平均数问题二.docx

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平均数问题二

学科培优数学

“平均数问题二”

学生姓名

授课日期

教师姓名

授课时长

知识定位

“平均”问题

今天我们学习平均数、平均速度等平均问题。

学习的目标:

1.在深化理解“平均数”概念的基础上，通过变式使学生掌握较复杂的求平均数应用题的结构特征及解答方法。

2.培养学生观察、分析和逻辑推理能力。

知识梳理

平均数

总数量÷总份数＝平均数

平均速度

平均速度就是把总路程按时间均匀分配的行走或移动的距离；

平均速度的基本关系式为：

平均速度

总路程

总时间；

总时间

总路程

平均速度；

总路程

平均速度

总时间。

【授课批注】

平均速度是平均数的延伸和拓展，一定要在完全理解平均数的基础上讲解平均速度。

【重点难点解析】

1.平均数的概念和平均数应用题的解答.

2.较复杂的求平均数应用题的结构特征及解答方法.

3.平均速度的定义和公式

4.最小公倍数法求解平均速度

【竞赛考点挖掘】

1.比较复杂的平均数应用题.

2.平均数这个知识点与别的知识点,如行程问题相结合.

3.平均速度求法及应用.

例题精讲

【试题来源】

【题目】人大附小有100名学生参加学而思杯数学竞赛，平均分是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么人大附小参赛男同学比女同学多几人？

【答案】40

【解析】参赛女同学人数为：

[100×（63－60）]÷（70－60）=30（人）

所以参赛男同学比女同学多：

100―30―30=40（人）

【知识点】平均数问题二

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】期中考试，小明语文和自然成绩共197分，语文和数学成绩共195分，数学和自然成绩共196分，小明三门课的总成绩是多少分？

成绩最高的是哪门课？

成绩为多少分？

【答案】99

【解析】三门总成绩：

（197＋195＋196）÷2=294

数学：

294－197=97（分）

自然：

294－195=99（分）

语文：

294－196=98（分）

所以，成绩最高的一门是自然，成绩是99分。

【知识点】平均数问题二

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

少先队员植树，第一小队7人，共植树35棵，第二小队8人，每人植树5棵，两个小队平均每人植树多少棵？

【答案】5

【解析】先算出第二小队植树多少?

8×5=40（棵）

再算出两个小队共种多少棵?

35+40=78（棵）

最后算出两个小队平均每人植树多少棵？

75÷（7+8）=5（棵）

【知识点】平均数问题二

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】A、B、C、D、E在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91的整数，如果A、B、C的平均分为95分，B、C、D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分，那么D的得分是多少？

【答案】97

【解析】如果B是第二名（或并列第一名），那么，A和B得分都比第三名E的96分多，至少各得97分，这样C最多得95－2×（97－95）=91（分），矛盾。

所以B不可能是第二名。

同理，C不可能是第二名，只有D是第二名。

从A、B、C的平均分是95分，B、C、D的平均分是94分，得知A比D多1×3=3（分）。

又知A、D的得分都大于96，只有A得100分，D得97分。

【知识点】平均数问题二

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为73.5分，又知乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人？

【答案】9

【解析】如果乙队去掉6个人，两队的平均分为（75＋73）÷2=74

乙队多出的6个人，分数比平均分少（73.5－73）×6=3（分）

说明甲队有3÷（74－73.5）÷2=3（人）

乙队有3＋6=9（人）

【知识点】平均数问题二

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？

【答案】84.57

【解析】甲班学生如果都在乙班学习，平均每人增加7分，共增加7×51=357（分）

总分增加为81×（51＋49）＋357=8457

所以乙班的平均分是8457÷（51＋49）=84.57

【知识点】平均数问题二

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】有两块小麦试验田，第一块3亩，平均亩产小麦440千克，第二块5亩，平均亩产520千克，两块田平均亩产小麦多少千克？

【答案】490

【解析】先算出第一、二块共产多少小麦;

3×440=1320（千克）5×520=2600（千克）

1320+2600=3920（千克）

然后再算出两块田平均亩产小麦多少千克？

3920÷（3+5）=490（千克）

【知识点】平均数问题二

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

习题演练

【试题来源】

【题目】三年级一班分成两组参加植树。

第一组18人共植树43棵：

第二组22人共植树77课。

全班平均每人植树多少棵？

【答案】3

【解析】（１）全班一共植树多少棵？

43+77=120（棵）

（２）全班一共有多少人？

18+22=40（人）

（３）全班平均每人植树多少棵？

120÷40=3（棵）

列综合算式解答：

（43+77）÷（18+22）=120÷40=3（棵）

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】有六个数排成一排，他们的平均数是27，前四个数平均数是23，后三个数平均数是34，第四个数是多少？

【答案】32

【解析】

先算出所有数的和:

27×6=162

前四个数的和

23×4=92

后三个数的和

34×3=102

这样就重复算了第四个.七个数的和

92+102=194

则第四个数是194-162=32

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】智康小学三（5）班分成四个组做纸盒。

第一组有16人，共做129个，第二组有14人，共做126个，第三组有16人，共做255个，第四组有14人,共做210个.平均每人做多少个？

【答案】12

【解析】先算有多少人:

16+14+16+14=60（人）

再算出做了多少纸盒:

129+126+255+210=12（个）

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度.

【答案】36

【解析】要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间.摩托车“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托车的总路程是：

90×2=180（千米），摩托车“往”的速度是每小时30千米，所用时间是：

90÷30=3（小时），摩托车“返”的速度是每小时45千米，所用时间是：

90÷45=2（小时），往返共用时间是：

3+2=5（小时），由此可求出往返的平均速度，

列式为：

90×2÷（90÷30+90÷45）=180÷5=36（千米/小时）

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】如图，从A到B是6千米下坡路，从B到C是4千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问从A到D的平均速度是多少？

【答案】3.5

【解析】从A到B的时间为：

6÷6=1（小时），从B到C的时间为：

4÷4=1（小时），从C到D的时间为：

4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：

1+1+2=4（小时），总路程为：

6+4+4=14（千米），那么从A到D的平均速度为：

14÷4=3.5（千米/时）

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】一个人从甲地去乙地，骑自行车走完全程的一半时，自行车坏了，又无法修理，只好推车步行到乙地.骑车时每小时行12千米，步行时每小时4千米，这个人走完全程的平均速度是多少？

【答案】6

【解析】

①参数法：

设全程的的一半为S千米，前一半时间为S÷12，后一半时间为S÷4，根据公式平均速度=总路程÷总时间，可得2S÷（S÷12+S÷4）=6千米.

②题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，前一段路程与后一段路程相等，总路程是不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了，路程的一半既是12的倍数又是4的倍数，所以可以假设路程的一半为〔12，4〕=12千米.

来回两段路，每段路程12千米，那么总路程是：

12×2=24（千米）,总时间是：

12÷12+12÷4=4（小时），所以平均速度是：

24÷4=6（千米/小时）

注意：

在这种特定的题目中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可以把总路程设为“单位1”，这样做无非是设了“单位24”，也就是把所有路程扩大了24倍变成整数，没有任何问题，不论总路程设成多少，结论都是一样的，大家可以验证一下.

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚会讲故事，王先生开车去拜访这位老和尚，汽车上山以30千米／时的速度，到达山顶后以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.

【答案】40

【解析】

参数法：

设全程为S千米，上山的时间为S÷30，下山的时间为S÷60，根据公式平均速度=总路程÷总时间，可得2S÷（S÷30+S÷60）=40千米.

最小公倍法：

上下山的路程的既是30的倍数又是60的倍数，所以可以假设路程为〔30，60〕=60千米.由公式可得2×60÷（60÷30+60÷60）＝40千米.

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】汽车往返于A、B两地，去时时速为40千米.要想来回的平均速度为48千米，回来时的时速应为多少？

【答案】60

【解析】

①参数法：

设A、B两地相距S千米，列式为S÷（2S÷48-S÷40）=60千米.

②最小公倍法：

路程2倍既是48的倍数又是40的倍数，所以可以假设路程为〔48，40〕

=240千米.根据公式变形可得240÷2÷（240÷48-240÷2÷40）=60千米.【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，前120千米的平均速度为40千米／时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为50千米／时，剩下的路程应以什么速度行驶？

【答案】60

【解析】

求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：

300-120=180（千米），计划总时间为：

300÷50=6（小时），前120千米已用去120÷40=3（小时），所以剩下路程的速度为:

（300-120）÷（6-3）=60（千米/时）.

注意：

在行程问题中，从所求结果逆推是常用而且有效的方法.

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】小明去爬山，上山时每时行2.5千米，下山时每时行4千米，往返共用3.9时。

小明往返一趟共行了多少千米？

【答案】12

【解析】

路程＝总时间×平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为10千米，10×2÷（10÷2.5+10÷4）=20÷6.5=40/13（千米/时）所以总路程：

40/13×3.9=12（千米）

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？

【答案】54

【解析】

法1：

由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间．而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．

应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟60米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走（80+60）÷2=70米．这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米．而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟70米．

这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720÷70=96分钟．由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于6720÷2=3360米．则前一个3360米用了3360÷80=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟．

法2：

设走一半路程时间是x分钟，则80x+60x=6720，解方程得：

x=48分钟，因为80×48=3840（米），大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3360÷80=42（分钟），后一半路程时间是48+（48-42）=54（分钟）.

评注：

首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别．在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的．

其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易．而前一半路程所需时间的计算是简单的．因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的．

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒，求他过桥的平均速度.

【答案】5.54

【解析】

上坡、平路及下坡的路程相等很重要，平均速度还是要由总路程除以总时间求得，假设上坡、平路及下坡的路程均为24米，那么总时间=24÷4+24÷6+24÷8=6+4+3=13（秒），过桥的平均速度=24×3÷13≈5.54（米/秒）.

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】张师傅开汽车从A到B为平地（见右图），车速是36千米／时；从B到C为上山路，车速是28千米／时；从C到D为下山路，车速是42千米／时.已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，张师傅开车从A到D共需要多少时间？

【答案】54

【解析】

由题意已知下山路是上山路的2倍，且从B到C为上山路，车速是28千米／时；从C到D为下山路，车速是42千米／时，设上山路程为28×42千米，那么下山路程为2×28×42千米，上下山的平均速度为：

（28×42+2×28×42）÷（28×42÷28+2×28×42÷42）=36（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷36＝2（时）.

也可以采用列方程的方法，设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：

（x+2x）÷（x÷28+2x÷42）=36（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷36＝2（时）.

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？

【答案】2时

【解析】

法1：

由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间．而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．

应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟60米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走（80+60）÷2=70米．这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米．而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟70米．

这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720÷70=96分钟．由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于6720÷2=3360米．则前一个3360米用了3360÷80=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟．

法2：

设走一半路程时间是x分钟，则80x+60x=6720，解方程得：

x=48分钟，因为80×48=3840（米），大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3360÷80=42（分钟），后一半路程时间是48+（48-42）=54（分钟）.

评注：

首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别．在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的．

其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易．而前一半路程所需时间的计算是简单的．因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的．

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】小明去学校，去时速度为15千米/时，返回时速度为10千米/时，那么平均速度为多少千米/时？

【答案】12

【解析】

12

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】小军参加了三科的测试。

已知：

语文和英语平均分是90分，数学和英语的平均分是94分，数学和语文的平均分是95分，问小军这三科的平均分成绩是多少？

【答案】93

【解析】

93

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】两块菜地共创收14000元，平均每公顷收入1750元。

已知第一块菜地每公顷收入2500元，比第二块菜地每公顷多收1000元。

这两块菜地各有多少公顷？

【答案】2、6

【解析】

2、6

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】自行车厂前8天共生产自行车4300辆；后10天平均每天生产560辆。

平均每天生产多少辆？

【答案】550

【解析】

550

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】小汪学习电脑打字，前5分钟平均每分钟打字45个，后8分钟共打字438个，求小汪

平均每分钟打字多少？

【答案】51

【解析】

51

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】有一座小山，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人过山时，上坡、走平路和下坡的速度分别为22米／分、33米／分和66米／分，求他过山的平均速度.

【答案】33

【解析】

33

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】把前999个自然数分成20组，已知这20组中每一组的平均数都相等，求这个相等

的平均数。

【答案】499

【解析】

499

【知识点】平均数问题二

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3