距离都为2,则所求球的半径为
r21.
3
7,a
3
设E是CD'上的点，过E作EHDC于H,所以EH面ABCD,过H在面ABCD
内作HF
42
BD,连接EF所以EFBD,令DHx,HEax,FHx,所以EF=
2
8,5因各侧面为全等的等腰三角形.在SAB内作高AE,则CE也是SBC的高，故
5.
AQ/AAQ*'C
为d,则VApdeVPadeSade于是d~a.
3645
=.,（2r）222、，「（厂r）.OE=.OA2AE2.（3r）232」（6一r），代入OE+OF
6
11
=EF=2、、3得r（4r）,r（6r）23，解得r
又0090°，得00300.
13,证明：
设D,D1分别为AB,AE的中点•连结CD,C1D1及BD1,DR•因为BDgD“A，所以四边形BDjAD为平行四边形，得BD/DA1•因AC=BC,于是B。
GA.又D,D“分别为AB,AB的中点,故CDAB,C1D1A1B1,而AB1在平面ABC（或A1BQ1）内的射影为AB
（或AB1），得AB1CD,AB1GD1，又已知AB1BC1，所以AB1平面BC1D1，从而AB1
BD1,又BD1//DA1，所以AB1
DA1.又AB1C1D1,得AB1
平面AjCD,从而得证.
14,解:
为了建立V与原四棱锥S下面的事实：
ABCD的关系•我们先引用
（如图）设A,BnG分别在三棱锥
与SABC的体积分别是V1和V,则
SASBSG
SASBSC
SABC的侧棱SA,SB,SC上,
C1H1
事实上，设C,C1在平面SAB的射影分别是H，H1•则CH
SG
SC
又SS4B1
SSAB
Z,所以
SASB
V_
V
1
-GMSSAB[
1
—CHSSAB
SASB
SG
SASBSC.下面回到原题.
设SM
SB
V
1V0
SNx，SD
VSAMN
VSABD
y,因S
VSKMN
VSCBD
ABCD的体积为V
VSAMK
VSABC
VSANK
VSADC
1
3
V
得
2
3224•于是由上面的事实有
SMSNSASMSNSK
SBSDSA
SBSDSC
SMSKSA
SBSCSA
而由0
SNSKSA
=xy
SCSA
1
1,x1,得-
2
SD
x
3门
x1.则V
又得V
1
-
（3x1）
3x（3x2）.所以
（3x1）
（1）当-
2
-时,V'
3
0,V为减函数,
（2）当-
3
所以得Vmin
1Vx1x-
2
15,解:
由题意,2mnp
（m
2）（n
2）（p
（1）当
8时，由m
p,则（1
⑵当
2时,（1-）（1
m
-）（1
n
⑶当
3时，则6np5（n
所以
p的最大值为130;
⑷当
m4时,则4np
3（n
所以
⑸当
p的最大值为54;
2
m5时,
（1）
p
综上所述:
p的最大值为
［参考题］
x
3x1,
x1‘
（x1）.
3x12
1时,V
0,V为增函数.
2,得Vmax
2）,得（1
-）（1
m
-）（1
n
（1
2）（p
2）（p
2,矛盾!
2），即（n
2），即（n
2_
22-—（1—）（1-）（1mn
130.
10）（p
6）（p
10）
6）
2
）（19
，得
（如图）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CQ1中,
（1）求异面直线A1B与B1C所成的角的大小；（600）
（2）求异面直线A1B与B1C之间的距离"
3
⑶求直线A1B与平面B1CD所成的角的大小;（300）
⑷求证:
平面A1BD//平面CB1D1;（略）
勻2.
p
2,矛盾!
120.
48.
p98.
⑸求证:
直线AC1平面A1BD;（略）⑹求证:
平面ABC1平面A1BD;（略）
⑺求点Ai到平面CBiDi的距离;（
）（8）求二面角Ai
BiCDi的大小.（arccosf
3
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