年全国高考文科数学试题及答案doc.docx
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年全国高考文科数学试题及答案doc
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合A{1，2，3}，B{x|x29}，则AIB
（A）{2，1，0，1，2，3}（B）{2，1，0，1，2}（C）{1，2，3}（D）{1，2}
（2）设复数z满足zi3i，则z=
（A）12i（B）12i（C）32i（D）32i
（3）函数y=Asin（x）的部分图像如图所示，则
（A）y
2sin（2x
）
6
（B）y
2sin（2x
）
3
（C）y
2sin（2x+
）
6
（D）
y
2sin（2+
）
x
3
（4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A）12
（B）32
（C）（D）
3
（5）设F为抛物线C：
y2=4x的焦点，曲线
y=k（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=
x
（A）1（B）1（C）3（D）2
22
（6）圆x2+y2?
2x?
8y+13=0的圆心到直线ax+y?
1=0的距离为1，则a=
（A）?
4（B）?
3（C）
3（D）2
34
（7）如是由柱与合而成的几何体的三，几何体的表面
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π
（8）某路口人行横道的信号灯灯和灯交替出，灯持40秒.若一名行人来到路口遇到灯，
至少需要等待15秒才出灯的概率
（A）7（B）5（C）3（D）3
108810
（9）中国古代有算多式得秦九韶算法，右是算法的程序框．行程序框
，若入的a2，2，5，出的s=
（A）7
（B）12
（C）17
（D）34
（10）下列函数中，其定域和域分与函数y=10lgx的定域和域相同的是
（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D）y
1
x
（11）
函数f（x）
cos2x
6cos（
π
x）的最大
2
（A）4（B）5
（C）6
（D）7
（12）
已知函数f（x）（x∈R）足f（x）=f（2-x），若函数y=|x2-2x-3|
与y=f（x）像的交点（
x1,y1），（x2,y2），⋯，
m
（xm,ym），
xi=
i
1
（A）0
（B）m
（C）2m
（D）4m
二．填空：
共
4小，每小
5分.
（13）
已知向量a=（m,4），b=（3,-2），且a∥b，m=___________.
x
y
1
0
（14）
若x，y足束条件
x
y
3
0，z=x-2y的最小__________
x
3
0
（15）△ABC的内角A，B，C的分
a，b，c，若cosA
4
5
，cosC
，a=1，b=____________.
5
13
（16）有三卡片，分写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一卡片，甲看了乙的卡片后：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后：
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙：
“我的卡片上的数字之和不是5”，甲的卡片上的数字是________________.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
等差数列{an}中，a3a44,a5a76
（I）求{an}的通项公式；
（II）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2
（18）（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度
出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（I）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
求
P（A）的估计值；
（II）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160％”.
求P（B）的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费估计值.
（19）（本小题满分
12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将
VDEF沿EF折到VD'EF的位置.
（I）证明：
AC
HD'；
（II）若AB
5,AC
6,AE
5
OD'22,求五棱锥D'
ABCEF体积.
4
（20）（本小题满分
12分）
已知函数
f（x）
（x1）lnx
a（x
1）.
（I
）当a
4
时，求曲线
y
f（x）在1,f
（1）处的切线方程；
（II）
若当x
1,
时，f（x）＞0，求a的取值范围.
（21）（本小题满分
12分）
已知A是椭圆E：
x2
y2
1的左顶点，斜率为kk＞0的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.
4
3
（I）当AM
AN时，求VAMN的面积
（II）当2AMAN时，证明：
3k2.
请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，
垂足为F.
（Ⅰ）证明：
B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
（23）（本小题满分
10分）选修
4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy中，圆
2
2
C的方程为（x+6）+y
=25.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求
C的极坐标方程；
ì
?
x=tcosα,
（Ⅱ）直线l
的参数方程是
?
（t为参数），l
与C交于A，B两点，AB=
10,求l的斜
í
?
?
y=tsinα,
率.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数f（x）=
1
1
f（x）<2的解集.
x-+x+
，M为不等式
2
2
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：
当
a，b?
M时，a+b<1+ab.
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案
第Ⅰ卷
一.选择题
（1）【答案】D
（2）【答案】C
（3）【答案】A
（4）【答案】A
（5）【答案】D
（6）【答案】A
（7）【答案】C
（8）
【答案】B
（9）【答案】C
（10）【答案】D
（11）【答案】B
（12）
【答案】B
二．填空题
（13）【答案】6
（14）【答案】5
21
（15）【答案】
（16）【答案】1和3
13
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）
an
2n
3
5
；（Ⅱ）24.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）
根据等差数列的性质求
a1，d，从而求得
an；（Ⅱ）根据已知条件求
bn，再求数列bn
的
前10
项和.
试题解析：
（Ⅰ）设数列
an
的公差为d，由题意有2a1
5d4,a15d3，解得a1
1,d
2
，
2n
3
5
所以
an的通项公式为
an
5
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn
2n
3，
5
当n=1,2,3时，
1
2n
3
2,bn
1
；
5
当n=4,5时，2
2n
3
3,bn
2；
5
当n=6,7,8时，
3
2n
3
4,bn
3；
5
当n=9,10时，4
2n
3
5,bn
4
，
5
所以数列bn的前10
项和为13
22334
2
24.
考点：
等茶数列的性质，数列的求和.
【结束】
（18）（本小题满分12
分）
【答案】（Ⅰ）由
60
50求P（A）的估计值；（Ⅱ）由
30
30求P（B）的估计值；（III）根据平均值得计算公
200
200
式求解.
【解析】
试题分析：
试题解析：
（Ⅰ）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于
2.由所给数据知，一年内险次数小于
2的频率为
60
50
0.55，
200
故P（A）的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4
的频率为3030
0.3，
200
故P（B）的估计值为0.3.
（Ⅲ）由题所求分布列为：
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查200
名续保人的平均保费为
0.85a0.30a0.251.25a
0.151.5a0.15
1.75a0.302a0.10
1.1925a，
因此，续保人本年度平均保费估计值为
1.1925a.
考点：
样本的频率、平均值的计算.
【结束】
（19）（本小题满分
12分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
69
.
4
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）证
AC//EF.再证AC//HD.（Ⅱ）证明OD
OH.再证OD
平面ABC.最后呢五棱
锥D'ABCEF体积.
试题解析：
（I）由已知得，ACBD,ADCD.
又由AE
CF得AE
CF，故AC//EF.
AD
CD
由此得EF
HD,EF
HD
，所以AC//HD..
（II）由EF//AC得OH
AE
1.
DO
AD
4
由AB5,AC
6得DO
BO
AB2
AO2
4.
所以OH
1,DH
DH3.
于是OD2
OH2
（2
2）2
12
9
DH2,故OD
OH.
由（I）知AC
HD，又AC
BD,BDIHD
H，
所以AC
平面BHD,于是AC
OD.
又由OD
OH,ACIOH
O，所以，OD
平面ABC.
又由EF
DH得EF
9.
AC
DO
2
五边形ABCFE的面积
1
8
1
9
69
S
6
2
3
.
2
2
4
所以五棱锥
D'
ABCEF体积V
1
69
22
23
2.
3
4
2
考点：
空间中的线面关系判断，几何体的体积.
【结束】
（20）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）
2x
y
2
0.；（Ⅱ）
2..
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）先求定义域，再求f
（x），f
（1）
，f
（1），由直线方程得点斜式可求曲线
yf（x）在（1,f
（1））
处的切线方程为
2x
y
2
0.
g（x）
lnx
a（x
1），对实数a分类讨论，用导数法求
（Ⅱ）构造新函数
x
1
解.
试题解析：
（I）f（x）的定义域为
（0,
）.当a
4
时，
f（x）
（x
1）lnx
4（x
1）,f（x）
lnx
1
3
，f
（1）
2,f
（1）0.曲线y
f（x）在（1,f
（1））处
x
的切线方程为
2x
y
2
0.
（II）当x
（1,
）时，f（x）
0等价于lnx
a（x
1）
0.
x
1
令g（x）
lnx
a（x
1），则
x
1
g（x）
1
2a
x2
2（1
a）x
1,g
（1）
0，
x
（x
1）2
x（x
1）2
（i）当a
2，x
（1,
）时，x2
2（1a）x
1
x2
2x
1
0
，故g（x）0,g（x）在x（1,
）上单
调递增，因此
g（x）
0；
（ii）当a
2
时，令g（x）
0得
x1
a1
（a1）21,x2
a1
（a1）21，
由x2
1和x1x2
1
得x1
1
，故当x
（1,x2）时，g（x）
0
，g（x）在x（1,x2）单调递减，因此g（x）0.
综上，a的取值范围是
2.
考点：
导数的几何意义，函数的单调性.
【结束】
（21）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）
144
32,2.
；（Ⅱ）
49
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的面积；（Ⅱ）设Mx1,y1，，
将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示x1，从而表示|AM|，同理用k表示|AN|，
再由2AMAN求k.
试题解析：
（Ⅰ）设M（x1,y1），则由题意知y10.
由已知及椭圆的对称性知，直线
AM的倾斜角为
，
4
又A（
2,0），因此直线
AM的方程为y
x
2.
将x
y2代入x2
y2
1得7y2
12y
0，
4
3
解得y
0或y
12
，所以y1
12
7
7
.
因此
AMN的面积SAMN
2
1
12
12
144
.
2
7
7
49
（2）将直线AM
的方程y
k（x
2）（k
0）代入x2
y2
1得
4
3
（3
4k2）x2
16k2x16k2
12
0
.
由x1
（
2）
16k2
12
得x1
2（3
4k2），故|AM|
1
k2|x1
2|
12
1
k2
.
3
4k2
3
4k2
3
4k2
由题设，直线
AN的方程为
1
，故同理可得
|AN|
12k
1
k2
.
y
k（x
2）
4
3k2
由2|AM||AN|得
2
4
k
，即4k3
6k2
3k80.
3
4k2
3k2
设f（t）4t3
6t2
3t
8
，则k是f（t）的零点，
f'（t）12t2
12t
3
3（2t
1）2
0，
所以f（t）在（0,
）
单调递增，又f（
3）153
26
0,f
（2）
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