1平方根与算术平方根.docx
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1平方根与算术平方根
平方根与算术平方根
教学目标：
1、掌握平方根及算术平方根的概念。
2、能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根。
3、培养学生观察问题和概括问题的能力。
教学重点：
平方根和算术平方根的概念和性质。
教学难点：
平方根与算术平方根的区别与联系。
教学过程：
一、新课引入：
2
1.已知正方形的面积为25cm，则它的边长为cm.
22
2.
（1）若x=9，则x=;
（2）若y=9，则y=;
（3）若x2=0，则x=;（4）若y2=49，则y=;
25
272
（5）若x=1—，贝Ux=;（6）若y=2.25,贝Uy=;
9
2（7）若x=-9，则x=。
二、新课讲解：
1.请自行阅读课本P2~P3，学习平方根、算术平方根的定义。
2.练习：
［A组］
（1）如果x的平方等于169,那么x叫做169的;
如果x的平方等于5，那么x叫做5的;
如果x的平方等于a，那么xx叫做a的。
（2）
49的平方根是;49的算术平方根是
0的平方根是;0的算术平方根是;-1.5是的平方根。
（3）
平方根。
总结：
一个正数有个平方根，它们互为;0的平方根是;负数
3.请自行阅读课文P2~P3，学习平方根、算术平方根的表示方法。
4.练习：
［B组］
（1）訥44=（J144表示144的）;-寸144=（―表示144的）;
±V144=（±J144表示144的）。
（2）5的平方根记作,5的算术平方根记作。
（3）可'100=;-J400=;v0=;±（196=；—」1工=；
、25
<0.16=
三、课堂练习：
1.求下列各数的平方根：
;0.36：
;324:
49
64:
;—
6•求下列各式中的x：
（3）x2-169=0;（4）（4x）2=16。
22
（1）x=196;
（2）（x+1）=9;
立方根教学目标：
1•理解立方根的概念，并会用根号表示。
2•理解立方与开立方互为逆运算，会根据立方运算求一个数的立方根。
3•培养学生用类比的方法获取新知识的习惯，提高学生合理推理的能力。
教学重点：
立方根的意义。
教学难点：
类比思想的运用。
教学过程：
一、新课引入：
问题
现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长x是多少？
二、新课讲解：
1概括
上面所提出的问题，实质上就是要找一个数x,使得x3=216。
这个数的立方等于216.
容易验证，63=216，所以正方体的棱长应为6cm.
如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的。
2.试一试：
（1）x3=1,贝Ux=,即1的立方根是;
（2）x3=-1,则x=,即一1的立方根是_
（3）x3=8,贝Ux=，即8的立方根是;
x3=—8,贝Ux=，即一8的立方根是;
（4）x3=27,则x=;即27的立方根是;那么一27的立方根是
（5）x3=—27,贝Ux=。
64
3.总结:
一个正数的立方根有个，它是数
一个负数的立方根有个，它是数
0的立方根是
4•自学阅读：
9的立方根，记作，读作"三次根号”。
其中9称为数，3称为数.
求一个数的立方根的运算，叫做.
5.例题练习:
例1求下列各数的立方根:
（1）-8；
（2）-125;⑶一0.008;
27
三、课堂练习:
[A组]:
1、填空
被开方数
1
平方根
；0
算术平方根
2
立方根
3
-斗
2、计算:
（1）3216=
（2）3-125=
（3）3
-210
27
（4）
（6）3.（-5）3=
（7）3109=
（8）
[B组]
3
（2）64（2x—1）=27
3、求下列各式中的x的值
（1）8x3+1=0
4、已知：
y=x3—9且y的算术平方根为4，求x的值
5、讨论一\a与-a的大小关系。
6、请为你的同桌编写3道关于求立方根的题目，并批改:
四、小结：
1、你觉得你理解立方根的概念吗？
2、你对求立方根的基本运算能掌握吗?
二次根式的概念教学目标：
1、了解二次根式的概念，理解二次根式的基本性质。
2、培养学生分类讨论的数学思想。
3、通过小组合作学习，体验探索学习数学的乐趣。
教学重点：
二次根式的基本性质。
教学难点：
探索化简,a2的过程。
教学过程：
一、新课引入：
（i）V25=—；
（2）J2=_；（3）<081=；（4）屁____.
\121
（5）（J9）2==；（6）&16）2==；（7）［上j==
©9丿
2
（8）JI=;（9）（>/°）=;
0169丿
小结：
1、Ji0（a>0）;
2、（Ja）2=（a>0）.
练习：
［A组］
1、在需中，字母a必须满足，才有意义。
2
（10）（J5）=。
2、要使式子,X-1有意义，字母x的取值必须满足什么条件？
解：
由X-1>,
得x>.
3、要使下列式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件：
4、计算:
（1）（'..7）2=
（1）x3;
（2）・2x-5;（3）X1;（4）3x-2;
;
（2）（8）2=；（3）（9）2=
（4）9=.（5）.100=；（6）.、0.01=;
（7）（）2=；（8）（占）2=.
二新课讲解：
22=J=;..（-2）2=、'=
■■3=\=.；、（-3）2=J=
（2）2=、=;
（2）2=、=
02=
概括：
（1）
当a>0时，
a2=
（2）
当a<0时，
..a2=
（3）
当a=0时，
.a2=
也就是说：
Ja2=.
试一试：
（,a）2与.、a2是一样的吗？
说说你的理由，并与同学交流。
概括
a（a>0）表示非负数a的算术平方根.
形如.a（a>0）的式子叫做二次根式.
注意
在二次根式a中，字母a必须满足a>0，即被开方数必须是非负数.
三、课堂练习：
[B组]
1、
（1）（17）2=;
（2）（-、13）2=
（3）2■.5=；（4）（3242）2=
（5）,0.12=
2、
（1）100=（
2；
（3）7=（
2；
（2）1?
=（
9
（4）5=（
2；
3、因式分解:
—7=
2_
y—5=
[C组]
求..2y-9•5-y•.y-5的值。
二次根式的乘法
教学难点：
二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。
教学过程：
一、新课引入：
1、
（1）v4：
疗9==；49==；
（2）x9：
：
-16==；\916==
（3）\a、b\ab（a>o,b>0）
二、新课讲解：
1、二次根式乘法法则：
■a•、b=（a>0,b>0）
2、积的算术平方根的性质：
\ab=（a>0,b>0）
化简：
（1）
；
（2）、36256=
（3）
心―42「=_
门32-122
；（4）、30000=
_；（6）\a2（bc）2
；（7）
；（8）山［；「；=
（9）V18==；（10）2Jxy—J一==；
3X
（11）「45-「48==；（12）5,23「18=
二次根式的除法教学难点：
探求二次根式的除法运算法则。
教学过程：
一、新课引入：
由.ab=ab
可以猜想：
逅=
v'b
你能举出几个实例进行验证吗？
二、基础练习:
1、计算：
2、计算:
（1）
；
（2）510=
（3）
；（4）浜6
6J2
三、例题练习:
（1）
2、小结：
二次根式的化简包括两方面：
根号里的各因式的指数小于分母不带有根号。
四、课堂练习：
[A组]化简：
[B组]计算、化简:
（4）2..183“5..2
4
二次跟式的加减法
教学过程：
一、新课引入：
22
（1）4x+5x=；
（2）4y+5y=;
猜想
（1）4J3+5a/3=;
（2）4+;
（3）3V2—6+9V2=;（4）273+5J2—7/3=
（5）273+3J2-7胎+4血=.
二、新课讲解：
1、计算：
（1）4J3—273十5J3=;
（2）4曲-2^7+5^7=;
（3）4Ua-3』b+2需+4（b=;
2、化简后再合并：
（1）182,2;
（2）312;
三、课堂练习：
[A组]
⑶3.a—5a;
⑷3、'2a-5/2a;（5）（2ab-2bJ专；（6）aVX+bVX-cjx;
小结：
同类二次根式的条件是；
[B组]
（1）.8.18、12;（2八50.32;（3）、27.45-2、3;（4）.50-、1213、2；
（5）246-^5-^16；（6）當豆—3^12+13^2。
[C组]:
（1）16a5-3a2a--a9a3；
（2）已知x=35,y—,求x2y2的值。
343+5
实数与数轴
（1）
教学过程：
一、巩固旧知、复习提问
问题1、什么叫有理数？
问题2、有理数可以如何分类?
、创设情景、导入新知问题3、用什么方法求2?
其结果如何？
（计算器求得。
）
问题4、你能验证所得的结果吗？
（验证说明求得的只是近似值）
问题5、那2是怎样的数呢？
结果如何呢？
无理数概念；无限不循环小数叫无理数。
课堂练习：
1、无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数。
2、实数的定义：
有理数与无理数统称为实数。
3、按课本中列表，将各数间的联系介绍一下。
除了按定义还能按大小写出列表。
4、实数的相反数？
5、实数的绝对值？
6、实数的运算？
讲解例1,加上（3）若|x|=n（4）若|x-1|=2,那么x的值是多少？
例2，判断题：
（1）任何实数的偶次幕是正实数。
（）
（2）在实数范围内，若|x|=|y|则x=y。
（）
（3）0是最小的实数。
（）（4）0是绝对值最小的实数。
（）
思考题：
你能想象出2在数轴上的位置吗？
问题6:
你能在数轴上找到表示2的点吗?
（利用课前准备的材料教学。
）提高总结：
数轴上的点与实数是一一对应的。
三、课堂练习：
[A组]
解：
（1）（21）（2-1）==
73J12V3
（2）3=一3：
3==——.
[B组]
1.判断下列说法是否正确：
（1）两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数
（）
（2）任意一个无理数的绝对值是正数.（）
2.计算：
263.7.（结果保留两位小数）
3.
比较下列各组数中两个实数的大小:
4.计算:
（1）...3-2...3+2;
四、小结:
1.什么叫无理数？
2.什么叫实数？
3.实数与数轴上的点对应吗？
为什么?
实数与数轴
（2）
教学重点：
了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，利用运算法则进行简单的四则运算。
教学难点：
有理数与无理数的区别，点与数的对应。
熟练的运用法则进行四则运算。
教学过程
一、巩固旧知、复习提问
问题1、有理数、无理数、实数的概念。
问题2、用字母来表示有理数的乘法交换律、结合律、分配律。
问题3、用字母来表示有理数的加法交换律和结合律。
问题4、平方差公式？
立方差公式？
二、创设情景、导入新知
例1.计算：
（1）（1048-6,274.12）“、6
（2）（5,32.5）亠（2.3-一5）
（3）（.2-.3,6）（.2-、3-.6）
总结：
实数的计算在有理数范围的运算律及运算性质以实数范围内仍然适用；结果要求精确到某一位时，在计算过程中应比结果要求的多保留一位小数，最后一步再次进行4舍5入，得到一个符合要求的数。
三、课堂练习
P17练习：
1、2。
四、小结
由学生完成小结：
在有理数范围的运算律及运算性质以实数范围内仍然适用。
当遇到无理数并且需要求出结果的近似值
时，可以按照所要求的精确度有相应的近似有限小数来代替无理数，再进行计算。
数的开方复习卷
（一）
、选择题：
2
1.在0.32,（—5），-4,9,
-16、兀中，有平方根的数的个数是（
A、3个B、4个
2.3的算术平方根是（
A、.3B、一3
3.下列等式成立的是（
A、3-3--3-3
C、3-3=3、3
4.下列说法正确的是（
A、9的平方根是土3
C、0.4的平方根是土0.2
5.如果（X—2$=x—2
C、5个D、6个
）
C、土3D、9
）
B、3-3--33
D、归=沪
）
B、—x2一定没有平方根
D、x2+1一定有平方根
那么x的取值范围是（）
、x>2D、x>2
、5352二56
、72.8=28
A、x<2B、xv2C
6.下列计算正确的是（）
A832一3=16、.3B
C4.32..2=6、6D
7..3的整数部分为a,
.7的整数部分为
b，则（a+b）b的值为（
）
A、1
B、2
C、4
D、9
&16的平方根是（
）
A、2
B、4
C、土2
D、土4
9.若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数是（）
A0B、1C、一1D、土1
10.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）
A运和斯2B、和J-c、J3和D、Ja+1和Ja-1
\2
二、填空题：
11.已知x=3,y=2且xyv0,则x+y=。
12.J2-*好的相反数是，绝对值是
13.在实数范围内分解因式x4—9=.
14.当x=时，式子仮+J-X有意义。
（3）623、.7;（4）.103.2.
21
16.如果（a_2）+-b_8=0,贝ya=,b=.
2
17.若•Ln：
有意义，则:
一__
IQ
18.计算3—兀+耳'16—8兀+兀=
19.若1vxv4,则化简f（x_4）2+J（x_1）2的结果是
>1）的代数式表示规律：
三、解答题：
2
21.已知（x-3）=36，求x的值。
22.在实数范围内分解因式：
（1）x3-2x;
（2）x4—6x2+9.
（9）4.一37.2-3.3-8、2;（10）2454-96;
（11）6x-2y4x-5y;
_11
（12）、.5—：
「4875：
丿20；
3
（13）、3-223;
（14）、吕-、22；
（15）
v6
（16）
18-、12
12
一、选择题：
1•下列各式中，正确的是（
A、J（-22=2;
C、.-22--2；
）
B、一22
=2；
D、、-2'
一2
数的开方复习题
（二）
）
2.下列二次根式中，最简二次根式是
A、712X；B、Jx_9；C、*;D、\5x2y.
Vb
3•在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）
A、J3和J8；B、J3和J1;C、好b和JOb2；D、Ja+1和Ja—1•
\3
4•若b<0,化简-ab3的结果是（）
A、-bab；B、b-ab；c、—b：
；-ab；D、b.ab.
5•用计算器计算0.8约等于（）
A、0.9231;B、0.8944;C、0.5441;D、0.7532.
6•如果J（x—22=—x+2，那么x的取值范围是（）
A、x<2;B、x<2;C、x>2;D、x>2.
7.y24y4xy1=0，则xy=（）
A、一6;B、一2;C、2;D、6.
&下列等式成立的是（）
A、、a.b二一ab；B、a；b=一a-bab；
C、.a2-b2=.a-bab;D、一a、一b二..ab（a>0,b>0）.
9•若x<-1，则2x_1+Jx2+2x+1等于（）
A、1—x;
B、x—2;C、3x;
D
、一3x.
10.已知a
、b两个实数在数轴上位置如图所示,
化简a-b
+甘（a等于（）
|
1
A、一2b;
B、2b;b
a
0
C—2a;
D、2a.
二、填空题
11.计算：
（1）©Q=;
（2）
（a亦
12•若厂a是二次根式，那么a的取值范围是
1
13.化简：
（1）
<48
—35-
X'9,0.1010010001…，*27,3.1415
2
22.化简：
1__2円J2_J3
23•已知a=3-..5-2,b=3：
5■i2，求a2-ab■b2的值.
24•已知3,八兰3，求-的值.
22xy
26.计算下列各题:
25.已知m+1与Jm-3n+5互为相反数，求3m+n的值.
31253121-|3121-3125.
27.若5X+19的算术平方根是8,求3x—2的平方根.
28.a、b、c都是实数，且a+a=0」abL1,|c-c=0.ab
试求理'b2—a+b—J（c—bf+c—a的值.
二次根式练习
[A组]
1计算:
（1）12=
;
（2）18=
;（3）27=;
（4）28=
;（5）*/32=
；（6）J40=;
（7）42=
;（8）45=
;（9）J48=;
（10）■72=
;（11）25a2=
;（12）P25a2b3c=
（1）
2、化简:
;
（2）J227=
（12）0.160.0025900。
（9）+12；（10）（273—72$；（11）J0.16x900；
数的开方单元测试选择题（每小题3分，共15分）：
1.
卜列说法止确的是（
）
A
.9的平方根是土3
B
、0.4
的平方根是土
0.2
C
—x2—定没有平方根
D
2/、X+1
定有平方根
2.
..16的平方根是（
）
A
2B、土2
C
、4
D、土
4
3.
如果,|x-2=x-
2，那么
X的取值范围是（
）
A
xw2B、XV2C
、x>2
D、
x>2
4.
；3
若b>0,化简,ab3
的结果是
（）
A-bab；B、b.-ab；C、—b..-ab；D、bab.
5•已知a、b两个实数在数轴上位置如图所示，
化简a+b+J（a—b了等于（）
III針
A、一2b；B、2b；ba0
C—2a;D、2a.
二、填空题（除8、9题每空2分外，其余小题每空3分，共44分）：
6•下列二次根式：
①（8和J2:
②2bJb和b2」1:
③^阪2和J8X中是同类二次根式的为（仅
\b
填序号）.
1—兀“—IR+*1
7•在实数33,3.14,,-9,0.13113111311113…，.12,一中，无理数
22
有.
8.比较大小：
（1）76J7;
（4）...10
（8分）（32-V7；
9.3-27的相反数是，绝对值是，倒数是_」（6分）
10.在实数范围内分解因式x4—25=.
『—2004$L2005
11.计算：
（1）,32，.3-2=
（2）4一兀+£9_6兀+n2=
12.x满足什么条件时，下列各式有意义？
三、解答题（共41分）:
（2）x-2;x
（4）J2-x*x-2;x_
请你猜想用含自然数
14•计算或化简（每小题3分，共24分）：
（7）、一3~'22■3；（8）〔：
丁5-2；
16.若5x+19的算术平方根是8,求3x—2的平方根.（9分）
数的开方总复习
[A组]
一、选择题:
1、正数a的平方根与算术平方根个数分别为（）
A、2个,2个B、2个,
1个
C、1个，2个
D、1个，1个
2、■.64的立方根为（）
A、土8B、8
C、2
D、土2
3、在二次根式2，.4，
8，
16中冋类二次根式的个数为（）
A、4B、3
C、2
D、1
4、下列计算正确的是（
）
A、.6=3B、、9
=3
C、.9二3
D、引9=3
5、下列说法正确的是（
）
A、带根号的数都是无理数
B、无限小数都是无理数
C、无理数与数轴上的点一一对应
D、有理数与无理数统称为实数
6、下列各式的计算中，最简二次根式是（）
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