第十三章压杆稳定.docx
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第十三章压杆稳定
第十三章压杆稳定
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。
1.2临界压力
细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。
1.3稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：
－稳定条件
2重点与难点及解析方法
2.1临界压力
临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。
因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。
2.2稳定计算
压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。
利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。
稳定计算要求掌握安全系数法。
解析方法：
稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。
临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。
3典型问题解析
3.1临界压力
例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm2，截面尺寸分别为
（1）、b=40mm、
（2）、a=56.5mm、（3）、d=63.8mm、（4）、D=89.3mm,d=62.5mm。
若已知材料的E=200GPa，σs=235MPa，σcr=304－1.12λ，λp=100，λs=61.4，试计算各杆的临界荷载。
图13－1
[解]
压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。
应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。
（1）、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm时
λ＞λP此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力
（2）、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm时
所以
λs<λ<λP此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力
σcr2=304-1.12λ2=304-1.12×92=200.9MPa
（3）、两端固定的实心圆形截面压杆，当d=63.8mm时
λs<λ<λP此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力
（4）、两端固定的空心圆形截面压杆，当D=89.3mm，d=62.5mm时
λ<λs此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力
解题指导：
1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。
当
λ＞λP时压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；
λs<λ<λP时压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；
λ<λs时压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。
2．由此例题可见，惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。
例题13.2矩形截面杆如图13－2所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端铰支。
在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约束视为两端固定。
已知杆长L=2.3m截面尺寸b=40mmh=60mm材料的E=205GPaλP=132λs=61，试求此杆的临界压力Fcr。
[解]
1．若在正视图内失稳（铅垂方向）：
μ＝1,
2．若在俯视图内失稳（水平面内）：
μ＝0.5,
所以，压杆在正视图失稳。
3．计算压杆的临界压力Fcr
用欧拉公式计算其临界应力
解题指导：
对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。
例题13.3图13-3所示立柱长L=6m，由两根10号槽钢组成，试问a多大时立柱的临界荷载Fcr最大，并求其值。
已知:
材料E=200GPa，σP=200MPa。
[解]
1．惯性矩
查型钢表可知，由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:
当a值较小时，Iyλz，压杆失稳时，以y轴为中性轴弯曲；
当a值较大时，Izλy，压杆失稳时，以z轴为中性轴弯曲；
2．当立柱的临界荷载最高，压杆对z轴和y轴应有相等的稳定性。
即：
即
3．最大临界荷载Fcr
压杆的柔度
iy=iz=i
由于
所以，λ＞λP压杆为大柔度杆
用欧拉公式计算临界压力
例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l=6m，材料的λP=132,E=200GPa，线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。
试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
[解]
随着温度的升高，直杆在杆端受到压力FA＝FB，当两端压力达到压杆的临界压力即：
FA＝FB＝Fcr时，压杆将失稳。
1.杆的工作压力
由静不定结构的变形协调条件
2．压杆的临界压力
λ＞λP压杆为大柔度杆。
用欧拉公式计算临界压力
3．压杆失稳时，需要升高的温度值
由FA＝FB＝Fcr
3.2稳定计算
例题13－5：
钢杆AB如图13－5所示，已知的杆的长度lAB=80cm,
，经验公式
，nst=2，试校核AB杆。
图13－5
[解]
1．杆AB的工作压力：
分析梁CBD的受力，据其平衡方程可得
FAB=159kN
2．杆AB的临界压力：
压杆的柔度
用经验公式计算压杆的临界应力：
压杆的临界压力
Fcr=σcrA=270kN
3．计算压杆的工作安全系数，进行稳定校核
由压杆的稳定条件
所以，AB杆不安全。
解题指导：
请读者思考：
若校核整个结构，如何求解？
若由AB杆确定整个结构的许用外载荷，如何求解？
例题13.6：
材料相同的钢杆AB、AC，直径均为d=80cm,
，经验公式
，nst=5，E=210GPa，试求许用外载荷[FP]。
[解]
1．确定杆AB、AC的工作压力：
由节点A的受力及平衡方程可得
FAB=0.5FPFAC=0.866FP
2．计算由AB杆稳定条件确定的许用外载荷：
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力：
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤139.2kN
3．计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力：
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤240.6kN
4．确定整个结构的许用载荷
由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为
[FP]=139.2kN
解题指导：
对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。
由于杆AB、AC所受压力和柔度均不相同，需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载，然后取其中较小的一个，做为整个结构的许用外载荷。
例题13.7：
两端为球铰的压杆，由两根等边角钢铆接而成，型钢的外形尺如图13－7所示。
已知铆钉孔直径为23mm，压杆长度l=2.4m，所受外力FP＝800kN，nst=1.48，
，经验公式
，材料的许用应力[σ]=160MPa，试校核压杆是否安全。
[解]
图13－7所示压杆有两种可能的失效形式：
失稳：
整个压杆由直线形式的平衡变为曲线形式的平衡，局部截面尺寸变化对弯曲变形影响很小，个别截面上铆钉开孔对整个压杆的稳定性影响可忽略不计。
因此，在压杆稳定计算中，采用未开铆钉孔时的压杆横截面尺寸（相应的面积称为“毛面积”，用A表示）；
强度失效，在铆钉开孔截面，截面尺寸的削弱，会导致截面上的正应力增大，超过材料的许用应力。
因此需要校核铆钉开孔处横截面上的正应力强度。
在计算中要用开孔后的截面尺寸（其面积称为“净面积”，用A0表示）。
综上所述，需要首先分别校核压杆的整体稳定和铆钉开孔处正应力强度，才能判断出压杆是否安全。
1．稳定校核
压杆失稳时，二等边角钢将作为一整体发生屈曲，并绕组合截面惯性矩最小的形心主轴（z轴）转动
其中Iz1、iz1和A1分别为单根角钢对z轴的惯性矩、惯性半径和横截面面积，可由型钢表中查得。
所以，用经验公式计算压杆的临界应力：
代入稳定条件，进行稳定校核
所以压杆稳定。
2．强度校核：
组合截面在铆钉孔处因开孔而削弱，削弱后的净面积为：
A0=2×28.9×10-4－2×0.023×0.012=5.28×10-3m2
该截面上的正应力
压杆强度安全
3．由上述稳定计算和强度计算可知，压杆安全。
解题指导：
1．压杆稳定计算用毛面积，强度计算用净面积。
2．请读者思考：
如果两根槽钢只在两端连接，这时上述稳定计算和强度计算会不会发生变化?
例题13.8图13－8所示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为铰链，各杆直径均为d＝40mm，a＝1m。
材料的λp=110，λs=60，E＝200GPa，经验公式为
，nst＝1.8。
试求结构的许可载荷。
图13－8
[解]
1．计算各杆的受力值
分别以节点A、B为研究对象，应用平面汇交力系平衡方程，同时考虑结构的对称性，可计算和确定出各杆的受力分别为
FDB=FP（拉）
由上述计算结果可知，杆AB、AD、BC、CD为压杆，应考虑的失效形式为失稳，需要进行稳定计算；杆BD为拉杆，应考虑的失效形式为强度失效，需进行强度计算。
2．稳定计算
对于AB等压杆
用经验公式计算压杆的临界应力：
由稳定条件
3.强度计算
对于拉杆BD，FN=FDB=FP，由强度条件
可得
4．结构的许可载荷
由上述稳定计算和强度计算结果可知，结构的许用载荷为
例题13.9材料相同的梁及柱如图13-9（a）所示，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体），承受均布载荷q=24kN/m，材料的许用应力[σ]=160MPa，E=200GPa，λP=132,
，经验公式，nst＝2.8。
试校核该结构。
1．由C点的变形协调条件，计算多余未知力
原结构为一次静不定，取如图13－9（b）所示静定基和相当系统。
由变形协调条件
其中
得
2．梁的强度校核
梁的受力如图13－9（c）所示，由平衡方程
，
得梁的支反力
梁的弯矩图如图13－9（c）所示。
C截面弯矩
D或E处剪力Fs=0，由
得D截面位置为
x=0.75m
所以，D或E截面梁弯矩值：
所以，梁上最大弯矩值为
梁的最大正应力为：
梁安全。
3．柱的稳定计算
柱的柔度
用经验公式计算压杆的临界应力：
临界压力
工作安全系数
柱也安全。
4．由上述梁的强度计算和柱的稳定计算结果可知，整个结构安全。
例题13.10一直径为d的圆截面平面曲拐ABC（AB⊥BC，位于xz平面），与直径为d0的圆截面杆CD铰接于C点，如图13－10所示。
今有一重为W的物体，由高度为H处自由落下冲击于曲拐B点，已知材料的力学性能分别为：
σp=200MPa，E=200GPa，G=80GPa，μ=0.3；结构尺寸：
d=50mm，d0=10mm，l=1m，载荷W=200N，高度H=20mm；强度安全系数n=2，稳定安全系数[nw]=1.5。
试校核CD杆的安全。
[解]
1．计算多余未知力
在此空间结构B点上作用静载荷W，该一次静不定结构在C点的变形协调条件为：
平面曲拐在点的位移
等于CD杆的压缩量，即
设杆CD承受压力为F，则
代入
，解出
2．冲击动荷系数
静载荷W作用于原空间结构B点时，用叠加法可求得冲击点相应的静位移为：
代入自由落体时的动荷系数表达式，得：
3．CD杆承受的动荷
4．校核CD杆
由于CD杆为压杆，应进行稳定计算
CD杆的柔度
而
故CD为大柔度杆，用欧拉公式计算压杆的临界应力：
工作安全系数
所以CD杆不安全的。
例题13.11：
承压立柱由两根32a槽钢组成，若柱的总长为l=8m，两端球铰约束，中间由间距为a的缀条用铆钉连接，如图13－11所示。
铆钉直径d=17mm，材料的σs=235MPa，ns=1.47nst=1.58λ1=132λ2=60经验公式σcr=235-6.8×10-3λ2，试求：
1为使立柱承受最大载荷，b的合理取值；
2求立柱承载最大时的许用载荷；
3在许用载荷作用下a的取值。
[解]
1．为使立柱承受最大载荷，立柱在y、z方向应具有相同的稳定性，则λy=λz，即：
Iy=Iz
查型钢表计算得：
b=289.6mm
2．最大许用载荷：
1）由稳定条件
查型钢表计算可知i=124.9mm
整个组合压杆的柔度为
图13－11
用经验公式计算压杆的临界应力：
由稳定条件
得立柱的许用载荷
2）考虑铆钉处的截面削弱，由强度条件：
得立柱的许用载荷
F≤1548kN
由上述稳定计算和强度计算可知，压杆的最大许用载荷为
F＝1276kN
3．确定a的取值:
为保证整体和局部具有同样的稳定性，同时失稳，要求
由上式可得
a=1603mm
4自我测试
图13－12
1正三角形截面压杆，如图13－12所示，其两端为球铰链约束，加载方向通过压杆轴线。
当载荷超过临界值，压杆发生屈曲时，横截面将绕哪一根轴转动？
现有四种答案，请判断哪一种是正确的。
（A）绕y轴；
（B）绕通过形心C的任意轴；
（C）绕z轴；
（D）绕y轴或z轴。
正确答案是
2两端为球铰的细长压杆，有面积相同的四种截面可供选择，如图13－13所示，由稳定性考虑：
图13－13
（A）空心圆截面一定最好；
（B）圆截面最不好；
（C）正方形截面一定比矩形、圆形好；
（D）矩形截面一定比圆形截面好。
正确答案是：
3两个压杆材料和细长比均相同，则：
（A）两杆的临界力与临界应力均相等；
（B）两杆的临界应力不等，但临界力相等；
（C）两杆的临界应力相等，但临界力不一定相等；
（D）两杆的临界力与临界应力均不一定相等。
正确答案是：
4圆截面压杆（a）、（b）如图13－14所示，材料相同，横截面积
，杆长
，约束情况如图示。
两杆的柔度以
、
表示，临界载荷以
和
表示，则：
图13－14
（A）
，
；（B）
，
；
（C）
，
；（D）
，
。
正确答案是：
5图13－15所示压杆（a）、（b）均为细长杆，两杆的材料、杆长、截面形状和尺寸均相同，h=2b，临界载荷分别为
和
，则：
图13－15
（A）
；（B）
；
（C）
；（D）
。
正确答案是：
6图13－16所示（a）、（b）、（c）三种截面，尺寸如图13－16所示。
研究抗失稳能力时，需计算各自的惯性半径i。
若三种截面的惯性半径分别为ia，ib，ic，则：
（A）
；（B）
；
（C）
；（D）
。
图13－16
正确答案是：
7图13－16中四杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载，关于四杆临界压力的大小，有四种解答，试判断哪一种是正确的（设其中弹簧的刚度较大）。
（A）Fcr（a）（B）Fcr（a）>Fcr（b）>Fcr（c）>Fcr（d）；
（C）Fcr（b）>Fcr（c）>Fcr（d）>Fcr（a）；
图13－16
（D）Fcr（b）>Fcr（a）>Fcr（c）>Fcr（d）。
正确答案是：
8图13－17所示结构，梁和杆的材料相同，AB梁为N016工字钢,BC为直径d=60mm的圆形截面杆，已知:
材料的E=205GPa,σs=275MPa，强度安全系数n=2，λp=90，λs=50，稳定安全系数nst=3，经验公式σcr=338-1.12λ，试求:
[F]。
9平面结构如图13－18所示，重物Q＝10kN，从距离梁40mm的高度自由下落至AB梁中点C，梁AB为工字形截面，Iz=15760×10－8m4，杆BD两端为球形铰支座，采用b=5cm,h=12cm的矩形截面。
梁与杆的材料相同，E＝200GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，
a=304MPa，b=1.12MPa，nst=3，问杆BD是否安全。
图13－18
自我测试答案
1正确答案是B。
过正多边形截面形心的任意轴均为形心主轴，且惯性矩相等。
2正确答案是：
A
3正确答案是：
C
4正确答案是：
B
5正确答案是：
D
6正确答案是：
D
7正确答案是D。
图（b）上端有弹性支承，故其临界力比图（a）大；图（c）下端不如图（a）刚性好，故图（c）临界力比图（a）小；图（d）下端弹簧不如图（c）下端刚性好，故图（d）临界力比图（c）小。
8解:
1．求多余未知力
取图13－19所示静定基和相当系统
图13－19
变形协调方程:
2．BC杆的稳定计算:
σcr=338-1.12λ=338-1.12×66.6=258MPa
3．梁AB的强度:
4．结构的许用载荷为
9解
1．动荷系数
kd=38.477
2.稳定计算
柔度
临界应力
工作应力σd=32.06MPa
工作安全系数n=σcr/σd=3.2>nst=3
结构安全
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