初中数学专题讲义阅读理解问题.docx
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初中数学专题讲义阅读理解问题
阅读理解问题
一、课标下复习指南
众所周知,培养学生独立获取新知识和正确运用数学语言的能力,透彻理解课本中的内容,认真总结解题的规律方法,是学好数学的重要环节.阅读理解这类题主要是对数学语言(也包括非数学语言)的理解、转化和运用等进行考查.这种题型特点鲜明,内容丰富,形式多样,超越常规,源于课本,高于课本.它要求考生在较短的时间里,读懂题目,理解数学语言(也包括非数学语言),依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括,或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证,并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点.因此,阅读理解题可以从某一方面综合考查考生的数学素养和基本能力.
阅读理解题一般可分为如下几种类型:
(1)方法模拟型——通过阅读理解,模拟提供材料中所述的过程方法,去解决类似的相关问题.
(2)判断推理型——通过阅读理解,对提供的材料进行归纳概括;依对材料本质的理解进行推理,作出解答.
(3)迁移发展型——从提供的材料中,通过阅读理解其采用的思想方法,将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题.二、例题分析
例1若规定两数a,b通过“※”运算,得到4ab.例如2※6=4×2×6=48.
(1)求3※5的值;
(2)若x※x+2※x-2※4=0,求x的值;
(3)若不论x是什么数时,总有a※x=x.求a的值.
解
(1)由新定义运算规则可得3※5=4×3×5=60:
(2)据a※b=4ab,可把原已知式变形为4x2+8x-32=0,解出x1=-4,x2=2;
(3)∵a※x=x,而由运算得a※x=4ax,
∴4ax=x,(4a-1)x=0.当不论x取什么数,等式总成立时,有4a-1=0,故
.
说明这道题,解答关键在于对非常规运算法则的理解,实现向基本运算的转化.
例2我们给出如下定义:
若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称______,______;
(2)如图28-1,已知格点(小正方形的顶点)O(0,0),A(3,0),B(0,4),请你画出以格点为顶点,OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB;
图28-1
(3)如图28-2,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,连接AD,DC,若∠DCB=30°,求证:
四边形ABCD是勾股四边形.
图28-2
解
(1)正方形、长方形、直角梯形.(任选两个均可)
(2)答案如图28-3所示.M(3,4)或M(4,3).
图28-3
(3)证明:
连接EC,如图28-4.
图28-4
∵△ABC≌△DBE,∴AC=DE,BC=BE.
∵∠CBE=60°,∴△BEC是等边三角形.
∴∠BCE=60°.
∵∠DCB=30°,∴∠DCE=90°.
∴DC2+EC2=DE2.
∴DC2+BC2=AC2.
即四边形ABCD是勾股四边形.
说明本题的阅读材料是一个现场学习新数学概念的问题,阅读内容时要善于抓住重点和关键;从解题过程看,经历比较、分析、推理的模仿过程.
例3如图28-5,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.
图28-5
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m-n|,于是|m-n|越小,菱形越接近于正方形.
①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于______;
②当菱形的“接近度”等于______时,菱形是正方形.
(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a-b|,于是|a-b|越小,矩形越接近于正方形.
你认为这种说法是否合理?
若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.
解
(1)①40;②0.
(2)不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a-b|却不相等.如图28-6,正方形A1B1C1D1∽正方形A2B2C2D2,其中A1B1=1,B1C1=2,A2B2=2,B2C2=4.|A1B1-B1C1|<|A2B2-B2C2|.
图28-6
合理定义方法,如定义
为越小,矩形越接近于正方形;
越大,矩形与正方形的形状差异越大;当
时,矩形就变成了正方形.
例4(咸宁)问题背景:
在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为
,求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处),如图28-7(a)所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上:
____________.
思维拓展:
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为
,请利用图28-7(b)的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的
△ABC,并求出它的面积.
探索创新:
(3)若△ABC三边的长分别为
且m≠n),试运用构图法求出这三角形的面积.
(a)(b)
图28-7
解
(2)如图28-7(c).
图28-7(c)
(3)构造三角形如图28-7(d).
图28-7(d)
-
三、课标下新题展示
例5(南京)在平面内,先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P′在线段OP或其延长线上;接着将所得多边形以点O为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过缩放和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.
(1)填空:
如图28-8,
图28-8
①如图28-8(a),将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(______,______);
②如图28-8(b),△ABC是边长为1cm的等边三角形,将它作旋转相似变换A(
,90°)得到△ADE,则线段BD的长为______cm;
(2)如图28-8(c),分别以锐角三角形ABC的三边AB,BC,CA为边向外作正方形ADEB,BF-GC,CHIA,点O1,O2,O3分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用△AO1O3与△ABI,△CIB与△CAO2之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系.
图28-8(c)
解
(1)①2,60°;②2;
(2)△AO1O3经过旋转相似变换
得到△ABI,此时,线段O1O3变为线段BI;△CIB经过旋转相似变换
,得到△CAO2,此时,线段BI变为线段AO2.
∵
∴
例6操作示例:
对于边长均为a的两个正方形ABCD和EF-GH,按图28-9所示的方式摆放,再沿虚线BD,EG剪开后,可以按图中所示的移动方式拼接为图28-9中的四边形BNED.
图28-9
从拼接的过程容易得到结论:
①四边形BNED是正方形;
②S正方形ABCD+S正方形BFGH=S正方形BNED.
实践与探究:
(1)对于边长分别为a,b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH,按图28-10所示的方式摆放,连接DE.过点D作DM⊥DE,交AB于点M,过点M作MN⊥DM,过点E作EN⊥DE,MN与EN相交于点N.
图28-10
①证明四边形MNED是正方形,并用含a,b的代数式表示正方形MNED的面积;
②在图28-10中,将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后,能够拼接为正方形MNED,请简略说明你的拼接方法(类比图28-9,用数字表示对应的图形).
(2)对于n(n是大于2个自然数)个任意的正方形,能否通过若干次拼接,将其拼接为一个正方形?
请简要说明你的理由.
解
(1)①证明:
由作图的过程可知四边形MNED是矩形.在Rt△ADM与Rt△CDE中,
∵∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°,
∴∠ADM=∠CDE.
∵AD=CD,∠A=∠DCE=90°,
∴△ADM≌△CDE.
∴DM=DE.
∴四边形MNED是正方形.
∵DE2=CD2+CE2=a2+b2,
∴正方形MNED的面积为a2+b2.
②过点N作NP⊥BE,垂足为P,如图28-11.
图28-11
可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等,4与3位置的两个直角三角形全等,2与1位置的两个直角三角形也全等.
所以将6放到5的位置,4放到3的位置,2放到1的位置,恰好拼接为正方形MNED.
(2)答:
能.
理由是:
由上述的拼接过程可以看出,对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形,而拼接出的这个正方形又可以与第三个正方形再拼接为一个正方形,……依此类推,由此可知:
对于n个任意的正方形,可以通过(n-1)次拼接,得到一个正方形.
说明本题的难点是如何回答第
(2)小题的理由.事实上,从题目的示例到第
(1)小题的结论,已经证明:
对于已知任意给定的两个正方形(无论它们是全等的还是不全等的),都可以拼接成为一个新的正方形.只要抓住这一点,问题就可以一步一步地转化.另外,本题的设计源于勾股定理证明的一种方法,请重视教材中的课题活动.
例7(资阳)阅读下列材料,按要求解答问题:
如图28-12(a),在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°.小明通过以下计算:
由题意得∠B=30°,∠C=90°,c=2b,
,得
-b2=2b2=b·c.即a2-b2=bc.
于是,小明猜测:
对于任意的△ABC,当∠A=2∠B时,关系式a2-b2=bc都成立.
(1)如图29-12(b),请你用以上小明的方法,对等腰直角三角形进行验证,判断小明的猜测是否正确,并写出验证过程;
(2)如图29-12(c),你认为小明的猜想是否正确?
若认为正确,请你证明;否则,请说明理由;
(3)若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数,且∠A=2∠B,请直接写出这个三角形三边的长,不必说明理由.
图28-12
解
(1)由题意,得∠A=90°,c=b,
(2)小明的猜想是正确的.
理由如下:
如图28-13,延长BA至点D,使AD=AC=b,连接CD,则△ACD为等腰三角形.
图28-13
∴∠BAC=2∠ACD.又∠BAC=2∠B,
∴∠B=∠ACD=∠D.
∴△CBD为等腰三角形,CD=CB=a.
又∠D=∠D,∴△ACD∽△CBD.
即
∴a2=b2+bc.∴a2-b2=bc.
(3)a=12,b=8,c=10.
四、课标考试达标题
(一)选择题
1.任何一个正整数n都可以进行这样的分解:
n=s×t(s、t是正整数,且s≤t),如果p×q在n的所有这种分薜中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:
F(n)=
.例如18可以分解成1×18,2×9,3×6这三种,这时就有
给出下列关于F(n)的说法:
;
(2)
;(3)F(27)=3;(4)若n是一个完全平方数,则F(n)=1.
其中正确说法的个数是().
A.1B.2C.3D.4
2.为了求1+2+22+23+…+22008的值,可令S=1+2+22+23+…+22008,则2S=2+22+23+24+…22009,因此2S-S=22009-1,所以1+2+22+23+…+22008=22009-1.仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是().
A.52009-1B.52010-1
C.
D.
(二)填空题
3.在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:
如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:
(x-y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码,对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是:
______(写出一个即可).
4.如图28-14所示,按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上(该圆周长为3个单位长,且在圆周的三等分点处分别标上了数字0,1,2):
先让原点与圆周上0所对应的点重合,再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上,使数轴上1、2、3、4…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1…所对应的点重合.这样,正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系.
图28-14
(1)若圆周上数字a与数轴上的数5对应,则a=______;
(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈(n为正整数)后,并落在圆周上数字1所对应的位置,这个整数是______(用含n的代数式表示).
5.在平面内,如果一个图形绕一定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角称为这个图形的一个旋转角.例如:
正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合(如图28-15),所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90°.
图28-15
(1)判断下列命题的真假(在相应括号内填上“真”或“假”):
①等腰梯形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°.()
②矩形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°.()
(2)填空:
下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角为120°的是______.(写出所有正确结论的序号)
①正三角形;②正方形;③正六边形;④正八边形.
(3)写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,都有一个旋转角为72°,并且分别满足下列条件:
①是轴对称图形,但不是中心对称图形;
__________________________________;
②既是轴对称图形,又是中心对称图形.
__________________________________.
(三)解答题
6.问题背景:
某课外小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:
①如图28-16,在正三角形ABC中,M,N分别是AC,AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN;
图28-16
②如图28-17,在正方形ABCD中,M,N分别是CD,AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下命题:
图28-17
③如图28-18,在正五边形ABCDE中,M,N分别是CD,DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.
图28-18
任务要求
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
①如图28-19,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M,N分别是CD,DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立?
(不要求证明)
图28-19
②如图28-20,在正五边形ABCDE中,M,N分别是DE,AE上的点,BM与CN相交于点O,∠BON=108°时,试问结论BM=CN是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
图28-20
7.已知:
直线a∥b,P,Q是直线a上的两点,M,N是直线b上的两点.
(1)如图28-21(a),线段PM,QN夹在平行直线a和b之间,四边形PMNQ为等腰梯形,其两腰PM=QN.
请你参照图28-21(a),在图28-21(b)中画出异于图28-21(a)的一种图形,使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等;
图28-21
(2)我们继续探究,发现用两条平行直线a,b去截一些我们学过的图形,全有两条“曲线段相等”(曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”.把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”).请你在图28-21(c)中画出一种图形,使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等;
(3)如图28-22,若梯形PMNQ是一块绿化地,梯形的上底PQ=m,下底MN=n,且m<n,现计划把价格不同的两种花草种植在1、2、3、4四块地里,使得价格相同的花草不相邻.为了节省费用,园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草?
请说明理由.
图28-22
参考答案
阅读理解问题
1.B.2.D.3.101030或103010或301010.
4.2,3n+1.
5.
(1)①假②真;
(2)①、③;
(3)①如正五边形,正十五边形等;
②如正十边形,正二十边形等.
6.证明:
(1)命题①的证明:
在答图28-1中,
答图28-1
∵∠BON=60°,
∴∠CBM+∠BCN=60°.
∵∠BCN+∠ACN=60°,
∴∠CBM=∠ACN.
∵BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°,
∴△BCM≌△CAN.∴BM=CN.
命题②的证嗍:
在答图28-2中,
答图28-2
∵∠BON=90°,
∴∠CBM+∠BCN=90°.
∵∠BCN+∠DCN=90°,
∴∠CBM=∠DCN.
又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°,
∴△BCM≌△CDN.∴BM=CN.
命题③的证明:
在答图28-3中,
答图28-3
∵∠BON=108°,
∴∠CBM+∠BCN=108°.
∵∠BCN+∠DCN=108°,
∴∠CBM=∠DCN.
又∵BC=CD,
∠BCM=∠CDN=108°,
∴△BCM≌△CDN.
∴BM=CN.
(2)①当
时,
结论BM=CN成立.
②BM=CN成立.
证明:
如答图28-4,
图28-4
连接BD,CE.
在△BCD和△CDE中,
∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE,
∴△BCD≌△CDE.
∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠ECD.
∵∠OBC+∠OCB=108°,
∠OCB+∠OCD=108°,
∴∠MBC=∠NCD.
∵∠DBC=∠ECD=36°,
∴∠DBM=∠ECN.
∴△BDM≌△ECN.
7.解:
(1)图例:
答图28-5
(2)图例:
答图28-6
(3)∵△PMN和△QMN同底等高,
∴SPMN=S△QMN.
∴S3+S2=S4+S2,∴S3=S4.
∵△POQ∽△NOM,
∵
∵
∴S1+S2>S3+S4.
故园艺师选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草,因为这两块地的面积之和大于另两块地的面积之和.