中考数学 专题17 三角形与多边形知识点串讲原卷版.docx

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中考数学专题17三角形与多边形知识点串讲原卷版

专题17三角形与多边形

考点总结

【思维导图】

【知识要点】

知识点一三角形的概念

三角形的概念 ：

由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形特性

（1）三角形有三条线段

（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形

（3）首尾顺次相接

三角形用符号“

”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“

ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形按边分类  ：

等腰三角形：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形：

底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。

三角形三边的关系（重点） 

（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

（这两个条件满足其中一个即可） 

用数学表达式表达就是：

记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

（2） 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：

|a－b|＜c＜a＋b 

考查题型一三角形的三边关系

1．（2018·湖南中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）

A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm

2．（2018·湖南中考真题）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）

A．1B．2C．8D．11

3．（2018·贵州中考真题）已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是（　　）

A．4B．6C．8D．10

4．（2018·四川中考模拟）已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（　　）

A．2a＋2b－2cB．2a＋2bC．2cD．0

三角形的分类：

三角形按边的关系分类如下：

不等边三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

1．（2018·湖南中考模拟）下列说法正确的是（  ）

A．按角分类，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和等腰直角三角形

B．按边分类，三角形可分为等腰三角形、不等边三角形和等边三角形

C．三角形的外角大于任何一个内角

D．一个三角形中至少有一个内角不大于60°

2．（2019·陕西中考模拟）等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长是（）

A．9cmB．12cmC．9cm或12cmD．14cm

三角形的稳定性

Ø三角形具有稳定性 

Ø四边形及多边形不具有稳定性 

要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

1．（2011·四川中考真题）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？

（）．

A．0根B．1根C．2根D．3根

2．（2019·山东中考模拟）下列图形中具有稳定性的是（　　）

A．正方形B．长方形C．等腰三角形D．平行四边形

3．（2019·福建厦门一中中考模拟）下列图形具有稳定性的是（　　）

A．

B．

C．

D．

知识点二与三角形有关的线段

三角形的高概念：

从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

考查题型二利用三角形的高的性质的解题方法

1．（2017·安徽芦集初级中学中考模拟）如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（　　）

A．10B．10.8C．12D．15

2．（2013·江苏中考模拟）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（）

A．7B．8C．9D．10

3．（2019·沭阳县修远中学中考模拟）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．

三角形的中线概念：

在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

考查题型三利用三角形的中线解决面积计算问题

1．（2011·湖北中考真题）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝（　　）

A．1B．2C．3D．4

2．（2018·江苏省无锡金桥双语实验学校中考模拟）如图，在△ABC中，已知D，E分别为边BC，AD的中点，且S△ABC＝4cm2，则△BEC的面积为（　　）

A．2cm2B．1cm2C．0.5cm2D．0.25cm2

3．（2017·安徽芦集初级中学中考模拟）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；

（2）作图：

在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG；

（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高EF为多少？

若BE=6，求△BED中BE边上的高DG为多少？

三角形的角平分线概念：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

注意：

三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线。

考查题型四利用三角形的角平分线与平行线相结合解题方法

1．（2019·开封市第五中学初二期中）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若∠A=46°，∠B=54°，求∠CDE的度数.

2．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE∥BC

（1）求证：

DE=CE；

（2）若∠A=90°，S△BCD=26，BC=13，求AD．

3．（2019·邛崃市西桥九年制学校初一期中）如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝80°，求∠EDC的度数．

考查题型五利用三角形的角平分线性质解题

1．（2017·湖北中考模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（　　）

A．35°B．45°C．55°D．65°

2．（2018·四川中考模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是

A．15°B．30°C．25°D．20°

3．（2019·安徽中考模拟）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则tanA的值为（）

A．

B．

C．

D．

知识点三与三角形有关的角

三角形的内角和定理：

三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

备注：

在同一个三角形中：

等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

等角的补角相等，等角的余角相等。

1．（2017·湖南中考真题）一个三角形三个内角的度数之比为1：

2：

3，则这个三角形一定是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形

2．（2013·福建中考真题）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）

A．等边三角形B．锐角三角形

C．直角三角形D．钝角三角形

3．（2013·湖南中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）

A．25°B．30°C．35°D．40°

4．（2019·海口市灵山中学中考模拟）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（　　）

A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°

C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形

5．（2019·新疆中考模拟）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（　　）

A．85°B．75°C．60°D．30°

6．（2013·河北中考真题）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于（）

A．90°B．100°C．130°D．180°

7．（2012·山东中考真题）如图所示，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（　　）

A．40°B．75°C．85°D．140°

三角形的外角和定理：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角

性质：

1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

1．（2018·内蒙古中考模拟）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

2．（2018·山东中考模拟）如图，已知a//b,∠1=120°,∠2=90°，则∠3的度数是（）

A．120°B．130°C．140°D．150°

3.（2013·湖南中考真题）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）

A．15°B．25°C．30°D．10°

4．（2018·广西中考真题）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　）

A．40°B．45°C．50°D．55°

5．（2019·广西中考模拟）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中

，

，

，

，则

等于

A．

B．

C．

D．

6．（2019·贵州中考模拟）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（　　）

A．120°B．130°C．140°D．150°

考查题型六三角形三线与三角形内、外角综合应用

1．（2019·湖南中考模拟）如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．

2．（2019·湖南中考模拟）已知如图在△ABC中，∠ABC平分线与∠ACE的外角平分线相交于点P．若∠A＝70°，求∠P的度数．

3．（2019·新宁县第二中学中考模拟）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．

（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．

（2）题

（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．

（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．

知识点四多边形及其多边形内角和

多边形的相关知识：

Ø在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

Ø连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

Ø一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为

凸多边形 ：

画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。

正多边形 ：

各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立） 

⏹多边形的内角和 

Øn边形的内角和定理：

n边形的内角和为（n−2）∙180° 

Øn边形的外角和定理：

多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

考查题型七多边形对角线条数计算方法

1．（2018·河北中考模拟）连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．

（1）

对角线条数分别为　　、　　、　　、　　．

（2）n边形可以有20条对角线吗？

如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．

（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．

2．（2018·河北中考模拟）已知n边形的对角线共有

条（n是不小于3的整数）；

（1）五边形的对角线共有_____条；

（2）若n边形的对角线共有35条，求边数n；

（3）若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n．

考查题型八利用多边形内、外角和求边数

1．（2019·广东中考模拟）如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（　　）

A．4B．5C．6D．7

2．（2018·辽宁中考模拟）一个多边形内角和是外角和的2倍，它是（）

A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形

3．（2019·广东可园中学中考模拟）一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形是_____边形。

4．（2017·安徽芦集初级中学中考模拟）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．

考查题型九正多边形的外角和应用方法

1．（2019·青海中考真题）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转

，再沿直线前进10米，又向左转

，

，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　　）

A．200米B．180米C．160米D．140米

2.（2019·山东中考模拟）如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．

考查题型十镶嵌

1．（2018·湖南中考模拟）学校阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点周围正方形、正三角形地砖的块数可以是（）

A．正方形2块，正三角形2块B．正方形2块，正三角形3块

C．正方形l块，正三角形2块D．正方形2块，正三角形l块

2.（2019·巴中市第二中学中考模拟）能铺满地面的正多边形的组合是（　　）

A．正五边形和正方形B．正六边形和正方形

C．正八边形和正方形D．正十边形和正方形

3．（2019·平昌县金山中学中考模拟）一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（）

A．正三角形B．正四边形

C．正五边形D．正六边形

4．（2019·沈阳沈东初级中学中考模拟）下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重叠覆盖的地砖是（）

A．正三角形B．正方形C．正五边形D．长方形

5．（2019·河南中考模拟）用一批相同的正多边形地砖辅地，要求顶点聚在一起，且砖与砖之间不留空隙，这样的地砖是（　　）

A．正五边形B．正三角形，正五边形

C．正三角形，正五边形，正六边形D．正三角形，正方形，正六边形