初中数学专题讲义阅读理解问题.docx

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初中数学专题讲义阅读理解问题

阅读理解问题

一、课标下复习指南

众所周知，培养学生独立获取新知识和正确运用数学语言的能力，透彻理解课本中的内容，认真总结解题的规律方法，是学好数学的重要环节．阅读理解这类题主要是对数学语言（也包括非数学语言）的理解、转化和运用等进行考查．这种题型特点鲜明，内容丰富，形式多样，超越常规，源于课本，高于课本．它要求考生在较短的时间里，读懂题目，理解数学语言（也包括非数学语言），依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．因此，阅读理解题可以从某一方面综合考查考生的数学素养和基本能力．

阅读理解题一般可分为如下几种类型：

（1）方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题．

（2）判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；依对材料本质的理解进行推理，作出解答．

（3）迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题．二、例题分析

例1若规定两数a，b通过“※”运算，得到4ab．例如2※6＝4×2×6＝48．

（1）求3※5的值；

（2）若x※x＋2※x－2※4＝0，求x的值；

（3）若不论x是什么数时，总有a※x＝x．求a的值．

解

（1）由新定义运算规则可得3※5＝4×3×5＝60：

（2）据a※b＝4ab，可把原已知式变形为4x2＋8x－32＝0，解出x1＝－4，x2＝2；

（3）∵a※x＝x，而由运算得a※x＝4ax，

∴4ax＝x，（4a－1）x＝0．当不论x取什么数，等式总成立时，有4a－1＝0，故

．

说明这道题，解答关键在于对非常规运算法则的理解，实现向基本运算的转化．

例2我们给出如下定义：

若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称______，______；

（2）如图28－1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；

图28－1

（3）如图28－2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，若∠DCB＝30°，求证：

四边形ABCD是勾股四边形．

图28－2

解

（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）

（2）答案如图28－3所示．M（3，4）或M（4，3）．

图28－3

（3）证明：

连接EC，如图28－4．

图28－4

∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE．

∵∠CBE＝60°，∴△BEC是等边三角形．

∴∠BCE＝60°．

∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°．

∴DC2＋EC2＝DE2．

∴DC2＋BC2＝AC2．

即四边形ABCD是勾股四边形．

说明本题的阅读材料是一个现场学习新数学概念的问题，阅读内容时要善于抓住重点和关键；从解题过程看，经历比较、分析、推理的模仿过程．

例3如图28－5，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．

图28－5

（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m－n|，于是|m－n|越小，菱形越接近于正方形．

①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于______；

②当菱形的“接近度”等于______时，菱形是正方形．

（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a－b|，于是|a－b|越小，矩形越接近于正方形．

你认为这种说法是否合理?

若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．

解

（1）①40；②0．

（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a－b|却不相等．如图28－6，正方形A1B1C1D1∽正方形A2B2C2D2，其中A1B1＝1，B1C1＝2，A2B2＝2，B2C2＝4．|A1B1－B1C1|＜|A2B2－B2C2|．

图28－6

合理定义方法，如定义

为越小，矩形越接近于正方形；

越大，矩形与正方形的形状差异越大；当

时，矩形就变成了正方形．

例4（咸宁）问题背景：

在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为

，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图28－7（a）所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：

____________．

思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为

，请利用图28－7（b）的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的

△ABC，并求出它的面积．

探索创新：

（3）若△ABC三边的长分别为

且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．

（a）（b）

图28－7

解

（2）如图28－7（c）．

图28－7（c）

（3）构造三角形如图28－7（d）．

图28－7（d）

－

三、课标下新题展示

例5（南京）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过缩放和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．

（1）填空：

如图28－8，

图28－8

①如图28－8（a），将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（______，______）；

②如图28－8（b），△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（

，90°）得到△ADE，则线段BD的长为______cm；

（2）如图28－8（c），分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BF－GC，CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△ABI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系．

图28－8（c）

解

（1）①2，60°；②2；

（2）△AO1O3经过旋转相似变换

得到△ABI，此时，线段O1O3变为线段BI；△CIB经过旋转相似变换

，得到△CAO2，此时，线段BI变为线段AO2．

∵

∴

例6操作示例：

对于边长均为a的两个正方形ABCD和EF－GH，按图28－9所示的方式摆放，再沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图28－9中的四边形BNED．

图28－9

从拼接的过程容易得到结论：

①四边形BNED是正方形；

②S正方形ABCD＋S正方形BFGH＝S正方形BNED．

实践与探究：

（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图28－10所示的方式摆放，连接DE．过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N．

图28－10

①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；

②在图28－10中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图28－9，用数字表示对应的图形）．

（2）对于n（n是大于2个自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形?

请简要说明你的理由．

解

（1）①证明：

由作图的过程可知四边形MNED是矩形．在Rt△ADM与Rt△CDE中，

∵∠ADM＋∠MDC＝∠CDE＋∠MDC＝90°，

∴∠ADM＝∠CDE．

∵AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°，

∴△ADM≌△CDE．

∴DM＝DE．

∴四边形MNED是正方形．

∵DE2＝CD2＋CE2＝a2＋b2，

∴正方形MNED的面积为a2＋b2．

②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图28－11．

图28－11

可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，2与1位置的两个直角三角形也全等．

所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．

（2）答：

能．

理由是：

由上述的拼接过程可以看出，对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形又可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，……依此类推，由此可知：

对于n个任意的正方形，可以通过（n－1）次拼接，得到一个正方形．

说明本题的难点是如何回答第

（2）小题的理由．事实上，从题目的示例到第

（1）小题的结论，已经证明：

对于已知任意给定的两个正方形（无论它们是全等的还是不全等的），都可以拼接成为一个新的正方形．只要抓住这一点，问题就可以一步一步地转化．另外，本题的设计源于勾股定理证明的一种方法，请重视教材中的课题活动．

例7（资阳）阅读下列材料，按要求解答问题：

如图28－12（a），在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．小明通过以下计算：

由题意得∠B＝30°，∠C＝90°，c＝2b，

，得

－b2＝2b2＝b·c．即a2－b2＝bc．

于是，小明猜测：

对于任意的△ABC，当∠A＝2∠B时，关系式a2－b2＝bc都成立．

（1）如图29－12（b），请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；

（2）如图29－12（c），你认为小明的猜想是否正确?

若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；

（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A＝2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．

图28－12

解

（1）由题意，得∠A＝90°，c＝b，

（2）小明的猜想是正确的．

理由如下：

如图28－13，延长BA至点D，使AD＝AC＝b，连接CD，则△ACD为等腰三角形．

图28－13

∴∠BAC＝2∠ACD．又∠BAC＝2∠B，

∴∠B＝∠ACD＝∠D．

∴△CBD为等腰三角形，CD＝CB＝a．

又∠D＝∠D，∴△ACD∽△CBD．

即

∴a2＝b2＋bc．∴a2－b2＝bc．

（3）a＝12，b＝8，c＝10．

四、课标考试达标题

（一）选择题

1．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：

n＝s×t（s、t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分薜中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：

F（n）＝

．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有

给出下列关于F（n）的说法：

；

（2）

；（3）F（27）＝3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）＝1．

其中正确说法的个数是（）．

A．1B．2C．3D．4

2．为了求1＋2＋22＋23＋…＋22008的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22008，则2S＝2＋22＋23＋24＋…22009，因此2S－S＝22009－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22008＝22009－1．仿照以上推理计算出1＋5＋52＋53＋…＋52009的值是（）．

A．52009－1B．52010－1

C．

D．

（二）填空题

3．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：

如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：

（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：

______（写出一个即可）．

4．如图28－14所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）：

先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．

图28－14

（1）若圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a＝______；

（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是______（用含n的代数式表示）．

5．在平面内，如果一个图形绕一定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：

正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图28－15），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．

图28－15

（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）：

①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（）

②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（）

（2）填空：

下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是______．（写出所有正确结论的序号）

①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．

（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：

①是轴对称图形，但不是中心对称图形；

__________________________________；

②既是轴对称图形，又是中心对称图形．

__________________________________．

（三）解答题

6．问题背景：

某课外小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图28－16，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；

图28－16

②如图28－17，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：

图28－17

③如图28－18，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．

图28－18

任务要求

（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；

（2）请你继续完成下面的探索：

①如图28－19，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立?

（不要求证明）

图28－19

②如图28－20，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否还成立?

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

图28－20

7．已知：

直线a∥b，P，Q是直线a上的两点，M，N是直线b上的两点．

（1）如图28－21（a），线段PM，QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM＝QN．

请你参照图28－21（a），在图28－21（b）中画出异于图28－21（a）的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等；

图28－21

（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a，b去截一些我们学过的图形，全有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”．把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）．请你在图28－21（c）中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等；

（3）如图28－22，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n，现计划把价格不同的两种花草种植在1、2、3、4四块地里，使得价格相同的花草不相邻．为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草?

请说明理由．

图28－22

参考答案

阅读理解问题

1．B．2．D．3．101030或103010或301010．

4．2，3n＋1．

5．

（1）①假②真；

（2）①、③；

（3）①如正五边形，正十五边形等；

②如正十边形，正二十边形等．

6．证明：

（1）命题①的证明：

在答图28－1中，

答图28－1

∵∠BON＝60°，

∴∠CBM＋∠BCN＝60°．

∵∠BCN＋∠ACN＝60°，

∴∠CBM＝∠ACN．

∵BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，

∴△BCM≌△CAN．∴BM＝CN．

命题②的证嗍：

在答图28－2中，

答图28－2

∵∠BON＝90°，

∴∠CBM＋∠BCN＝90°．

∵∠BCN＋∠DCN＝90°，

∴∠CBM＝∠DCN．

又∵BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，

∴△BCM≌△CDN．∴BM＝CN．

命题③的证明：

在答图28－3中，

答图28－3

∵∠BON＝108°，

∴∠CBM＋∠BCN＝108°．

∵∠BCN＋∠DCN＝108°，

∴∠CBM＝∠DCN．

又∵BC＝CD，

∠BCM＝∠CDN＝108°，

∴△BCM≌△CDN．

∴BM＝CN．

（2）①当

时，

结论BM＝CN成立．

②BM＝CN成立．

证明：

如答图28－4，

图28－4

连接BD，CE．

在△BCD和△CDE中，

∵BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，

∴△BCD≌△CDE．

∴BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．

∵∠OBC＋∠OCB＝108°，

∠OCB＋∠OCD＝108°，

∴∠MBC＝∠NCD．

∵∠DBC＝∠ECD＝36°，

∴∠DBM＝∠ECN．

∴△BDM≌△ECN．

7．解：

（1）图例：

答图28－5

（2）图例：

答图28－6

（3）∵△PMN和△QMN同底等高，

∴SPMN＝S△QMN．

∴S3＋S2＝S4＋S2，∴S3＝S4．

∵△POQ∽△NOM，

∵

∵

∴S1＋S2＞S3＋S4．

故园艺师选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块地的面积之和大于另两块地的面积之和．